结构力ppt课件

天津城市建设学院力学教研室天津城市建设学院力学教研室STRUCTURE MECHANICS第第1313章章 结构的动力计算结构的动力计算13.1 13.1 动力计算概述动力计算概述一、动力计算的特点一、动力计算的特点（2 2）研究单自由度及多自由度的自由振动、强迫振动。）研究单自由度及多自由度的自由振动、强迫振动。1 1、内容：、内容： （1 1）研究动力荷载作用下，结构的内力、位移等计算原理）研究动力荷载作用下，结构的内力、位移等计算原理和计算方法。求出它们的最大值并作为结构设计的依据。和计算方法。求出它们的最大值并作为结构设计的依据。2 2、静荷载和动荷载、静荷载和动荷载 （1 1）静荷载：荷载的大小和方向不随时间变化（如梁板）静荷载：荷载的大小和方向不随时间变化（如梁板自重）。自重）。 （2 2）动荷载：荷载的大小和方向随时间变化，需要考虑）动荷载：荷载的大小和方向随时间变化，需要考虑惯性力（惯性力（与影响线不同与影响线不同）。）。 3 3、特点、特点 （2 2）内力与荷载不能构成静平衡。必须考据惯内力与荷载不能构成静平衡。必须考据惯性力。依达朗伯原理，加惯性力后，将动力问题转性力。依达朗伯原理，加惯性力后，将动力问题转化为静力问题。化为静力问题。 （1 1）必须考虑惯性力（当）必须考虑惯性力（当=时，共振时，共振）。 （3 3）分析自由振动即求自振频率、振型、阻尼）分析自由振动即求自振频率、振型、阻尼参数等是求强迫振动动力反应的前提和准备。参数等是求强迫振动动力反应的前提和准备。（4 4）学习循序渐进：）学习循序渐进：第第13章章二、动力荷载的种类二、动力荷载的种类 P(t)P(t)t to oP(t)=psin t 1 1、简谐周期荷载：、简谐周期荷载：荷载按正弦余弦规律变化（偏荷载按正弦余弦规律变化（偏心转子对结构的冲击）。心转子对结构的冲击）。 2 2、冲击荷载：、冲击荷载：荷载在短时间内急剧增加或减少荷载在短时间内急剧增加或减少（锻锤对基础的冲击、爆炸等）。（锻锤对基础的冲击、爆炸等）。P(t)totdP(t)totdtesinesinm mpsinpsint tp(t)p(t)2 2 第第13章章3 3、脉动风压、脉动风压4 4、地震荷载、地震荷载三、振动体系的自由度三、振动体系的自由度 1 1、基本未知量：、基本未知量：以质点位移作为基本未知量。以质点位移作为基本未知量。结构上全部质点有几个独立的位移，就有几个独立结构上全部质点有几个独立的位移，就有几个独立的未知量。的未知量。 2 2、自由度：、自由度：结构运动时，确定全部质点位置所结构运动时，确定全部质点位置所需要的独立几何参变量的数目需要的独立几何参变量的数目（与几何组成自由度（与几何组成自由度不同）。不同）。第第13章章 （2 2）与几何组成分析中的自由度不同。）与几何组成分析中的自由度不同。 对梁和刚架对梁和刚架 （1 1）略去轴向变形）略去轴向变形 （2 2）略去惯性力矩）略去惯性力矩 只有一个自由度只有一个自由度M = = ml分布质量，有无限自由度分布质量，有无限自由度ml l 3 3、有关自由度的几点说明：、有关自由度的几点说明： （1 1）基本未知量数目与自由度数目是一致的。前者强调）基本未知量数目与自由度数目是一致的。前者强调独立位移数目，后者强调独立坐标数目。独立位移数目，后者强调独立坐标数目。 （3 3）一般采用）一般采用“集中质量法集中质量法”，将连续分布的质量集中，将连续分布的质量集中为几个质点研究（为几个质点研究（“广义位移法广义位移法”、“有限单元法有限单元法”）。）。第第13章章 （4 4）并非一个质量集中点一个自由度（分析下例）。）并非一个质量集中点一个自由度（分析下例）。 （5 5）结构的自由度与是否超静定无关。）结构的自由度与是否超静定无关。2 2个自由度个自由度2 2个自由度个自由度4 4个自由度个自由度静定结构静定结构6 6次超静定结构次超静定结构3 3次超静定结构次超静定结构第第13章章 四、体系振动的衰减现象，阻尼力四、体系振动的衰减现象，阻尼力 （6 6）可用加链杆的方法确定自由度。）可用加链杆的方法确定自由度。1 1、自由振动的衰减：、自由振动的衰减： 结构在自由振动时的结构在自由振动时的 振幅随时间逐渐减小振幅随时间逐渐减小 ，直至振幅为零、震动停止的现象。直至振幅为零、震动停止的现象。第第13章章2 2、引起振幅衰减是因能量损耗，其主要原因有：、引起振幅衰减是因能量损耗，其主要原因有：（2 2）周围介质对振动的阻力。）周围介质对振动的阻力。 （1 1）结构材料的内摩擦阻力。）结构材料的内摩擦阻力。