三章节二次量子化之基础理论

第三章 二次量子化之基礎理論古典粒子與波動現象離散振子系統(粒子性)LagrangianNjjjjdqqKqmqq021222)(),(LEuler 運動方程0211)(jjjjqqqKqm )sin()cos()(jpttqj)sin()cos()(pNttqN11Nn,.,2 , 1mK200)(0tq)(sin122202Nnn1Nnpn. . . . . . .mK0ja1 Nj固定邊界連續振子系統(波動性)0aN( L=Na 固定)， tqtxqj,kaLjdxa01am2221xtxqaqqjj,，LEuler運動方程0,1,2222xtxqcttxqc波速dxxtxqttxqqqLxtc02221,),(LLagrangianNnnnNnmkLnckxkttxqnnnsincos,LnkntLqtq,0, 0因1.2.5.4.3.6.7.8.9.波與粒子運動示意圖量子波動與粒子模型 Hamiltonian2222xKmpHEddEH2222簡諧振子的波動模型 221eddeHnnn21122nEnEnn 2221eHnmnnn)(!)(2222Hmk2mxx xx x1x x2x x3 2100 x簡諧振之粒子模型(二次量子化的理想模式)2222xKmpHmK2mxHamiltonian :2222H產生raising ( )和湮滅lowering ( )算符aamipxm221amipxm221a1,aa0,aa0,aaaaaa2Handaamx2aa2mipaaaaaa2221aa簡諧振子之量子狀態nEnnHHnn|21|aafromnnH|21|aaaan|21aaaan|21aaan|21)1(aaanEn|)(a1nnH|21|aaaan|21aaan|21aaan|1)21(aaanEn|)(anEH000|a0|210|aaH0 |210 |0E210EnnnH|21|0|!)(|nnnnannn|1|a1|nnna012322222EEEE2E3EaEx00E23 x2aaa2a3aa)(,)(tOHittO海森堡表象(Heisenberg representation)(tOis time development operator)(,)(aaaaaaaaitHitt) 1( tiaet)(atieat)(aaaaaii,2222xKmpHHamiltonian :E, : 電場eEx21aaHmeE2,aaaitHitt)(,)(then, letaAaAAAitaa1,AA0,AA0,AA221AAAAH3-2.受固定電場強度作用下之簡諧振子模型nnnH|21|20 |!)(|nnnA22AAmxAA 2mip21AAH2),2, 1(NHH ),2, 1(N 個等同粒子的HamiltonianN個等同粒子的波函數N11,1x位置自旋置換算符：),(),( ijjiPijijijPP12置換群 ： ,NS個客體之N!N個置換算符ijP構成之群),(),(; ijHjiHPPjiij因),(),( jijiHPij故),(),( jiijH),(),( jijiH),(),( ijPjiHij),(),( ijPijHji),(),( jiPjiHij偶元奇元群元素mnlkijPPPP NSPHPPH 滿足置換算符及置換群置換算符及置換群123N置換算符數目1N2N-13N-2N1=N!所有可能置換算符數目EHEPPEPHHPPP/0,SPjijijijiSPSPSPPPSP且ijS矩陣元在座標之表現iijPS)(矩陣元在座標之表現iP為對稱算符), 1 (NS 為 H之 eigenfunctionp亦為 H之 eigenfunction定義：/PP轉置置換算符/111PPPPP PPPPPPPP11P 為正算符 ( unitary )所有粒子均受相同之物理作用所有粒子均受相同之物理作用所有物理算符對粒子變換具對稱性由由ijP定義兩類波函數sasaijP對稱（波色子）反稱（費米子）SSPaPaP)1( P)1(1偶元-1 奇元多粒子多粒子), 2 , 1 (N 各自之單粒子狀態Niiiii,321 單一粒子狀態單一粒子狀態i ,2,1（正規化集合）：123N11121N21222N12N 狀態函數 ,3,2,1多粒子系統之一量子狀態多粒子系統之一量子狀態 NNNiiiii,i,i22111向量直積粒子編碼狀態編碼11i： ,3,2,111122i： ,3,2,1222i：完備基向量完備基向量定義： 對稱態 反稱態NPPN,i,iiPN,i,iiS 21211!1PSSPSSPNNNN,SPSPSP)1(NPNiiSiiPS,)1(,11 NNijiiSiiSP,11 i.e 若jiii（粒子 處於相同態）ji,NjiNijiiiiSiiSP,11 NijiiiiS,1 NiiS,1 NiiS,1 0故反稱態每一態只允許佔有一粒子則SPSPS對稱態每一態可允許佔有無窮多粒子 PPPNPSNS!1!12SNS!NiiNNZiiiiZ,111,NiiC,1NNNNiiiiiiNiiNCSiiCiiSZS,1111,1,1ZSZSSN!1NiiNCSiiSN,11!1N!SNS!2symmetrized statesymmetrized basis state 即每一量子態可允許佔有無窮多粒子 若假設第一態有 個粒子，第二態有 個粒子Nnnn 3211n2n故對一確定之分佈 其所有相異態間交換 in正規化對稱完全基正規化對稱完全基!21innnN每一置換算符的等價類（重複數）之個數!21nnPNniiiPNCCiiiS,!,2121正規化因子)(p的置換算符總數為1 2 3N1 2 3!1nN!2n!in1n2n1n2nin21212121,|,nnppnniiPPii 表不同態間之置換1NNiiiiiiCSS,21212NppNiiiPpiiiNC,|,!212122212!nnNC!)