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第四节第四节 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入基础梳理基础梳理a+bi a a b b b=0 b0 1. 复数的有关概念（1）形如 的数叫做复数，其中 和 都是实数， 叫做复数z的实部， 叫做复数z的虚部.对于复数a+bi(a,bR),当且仅当时， 它是实数；当 时，叫做虚数；当 时，叫做纯虚数.（2）复数的相等如果a,b,c,d都是实数，那么a+bi=c+di ;a+bi=0 .a=0且b0 a=c且b=d a=0且b=0 直角坐标系 实轴 虚轴 实数 原点 纯虚数 虚数 一一对应 一一对应 2. 复平面的概念建立 来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做 ,y轴叫做 .实轴上的点都表示 ;除 外，虚轴上的点都表示 ; 各象限内的点都表示复数集C和复平面内所有的点组成的集合是 的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是 的.相等 互为相反数 3. 共轭复数概念当两个复数的实部 ，虚部 时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数用z表示，即z=a+bi,则z= (a,bR).a-bi (ac)+(bd)i 交换律 4. 复数的加法与减法（1）复数的加减法运算法则（a+bi）(c+di)= (a,b,c,dR).（2）复数加法的运算定律复数的加法满足 、 ，即对任何z1、z2、z3C,有z1+z2= ,(z1+z2)+z3= .结合律 z2+z1 z1+(z2+z3) （3）复数加、减法的几何意义复数加法的几何意义若复数z1、z2对应的向量OZ1,OZ2不共线，则复数z1+z2是以OZ1、OZ2为两邻边的平行四边形的对角线OZ所对应的复数.复数减法的几何意义复数z1-z2是连接向量OZ1、OZ2的终点，并指向被减数的向量Z2Z1所对应的复数.(ac-bd)+(bc+ad)i z2z1 z1(z2z3) z1z2+z1z3 5. 复数的乘法与除法设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR).（1）复数的乘法运算法则z1z2=(a+bi)(c+di)= ;交换律z1z2= ;结合律(z1z2)z3= ;分配律z1(z2+z3)= .（2）复数的除法运算法则(a+bi)(c+di)= (c+di0).2222acbdbcadicdcd 基础达标基础达标1. （教材改编题）在复平面内，复数 对应的点位于( )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 设复数z=3i+2,则1-z=( )A. -1+3i B. -1-3i C. 3+3i D. 3-3i1ii D A 1.解析： , 故选D. 1(1)11iiiii 2.解析：由z3i2，得 3i2，则1 1(3i2)13i.zz3.解析：原式1i1i0.3. (教材改编题)1+i+i2+i3=( )A. I B. I C. 1 D. 0112aii 4.（2011深圳模拟）设a是实数，且 是实数，则a=( )A. B. 1 C. D. 23212B D 4.解析：设a是实数，是实数，则a1. 1(1)1(1)(1)12222aiaiiaa ii5. （2010天津）i是虚数单位，复数 = ( )A. 1+2i B. 2+4i C. -1-2i D. 2-i31ii A 3(3)(1)121(1)(1)iiiiiii 解析： ，故选A. 经典例题经典例题题型一题型一 复数的有关概念复数的有关概念【例1】已知复数z=m2(1+i)-m(3+i)-6i,则当m为何实数时，复数z是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)零?(5)对应点在第三象限?解：z=(m2-3m)+(m2-m-6)i=m(m-3)+(m+2)(m-3)i,(1)当m=-2或m=3时,z为实数;(2)当m-2且m3时,z为虚数;(3)当m=0时,z为纯虚数;(4)当m=3时,z=0;(5)由 ,解得0m3,当m(0,3)时,z对应的点在第三象限.(3)0(2)(3)0m mmm 变式变式1-11-1(2010山东改编)已知 （a,bR），其中i为虚数单位，若复数z=a+bi,则z对应的点所在的象限为( )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2aibii 解析：由 得-ai+2=b+i,所以由复数相等得:a=-1,b=2,所以z=a+bi=-1+2i, z=-1-2i,故选C.2aibii 题型二题型二 复数的运算复数的运算【例2】(2011南通模拟)已知复数z1=m+2i,z2=3-4i,若为实数，求实数m的值.12zz解：又 为实数，6+4m=0,m=- .122(2 )(34 )(38)(64)34(34 )(34 )25zmimiimm iziii 12zz32变式变式2-12-1(2011广东东莞五校联考)复数 的共轭复数为 .512i 解析: 的共轭复数为1+2i.512i 55(12 )5(12 )1212(12 )(12 )5iiiiii 题型三题型三 复数的几何意义复数的几何意义【例3】（原创题）对任意复数z=(x2-x+1)+(3-2x+x2)i (xR)，i为虚数单位，则 对应的点所在的象限为( )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 1z解：x2-x+1=（x- ）2+ 0,3-2x+x2=(x-1)2+20,z对应的点在第一象限，故 对应的点在第四象限,故选D.1z1234变式变式3-13-1（2010湖北）若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数 的点是 ( )A. E B. F C. G D. H1zi 解析：由点Z(x,y)的坐标知z=3+i，故3(3)(1)2112ziiiiii 因此表示复数 的点是H.1zi 链接高考链接高考 1. （2010江苏）设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为 .知识准备:复数的加、减、乘、除运算法则，复数的模长计算公式. 解析:由z(2-3i)=6+4i，得即z=2i,|z|=2.64(64 )(23 )223(23 )(23 )iiiziiii 2. （2010辽宁）设a,b为实数，若复数 =1+i，则( )A. a= ,b= B. a=3,b=1 C. a= ,b= D. a=1,b=3知识准备:1. 复数的除法运算;2. 复数相等的性质.12iabi 3232121212iabi 解析:由 =1+i,可得1+2i=(1+i)(a+bi),即1+2i=(a-b)+(a+b)i,312212aababb 3. （2010北京）在复平面内，复数 对应的点的坐标为 . 知识准备:1. 复数的除法运算;2. 复数的几何表示. 21ii 解析： 在复平面上对应的点的坐标为(-1,1).22 (1)11(1)(1)iiiiiii 21ii
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