（4 4）地基土等的摩擦阻力。）地基土等的摩擦阻力。 （5 5）建筑物基础振动引起土体振动，振波传播，）建筑物基础振动引起土体振动，振波传播，能量扩散。能量扩散。（3 3）支座、结点等构件联结处的摩擦力。）支座、结点等构件联结处的摩擦力。第第13章章4 4、粘滞阻尼理论（伏伊特理论）、粘滞阻尼理论（伏伊特理论） 阻尼力与体系振动的变形速度成正比，方向与阻尼力与体系振动的变形速度成正比，方向与速度方向相反。速度方向相反。 3 3、阻尼、阻尼 使能量耗散的因素，统称为阻尼。使能量耗散的因素，统称为阻尼。y yc cD D( (t t) )式中：式中：c c为阻尼系数；为阻尼系数；y=dy/dt为质点的位移速度；为质点的位移速度； 负号表示阻尼力的方向恒与速度方向相反。负号表示阻尼力的方向恒与速度方向相反。第第13章章13.2 13.2 单自由度体系的运动方程单自由度体系的运动方程一、研究单自由度体系振动的重要性一、研究单自由度体系振动的重要性 1 1、是工程上一些实际结构的简化。、是工程上一些实际结构的简化。2 2、是研究复杂动力计算的基础。、是研究复杂动力计算的基础。建筑物基础建筑物基础水塔的水平振动水塔的水平振动第第13章章二、单自由度体系振动的简化模型二、单自由度体系振动的简化模型 mk11ck11cm恢复力简化为一弹簧，恢复力简化为一弹簧，阻尼力简化为一阻尼器阻尼力简化为一阻尼器1 1、弹簧刚度系数、弹簧刚度系数（k11） 使弹簧伸长或压缩单位长度所需之力。使弹簧伸长或压缩单位长度所需之力。2 2、弹簧柔度系数（、弹簧柔度系数（ 11） 在单位力作用下，弹簧的伸长或压缩量。在单位力作用下，弹簧的伸长或压缩量。第第13章章三、单自由度体系运动方程的建立三、单自由度体系运动方程的建立 mk11cy0ysydS(t)WI(t)D(t)P(t)0 0Y Y0S(t)D(t)I(t)P(t)W取物块为隔离体取物块为隔离体, ,其上共作用五个力其上共作用五个力d11ds1111ddsdds22ykW)y(ykykS(t)yc)yyc(ycdtdycD(t)ym)yym(ymdtydmI(t) p(t)ykycymd11dd 1 1、达朗伯原理是建立运动方程所依据的基本原理。、达朗伯原理是建立运动方程所依据的基本原理。2 2、列动力平衡方程、列动力平衡方程第第13章章3 3、列位移方程、列位移方程S(t)WI(t)D(t)P(t)P(t)I(t)D(t)WS(t)(t)S 以弹簧为研究对象以弹簧为研究对象, ,分析它与分析它与物块联结点处的位移。物块联结点处的位移。y0S(t)()( )(1111tStSty 任意时刻的位移任意时刻的位移: :)()()(11tPtItDW )(11tPycymWyyddds 即即:Wys11 )(11tPycymyddd 将将代入上式代入上式,得得:11111k )(11tpykycymddd 第第13章章13.2 13.2 单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动一、无阻尼自由振动一、无阻尼自由振动2 2、运动方程及其解的形式、运动方程及其解的形式011 ykym 令令mk11 则则02 yy 其解其解tcosCtsinCy 21 则则)tsin(Cy tC2 C y 令令 cosCC 1 sinCC 2 CC2C10 yc0)( tp 1 1、特点、特点 (1)(1)无能量耗散无能量耗散, ,振动一经开始永不休止：振动一经开始永不休止： (2)(2)无振动荷载：无振动荷载：第第13章章2 2T T 2 2T T1 1f f3 3、几个术语、几个术语 （1 1）周期：）周期：振动一次所需的时间。振动一次所需的时间。 （2 2）工程频率）工程频率 单位时间内的振动次数（与周期互为倒数）。单位时间内的振动次数（与周期互为倒数）。 （3 3）频率（圆频率）频率（圆频率） 旋转向量的角速度，即体系在旋转向量的角速度，即体系在2 2 秒内的振动秒内的振动次数。自由振动时的圆频率称为次数。自由振动时的圆频率称为“自振频率自振频率”。第第13章章fT 22 频率定义式：频率定义式：频率计算式：频率计算式：wgkwgmmk111111111 周期计算式：周期计算式：111111112222gkwgwmkmT 自振频率是体系本身的固有属性，与体系的自振频率是体系本身的固有属性，与体系的刚度、质量有关，与激发振动的外部因素无关。刚度、质量有关，与激发振动的外部因素无关。