!(!212212innnNnnNC!N!1212innnC!121nnCNpniiiPnnNnniiiS,!1!1,21212121等價類數NppNiiPNiiiS,)1(!1,121正規化反稱完備基正規化反稱完備基 NppiiPNCiiS,)1(!,12211!,2211NNCiiSSiiNN編碼全同粒子沒有效率確認不同量子態上的粒子數Nnnnn.321Nnn.21Fermi子in1 實態0 空態Bose子in任意數，122 C 玻色子玻色子 (Bosons)!1,21121nniiSnnN1iiNn2,12121,nnnnnn,|,2211,2121nnnnnnnn產生算符,1,1,iiiinnna共軛算符, 1,1,iiiinnanininiininiiiinnnan,1,1 1,因iinn1故 1iinn湮滅算符, 1,iiiinnna0, 0,iina證明：0,iniiiiiinannna0, 1 ,iiinnniinn, 1,iinn01in0inBose 互易關係互易關係BAABBA,， 0,liaa，證明： jiijnnaa,0,jiaaijjiaa,（）（） （） （）,1,1,jijijijinnnnnnaa,jiijnnaa（）對ji ,1,1,1,jijijijinnnnnnaa 對ji ,11,jiiiiijiiiiinnnnnnnnaaaa1基態 (Ground state ) ：真空態 ( Vacaum state ),0,00單粒子態 (Single-particle state ) 0ia雙粒子態 (two- particle state ) ,0,0)(!212jiiaaa多粒子態 (many- particle state ) 0)()(!1,21212121nnaannnn正規化nnna1nna111nann粒子數算符 ( The particle-Number Operutor )iiiaaniiiinnnn,iinN,)(,2121nnnnnNii無相互作用之粒子iiinH0:i單一粒之 Hamiltonian 的特徵值iiinnnH,)(,110類似於簡諧振動之系統 廣義多粒子算符 (general many-particle Operutors )ttttTN21Njiijjit1,jijiijaat,)(U,22xmpt單粒子算符系統jtitijjiijtt, ji 1,jinnji!1,2121NNiiiSjiN證明Njiaaji1ji NiiiiiS ,1iiiiinaanninin次 ji !1,2121nnijiijiSN次 1in1jnjn)!1()!1(!1,11121jijiNnnjnnnnnijiiiSnji, 1, 1,11jijijnnnnnjijijiijnnaannnn, 1, 1,1雙粒子算符系統),(21)2(fFmjkimkjiaaaamkfji,)2(,21當中)()(),()()(,) 2() 2(yxyxfyxdydxmkfjimkji),(),() 2() 2(xxfxxf證明mkjimkjimkfjiF,|,)2(,211,mkjinnnnmkji, 1, 1, 1, 1,1111mkjijimkmknnnnnnnnnnmkjimkjinnnnaaaa,費米子 （Fermions） ppiipNiiS,) 1(!1,2121NNNNNiiiiiiN2112111!1( Slater 行列式 )N 粒子N 能階態22112121,nnnnnnnn10,212121,nnnnnn 定義ia,0,0,212121nnaaaiiiSNiiiN,0,00,1212NiiiNaaaiiiS0,jiaa0)(2ia1 ,00)()(,212121innnaann,1,)1)(1(,iniiinnnaijj,1,)1)(1(,iniiinnanijjiiijjnnniiiinnan,1)1(,iniiiiiinannna,iiiijjninnniinnn)0()1)(1(,1,1,)1)(2(ininnijj,1,)1)(1(,iniiinnnaijj,1,)1(,iniiinnnaijj費米子反稱互易關係ijjijijiaaaaaa,0,0,（）（）（）證明 （）設 ij, 1, 1,)1(,)(jinnnjjijinnnnnaaiikjkkl,1,1,)1(,1)(jinnnjjiijnnnnnaajikjkkk0ijjiaaaa 設 ji 0)(22iiiiiaaaaa（） 設 ji 0)11()1(,jjjinnaa,) 1() 1)(1 (,2iiniiiinnnnaaijjiinn1121 設 jiiinn,)1( ,)11()1(,2iiniiiinnnnaaijjiinn,)(iiiiiiiinaanaaaain,1,iiaa粒子數算符 （ particle