第第13章章4 4、微分方程中各常数由初始条件确定、微分方程中各常数由初始条件确定 tsinCtcosCytcosCtsinCy2121 代入：代入： 00yyyy0 t将将时时 yCyC0102得：得：于是：于是：c co os st ty ys si in nt ty yy y0 00 0第第13章章进一步可确定式进一步可确定式)sin( tcy中的中的c和和 )yy(antCCtan)y(yCCC00112120202221 cc2c15 5、分析例题、分析例题13-113-1、13-213-2（P83P83） 二、有阻尼的自由振动二、有阻尼的自由振动 1 1、振动方程及其解、振动方程及其解011 ykycym 则则022 yyky 令令mck2 mk11 特征方程特征方程0222 krr2221, kkrr特征根特征根第第13章章分三种情况讨论：（分三种情况讨论：（1 1）k k，小阻尼情况，小阻尼情况（2 2）k k，大阻尼情况，大阻尼情况（3 3）k=k=，临界阻尼情况，临界阻尼情况或：或：（1 1）k k，小阻尼情况，小阻尼情况2221,kikrr 式中式中 22kr 称为称为“有阻尼振动的圆频率有阻尼振动的圆频率”rrT 2 称为称为“有阻尼振动的自振周期有阻尼振动的自振周期”ktce r y y r rt t2 2 ktce （一对共轭复根）（一对共轭复根）)t sinCt cosC(eykt 21 )tsin(Ceyrkt 结论：振幅结论：振幅Ce-kt按负指数函数衰减的自由振动。按负指数函数衰减的自由振动。第第13章章（2 2）k k，大阻尼情况，大阻尼情况2221, kkrr特征根特征根（两个不等的实根）（两个不等的实根）令令2211GGC 2212GGC 则则)22(2222222221tktktktkkteeGeeGey 结论：上式中不含简谐振动因子，阻尼使能量耗尽，结论：上式中不含简谐振动因子，阻尼使能量耗尽， 故不振动。故不振动。 或或)(222221tkchGtkshGeykt 通解通解 tkktkkececy)(2)(12222 第第13章章0y 0y时时间间曲曲线线时时位位移移 00, yychty shty y yy yt tt to oo o（3 3）k=k=，临界阻尼情况，临界阻尼情况 krr21特征根特征根（两个相同的实根）（两个相同的实根）结论：由振动过渡到非振动的临界状态。结论：由振动过渡到非振动的临界状态。 大阻尼情况下的振动曲线：大阻尼情况下的振动曲线：通解通解 )(21tGGeykt 第第13章章2 2、阻尼系数的确定、阻尼系数的确定（1 1）阻尼比的概念）阻尼比的概念)()ccc临临界界阻阻尼尼系系数数实实际际阻阻尼尼系系数数（）阻阻尼尼比比（ mmkcmckcc22,2 可可确确定定由由 实际工程中实际工程中K K，属于小阻尼衰减性振动。通，属于小阻尼衰减性振动。通常以阻尼比作为基本参数。常以阻尼比作为基本参数。2 2m mc cc cc cc c根据定义根据定义k临界状态时临界状态时故阻尼系数故阻尼系数2 2m mc c 第第13章章 222212)(kr（2 2）阻尼比的确定）阻尼比的确定y yt tktce 1 ntntTny1 ny mmmck222时时当当ntt ntnCey 时时当当1 ntt)Tt(nrnCey 1于是：于是：21)tsin(Ce)tsin(Ceytrkt 依上式可绘出振动图形：依上式可绘出振动图形：第第13章章22TCeCelnyylnrr)Tt(t1nnnn 定义定义（对数递减量）（对数递减量）（3 3）阻尼系数的确定）阻尼系数的确定1 1n nn ny yy yl ln n2 21 1根据实测两个相邻振幅来计算阻尼比，进而求阻尼系数。根据实测两个相邻振幅来计算阻尼比，进而求阻尼系数。实测振幅实测振幅1 1n nn n、y yy ymc2第第13章章解解（1 1）对数递减量：）对数递减量：（2 2）阻尼比：）阻尼比：（3 3）阻尼系数：）阻尼系数：（4 4）振动）振动5 5周期后的振幅：周期后的振幅：0355. 02223. 021 223. 04 . 05 . 0lnlnln101 yyyynn s/kg.Tmmc5310972035505121010002222 例题例题13-3 13-3 图示门式刚架作自由振动。图示门式刚架作自由振动。t=0t=0时，时，y y0 0=0.5cm=0.5cm，y y0 0=0=0。测得。测得r r=1.5 S; =1.5 S; 一周期后一周期后, , y y1 1=0.4cm =0.4cm 。求门架的阻尼。求门架的阻尼系数及振动系数及振动1010周期后的振幅周期后的振幅 y y1010。.rnrnTt)Tt(ececeyy 01 1001101010010 yyeececeyyrrnrnTTt)Tt(cm.yyyy054050504010010015 PM=1000tEI=第第13章章13.3 13.3 单自由度体系在简谐荷载单自由度体系在简谐荷载 作用下的动力计算作用下的动力计算一、考虑阻尼时运动方程及其解一、考虑阻尼时运动方程及其解t sinpykycym11 1 1、运动方程、运动方程）（为为干干扰扰力力频频率率。为为简简谐谐荷荷载载，t sinp 则：则：t sinmpyy 2y2 设：设：mk11 mc2 通解包括两部分：通解包括两部分：特解）特解）（齐次解）（齐次解）(yyy* 第第13章章2 2、齐次解：、齐次解：特征方程：特征方程：0r 2r22 rir 2442222特征根：特征根：)tsinctcosc(eyrrt 21 3 3、特解（待定系数法）：、特解（待定系数法）：设：设：t sinAt COSAyt cosAt sinAyt sinAt COSAy2221*21*21* 将上式代入原方程后，可确定将上式代入原方程后，可确定A A1 1、A A2 2：22222222222222214)()(mpA4)(2mpA第第13章章设：设：AconAAsinA21 1A2AA进一步，可得：进一步，可得：)AA(tanAAA2112221于是可将特解写为于是可将特解写为 的形式。的形式。 )tsin(Ay 将各量代入后，可求出特解：将各量代入后，可求出特解：)tsin(4)(mpy222222* 4、通解、通解*yyy )tsinctcosc(e21t )t sin(4)(mp222222 第第13章章利用利用 可确定通解中的常数可确定通解中的常数C C1 1、C C2 2，于是：，于是：00yy,yy0t 时时，)tsin(4)(mp222222 tsin)yy(etcosyeyrtrt 00 0 tcon)(msinpert 2222224 tsin)(m)cossin(pert 2222224 5 5、稳态解（稳态解（分析上式或直接分析通解，达到稳态后）分析上式或直接分析通解，达到稳态后）)tsin(4)(mpy222222 第第13章章达到稳态时运动方程的解为达到稳态时运动方程的解为tpykycym sin11 )sin(4)(222222 tmpy 运动方程运动方程二、动位移幅值的计算（考虑阻尼）二、动位移幅值的计算（考虑阻尼）利用利用111121 kmsAp 11 和和（A AS S为干扰力幅值产生的静位移）为干扰力幅值产生的静位移）运动方程的解（任意时刻的位移）可改写为：运动方程的解（任意时刻的位移）可改写为：)tsin(AyS 22222241 1 1、考虑阻尼、考虑阻尼 第第13章章动位移幅值为：动位移幅值为：SAA 222222411 于是：于是：称为称为“动力系数动力系数”或或“放大系数放大系数”。D 令：令：222222411 D11D11DSDkppAA 第第13章章2 2、不考虑阻尼时动位移幅值的计算、不考虑阻尼时动位移幅值的计算0 不考虑阻尼时，令动力放大系数计算式中不考虑阻尼时，令动力放大系数计算式中2211 1111kppAAS 3 3、共振时动位移幅值的计算、共振时动位移幅值的计算 共振时，令动力放大系数计算式中共振时，令动力放大系数计算式中 21max 11max11maxmaxkppAAS 放大系数：放大系数：放大系数：放大系数：动位移幅值：动位移幅值：动位移幅值：动位移幅值：第第13章章4 4、影响动位移幅值大小的因素、影响动位移幅值大小的因素（1 1）与干扰力幅值成正比；）与干扰力幅值成正比；（2 2）与）与 / / 的比值有关的比值有关；（a a）当）当 时时-动荷载可作为静荷载处理动荷载可作为静荷载处理；（b b）当）当 时时-与阻尼无关，结构可视为静止；与阻尼无关，结构可视为静止； （c c）当）当 = = 时时-共振，设计时应避免共振。由于阻尼的存共振，设计时应避免共振。由于阻尼的存在，振幅不会无限大。在，振幅不会无限大。22222211SD41PAA第第13章章 D D与与 和和的关系图的关系图D D4.04.03 .3 .0 02 .2 .0 01 .1 .0 00 00 .0 .5 51.01.02.02.01.51.5=0=0=1=1=0.2=0.2=0.5=0.55 5、位移和振动荷载之间的相位关系、位移和振动荷载之间的相位关系（1）当不计阻尼（）当不计阻尼（ =0）时）时（a）当）当 / 1 时时: =0，A与与P同相位；同相位； （b）当）当 / 1 时时: = ， A与与P反相位。