operutors ） 單粒子算符 設 Niii21NiiiSji,21NijiijiS,1NijiiiSnn,)1(21,1,1,)1)(1(jinnijnnnnikjkjikk,1,)1(jiinjnnanjkk,jijinnaajijiijaatT,雙粒子算符 mjkimkji,|mijkmjkimjkimjkiaaaaaaaa,mkjimjkimjkiaaaaaaaaaaaa0 mkjiaaaa：B : Fkmjiaaaa（ 廣義公式 ） mkjikmjiaaaamkfjiF,)2(,21jimkjikmjijiijijaaaamkfjiaaUtH,)2(,21)(場算符 （ Field operators ）ii1iiaiaiiaia)( xixi （單粒子波函數） 位置特徵向量 iiaxx)()(iiaxx)()(在位置特徵態 x產生或增減一粒子 0)(),(xx0)(),(xxjijiijjijijixxaaxxxx,)()(,)()()(),()3(xx 動能 Kinetic energyjijijjiijijiaxmxaxdaTa,223)(2)()()(232xxxdm單粒子勢能 Single-particle potential jijijjiijijiaxxUxaxdaUa,3)()()()()()(3xxxUxd雙粒子相互作用勢能 kmjimkmkjijiaaaaxxxxVxxxdxd)()(),()()(21,33)()()()(),(2133xxxxxxVxdxdHamiltanian)()()()()(2(23xxxUxxmxdH)()(),()()(2133xxxxVxxxdxd粒子數密度 （ particle-number density ）)()(3xxxnjijijiyyxyydaa,33)()()(jijijixxaa,)()()()(xx總粒子數算符 （ Total-particle operator ）)()()(33xxxdxnxdN場方程 （ Field- Equatioin ） iHtiHtexeyx)0,(),(Heisnberg 表象 iHtiHtexHetxHtxti)0,(,),(,),(,3xd恆等式 BCACBACAB,動能+位能+相互作用項 FB動能 : )(),()(223xxxmxd )(2)()(222)3(33xmxxxmxd位能 :)(),()()(3xxxxUxd)()()()()()3(3xxUxxxxUxd相互作用項 )(),()(),()()(2133xxxxxVxxxdxd)()(),()(3xxxxVxxd)(),(),(),(),()(2),(322xtxxxVtxxdtxxUmttxi（場方程）)(),(),(),(),()(2),(322xtxxxVtxxdtxxUmttxi)(),(xjtxn （連續方程） 當中 )()()()(2)(xxxximxj粒子流密度算符 （ current-density operator ）動量表象：px1)()(xxkixLzLyLyzx動量特徵函數 （ mom entum eigenfunction ）v/)(xikkex ， zyxLLLv,)(xikLxikxxxeev),(2),(zzyyxxzyxLnLnLnkkkk，, 2, 1, 0,zyxnnnkkkkxxxd,3)()(動能 （ Kinetic energy ） 2,32)(kxdkkkkdxekxdekexkkiikxxk i)(232vv)(vkkk,2VV單粒子勢能xdxUexdxxUxxkkikk3)(3)(v1)()()(kkUV1 （ )(xU 之 Fourier 轉換為 ）k-kU相互作用勢能kpxxkp,)(V, xipxikxk ixpieeeexdxd332V1)(VV3xexdxiggxigggexVV1)(Vxipxikxxigxk ixp iggexdxdVV )(3331xkqkixpqpi)()(qkqkpqpq0,0,23)V(VV1),(qkkqppHamiltoniankkpqpkqkqpqkkkkkkkkaaaaaaUaamkH,2VV21V12kkkkkkkaaaaa,a且,0,0,kqkk a) 相互作用過程 qVqppb) 雙散射過程 21qqk21qqp2Vq1Vq1qkkp1qp始 終 密度算符的 Fourier 轉換 xigxigqexxxdexnxdn)()()(33ppxipaeV1pkxikaeV1xigkpxikpkxipeaeaexd V13 pkkpxqpkiaaexd)(3V1 pkkpqpkaa0,VV1pqppaa含自旋系統 ： ppaaaxx,)()(（為 z方向之自旋分置 ） )()()(xxxn,pqppqaan（ 和自旋無交互作用系統之H ） )()()(223xxxUmxdH)()(),()()(2133xxxxVxxxdxd 自旋21之費米子系統2zS自旋密度算符 NiiiSxxxS1)()(,)()(2xxpauli 矩陣之元素 互易關係)()(),(,0)(, )(,0)(, )(xxxxxxxxkkkkakkkkaaaaa,0,0, 運動方程)(),(),()()()(2),(322xtxxxVtxxdxxUmtxti kqpqpqkkkkktataUtamktai)(VV1)()(2)(,2)()(tataqkp