反相位。有阻尼振动的特解：有阻尼振动的特解：22222222222222214)()(mpA4)(2mpAtsinAtcosAy21*式中：式中： 1A2AA22221122AAtantan 0,且为正值且为正值tan 0 /2 tan 0,且为负值且为负值第第13章章02.03.0=0=1=0.2=0.5=01.0与与 和和的关系图的关系图2（2 2）当考虑阻尼）当考虑阻尼时时（a a）当）当 / / 1 1时时-0-0 /2 , A /2 , A与与P P有相位差；有相位差； （b b）当）当 / / 1 1时时- - /2 /2 ， A A与与P P有相位差；有相位差； （c c）当）当 / / =1=1时时- = - = /2/2， A A与与P P相位差为相位差为 /2 /2 。 1 1、强迫振动达到稳态时，振动荷载输入的能量等于体、强迫振动达到稳态时，振动荷载输入的能量等于体系振动过程中消耗的能量。系振动过程中消耗的能量。 三、强迫振动时的能量转换三、强迫振动时的能量转换 2 2、依能量关系同样可以推导出振幅的计算式：、依能量关系同样可以推导出振幅的计算式：222222SSD4)1(AAA 第第13章章1 1、一般方法、一般方法 由于结构的弹性内力与位移成正比，所以位移达到由于结构的弹性内力与位移成正比，所以位移达到幅值时，内力也应达到幅值（不计阻尼时，位移与动荷幅值时，内力也应达到幅值（不计阻尼时，位移与动荷载同相位）。载同相位）。 将惯性力幅值和干扰力幅值同时加在体系上，而后将惯性力幅值和干扰力幅值同时加在体系上，而后按静力学方法求解，即可求得反力和内力的幅值。按静力学方法求解，即可求得反力和内力的幅值。四、动内力幅值的计算四、动内力幅值的计算第第13章章mtpp sin )t (p*)t ( I*2 2、比例算法、比例算法 当动力荷载与惯性力共线时，由于结构的位移与外力当动力荷载与惯性力共线时，由于结构的位移与外力成正比，位移、内力同时达到幅值，故可以按比例计算。成正比，位移、内力同时达到幅值，故可以按比例计算。 将惯性力幅值放大将惯性力幅值放大 倍后加在质量处，倍后加在质量处，而后按静力学而后按静力学方法求解即可。方法求解即可。1 p时，位移为时，位移为11 xp 时，位移最大时，位移最大PASD11 PxD11111 pxD 依比例关系：依比例关系：第第13章章m0pD mtpp sin 1 1、纯强迫振动的振幅可由干扰力振幅、纯强迫振动的振幅可由干扰力振幅P P所引起的静位移所引起的静位移A AS S放大放大 倍而得到。倍而得到。 五、计算动位移幅值、动内力幅值时应注意的问题五、计算动位移幅值、动内力幅值时应注意的问题11SDPAA （1 1）当结构的柔度系数易求时）当结构的柔度系数易求时 2 2、若荷载不直接作用在质点上，则应以、若荷载不直接作用在质点上，则应以-R-Ripip 代替代替P P，或以或以ipip代替代替P P 1111。第第13章章11SDkPAA （2 2）当结构的刚度系数易求时）当结构的刚度系数易求时mp1R)t(pm0pm0pp1 3 3、当动力荷载与惯性力共线时，、当动力荷载与惯性力共线时， 既是动既是动位移放大系数，位移放大系数，也是各截面动内力和动位移的放大系数。也是各截面动内力和动位移的放大系数。 例题例题13-4 13-4 在梁的中点作用有一重量为在梁的中点作用有一重量为W=30kNW=30kN的动力机械，已知梁的弹的动力机械，已知梁的弹性模量性模量E=210GPaE=210GPa，惯性矩，惯性矩I=8.0I=8.01010-5-5m m4 4 ，动力机械转动时其离心力的垂直分力，动力机械转动时其离心力的垂直分力为为P Psinsintt，且，且P=10kNP=10kN，旋转速度，旋转速度N=500N=500转转/ /分。若不考虑阻尼，试求梁的最大挠分。若不考虑阻尼，试求梁的最大挠度和弯矩（梁的自重略去不计）。度和弯矩（梁的自重略去不计）。 解：解：1 1、自振频率、自振频率：3 3、动力系数、动力系数 ：2 2、干扰力频率、干扰力频率：4 4、梁中点的振幅、梁中点的振幅：第第13章章Psint2m2mP=11mM1图图m/N107.9108.01021048448EIl8593311(1/s)64.3107.910309.81Wgm1831111(1/s)52.3605003.14260n2 2.9)64.352.3(1111222m102.29107.910102.9PA383115 5、梁的总位移、梁的总位移 ：6 6、梁的最大弯矩、梁的最大弯矩 ：m59kN44294430MMMPWmax4.66mmm104.66102.29107.91030AW338311max59Mmax(kN.m)29 例题例题13-5 13-5 图示简支刚架，在图示简支刚架，在1点处有一质体，点处有一质体，m=1000kg，在，在2点处作用点处作用有动力荷载有动力荷载Psint，且，且P=300N，已知，已知EI=5.0107N.m2，设，设=0.5，不考虑阻尼。，不考虑阻尼。求质体求质体m处的动位移幅值。处的动位移幅值。 第第13章章(m/N)101.354EI27621236212EI1dsEIMM72112m105.4300101.350.511P11AA5721222s 解：解：1 1、单位力引起的质体处的位移、单位力引起的质体处的位移：2 2、动位移幅值：动位移幅值：P=1126m6m1MP=121.5m2MPsint3m3m6m12mEIEI2EI2m2m补充例题补充例题位移。位移。，求梁中点的振幅及总，求梁中点的振幅及总尼，尼，。不计梁自重，考虑阻。不计梁自重，考虑阻分，质心偏心距分，质心偏心距转转转速转速旋转部分质量旋转部分质量动力机械质量动力机械质量号工字钢做成，号工字钢做成，简支梁由简支梁由05. 0mm 4 . 0e/500N ,kg 40 m ,kg 100m ,cm245I ,GPa 8 .205E10 4 解解：（一）不共振情况：（一）不共振情况1、动力系数、动力系数：453561352050456135211411222222222222.D 2、动位移幅值、动位移幅值：m10987. 31064. 278.4345. 3PA4611D 3、梁中点的总位移、梁中点的总位移：m10986. 210987. 31064. 28 . 9100AW34611max 第第13章章4、动力弯矩图及总弯矩图的绘制、动力弯矩图及总弯矩图的绘制a) 一般方法一般方法)tsin(p)tsin(AyDS 1122222241 任意时刻的位移：任意时刻的位移：* 确定动位移达到幅值时的时间确定动位移达到幅值时的时间t 1)tsin( 确定确定由由 3003080tan 308035256135256105022tan -12222.).(. s.)tsin(0358035230022t 2-t 1 时时当当第第13章章* 确定惯性力幅值和动荷载幅确定惯性力幅值和动荷载幅NtptP 79.41)0358. 03 .52sin(76.43sin)(* N 1 .10910987. 33 .52100AmPm ym)t (I422211Dtt* * 将惯性力幅值和动荷载幅加在体系上，绘动力弯矩图将惯性力幅值和动荷载幅加在体系上，绘动力弯矩图N 79.41150.1)m.N(M图图动动N 1 .109980NmgW 980)m.N(M图图静静1130)m.N(M图图最后最后830b)比例法（适用于无阻尼情况，此题近似）比例法（适用于无阻尼情况，此题近似）N 15176.4345. 3PD 151)m.N(M图图动动980NmgW 980)m.N(M图图静静1130)m.N(M图图最后最后830第第13章章（二）共振情况（二）共振情况1、动力系数、动力系数：1005. 02121max 2、动位移幅值、动位移幅值：m10155. 11064. 276.4310PA3611D 3、梁中点的总位移、梁中点的总位移：m10743. 310155. 11064. 28 . 9100AW33611max 设自振频率在计算过程中有设自振频率在计算过程中有25%的误差，则的误差，则 61.5（125%） 61.5(125%） 46.125 76.875 而而 =52.3，产生共振。，产生共振。N 6 .43776.4310PD 437.6)m.N(M图图动动980NmgW 980)m.N(M图图静静1418)m.N(M图图最后最后542第第13章章13.4 13.4 单自由度体系在任意荷载作单自由度体系在任意荷载作 用下的强迫振动用下的强迫振动一、瞬时冲量引起的动力反应一、瞬时冲量引起的动力反应1 1、冲量定理、冲量定理 质点的动量在任意段时间内的增量，等于作用于质点的质点的动量在任意段时间内的增量，等于作用于质点的力在同一段时间内的冲量（质点的动量定理）。力在同一段时间内的冲量（质点的动量定理）。为常量）为常量）F: ( )tt (FdtFvmvm12tt1221 t )t (pp0t tPQ 0t振动。振动。体系由静止开始作自由体系由静止开始作自由，作用于体系作用于体系冲量冲量时，时， 2 2、冲量结束时，质点的速度和位移、冲量结束时，质点的速度和位移第第13章章有阻尼自由振动：有阻尼自由振动：)tsinctcosc(eyrrt 21 )tcosctsinc(e)tsinctcosc(eyrrrrtrrt 21 21 2100C C yy ,0t ;yy ,0t 、确定确定利用利用 ryyC 00201y C )tsinyytcosy(eyrrrt 000 冲量结束时，质点的速度和位移冲量结束时，质点的速度和位移由动量定理：由动量定理：t pym t pymym012 即即：mt py0 取取 t t时间内的平均速度与时间内的平均速度与 t t相乘，得相乘，得冲量结束时的位移：冲量结束时的位移：20t m21t mt 21 ppy第第13章章3 3、瞬时冲量引起的动力反应、瞬时冲量引起的动力反应同量级同量级）与（与（同量级；同量级；与与200t y t y mt py0 20t m21t mt 21 ppy 分析分析tsinpe)tsinyytcosy(eyrrtrrrt mt 000 引起的动力反应为：引起的动力反应为：冲量冲量时，时，所以所以 t PQ 0t 引起的动力反应：引起的动力反应：冲量冲量时，时， t PQ t tsinemQyrtr )tsinemQyrr ( )-(t )t (pp0t d tt dpQ 第第13章章二、任意荷载引起的动力反应二、任意荷载引起的动力反应)tsinemd )(pdyrr ( )-(t 反应为：反应为：时，冲量元引起的动力时，冲量元引起的动力大于大于当当冲量组成。冲量组成。可以看作由一系列瞬时可以看作由一系列瞬时任意荷载任意荷载 t )t (p )t (p0t dt dpQ d)tsine )(pm)t (yrr t0)-(t ( 1 5513）式式 (）：）：，若不计阻尼（若不计阻尼（ r0 d)tsin)(pm)t (y t0( 1 5613）式式 (引起的总动力反应：引起的总动力反应： P(t) (“杜哈米积分”“杜哈米积分”第第13章章13.5 13.5 多自由度体系的自由振动多自由度体系的自由振动一、两个自由度体系的自由振动一、两个自由度体系的自由振动 22212122121111IIyIIy 1 1、运动方程的建立、运动方程的建立（1 1）列位移方程（柔度法）：）列位移方程（柔度法）： 222111ymIymI 将惯性力将惯性力 代入上式并整理，得：代入上式并整理，得：111ymI 222ymI 1y2y1m2m)a( 0yymym0yymym222221121122121111 )(8413 11 21 1I 12 22 2I )b()c(11第第13章章（2 2）列动力平衡方程（刚度法）：）列动力平衡方程（刚度法）： 0R0R21111ymI 222ymI 1y2y1m2m)a(0R1 0R2 1y 2y )b()c(11)d(111ymI 222ymI 2222IymIR 11k21k22k12k1111IymIR 002221212221211111ykykymykykym )(7013 别同力法、位移法。别同力法、位移法。求法、意义分求法、意义分、）式。式。以上两式可化为相同形以上两式可化为相同形利用功的互等定理，利用功的互等定理，。多自由度：多自由度：）单自由度：）单自由度：注意：注意：ijij11111k 3 2)k ; 1k1 第第13章章 2 2、运动方程的求解和频率方程（柔度系数易求情况）：、运动方程的求解和频率方程（柔度系数易求情况）： 0yymym0yymym222221121122121111 (1)(1) )t sin()2(X)t (y)t sin()1(X)t (y)t sin()2(X)t (y)t sin()1(X)t (y222121 (2)(2)(3)(3)设方程的特解（同频率、同相位、质点位移之比为常量）：设方程的特解（同频率、同相位、质点位移之比为常量）：将方程的特解及其二阶导数代入式（将方程的特解及其二阶导数代入式（1 1），化简后得：），化简后得： 0211021122222111222111)(Xm)(Xm)(Xm)(Xm (4)(4)令该齐次方程组系数行列式等于零，可得频率方程：令该齐次方程组系数行列式等于零，可得频率方程：01 122222111222111 mmmm(5)(5)第第13章章将该齐次方程组系数行列式展开：将该齐次方程组系数行列式展开：01 1212221121222211122 )(mm)mm( 解方程，可得两个自振频率：解方程，可得两个自振频率：)(mm4)m m(21)m m(211121222112122221112221112221 ； 0ymykyk0ymykyk2222212111212111 3 3、运动方程的求解和频率方程（刚度系数易求情况）：、运动方程的求解和频率方程（刚度系数易求情况）： )t sin()2(X)t (y)t sin()1(X)t (y )t sin()2(X)t (y)t sin()1(X)t (y222121 设方程的特解（同频率、同相位、质点位移之比为常量）：设方程的特解（同频率、同相位、质点位移之比为常量）：将方程的特解及其二阶导数代入原方程，化简后得：将方程的特解及其二阶导数代入原方程，化简后得：)kkk(mmmkmkmkmk2122211212222111222111212142121 、第第13章章4 4、特定初始条件下的简谐振动主振型、特定初始条件下的简谐振动主振型当当 = = 1 1时：时： )t sin()2(X)t (y)t sin()1(X)t (y112111 代入运动方程：代入运动方程：得：得：11221112111mm1)1(X)2(X 当当 = = 2 2时：时：21221112222mm1)1(X)2(X 对刚度系数易求的情况对刚度系数易求的情况度数相同。度数相同。）频率数目与振动自由）频率数目与振动自由（“低频”；“低频”；，或“基频”、，或“基频”、表示，称“第一频率”表示，称“第一频率”）两根中数值较小者以）两根中数值较小者以（开方后只取两个正根；开方后只取两个正根；）频率方程有四个根，）频率方程有四个根，（注意：注意：3 2 1 1 0)2(X)1m()1(Xm0)2(Xm)1(X)1m(j2j222j211j122j2j111 第第13章章当当 = = 1 1时：时：1121121111kkm)1(X)2(X 当当 = = 2 2时：时：对刚度系数易求的情况对刚度系数易求的情况 。、性性（件件无无关关，取取决决本本身身的的特特主主振振型型的的形形式式与与初初始始条条）由由初初始始条条件件决决定定。体体系系按按什什么么振振型型振振动动，为为第第二二主主振振型型。：为为第第一一主主振振型型；对对应应：不不变变。对对应应体体系系的的变变形形形形式式位位移移之之比比为为常常量量，说说明明）振振动动过过程程中中，两两质质点点注注意意：m) 3 2)1X 1X 1 222111 5 5、任意初始条件下，体系的自由振动振动、任意初始条件下，体系的自由振动振动 在一般条件下，质点的位移是由不同频率的简谐分量叠加而成，在一般条件下，质点的位移是由不同频率的简谐分量叠加而成，不再是简谐振动。不再是简谐振动。2121122122kkm)1(X)2(X 第第13章章例题：求图示体系的自振频率和主振型。例题：求图示体系的自振频率和主振型。3l3l3lmm解：解：（1 1）求频率）求频率EIl2434dsEIM312211 EIl4867dsEIMM3212112 代入代入)(mm4)m m(21 )m m(211121222112122221112221112221 ；1p 1p 9l29l2)M(1图图)M(2图图 3231mlEI22 ;mlEI69.5 （2 2）求振型）求振型111 1 11X 1：第一振型第一振型 11 X 2：第二振型第二振型1mm1)1(X)2(X12211121111 1mm1)1(X)2(X12211122222 第第13章章二、多自由度体系的自由振动二、多自由度体系的自由振动 )ym()ym()ym(y )ym()ym()ym(y)ym()ym()ym(ynnnn222n111nnnnn2222211212nnn1221211111 1 1、运动方程的建立、运动方程的建立（1 1）列位移方程（柔度法）：）列位移方程（柔度法）：移项后，写成矩阵的形式：移项后，写成矩阵的形式：1I2I1y2y1m2mnInmny 108)-(13 0 YYM 第第13章章（2 2）列动力平衡方程方程（刚度法）：）列动力平衡方程方程（刚度法）：移项后，写成矩阵的形式：移项后，写成矩阵的形式： 95)-(13 0 YKYM 1I2I1m2mnInm1R2RnR 0ykykykym 0ykykykym0ykykykymnnn22n11nnnnn222212122nn121211111 第第13章章2 2、运动方程的求解和频率方程（柔度系数易求情况）、运动方程的求解和频率方程（柔度系数易求情况） )t sin()n(X)t (y)t sin()2(X)t (y)t sin()1(X)t (yn21 设方程的特解（同频率、同相位、质点位移之比为常量）：设方程的特解（同频率、同相位、质点位移之比为常量）：将方程的特解及其二阶导数代入式（将方程的特解及其二阶导数代入式（1 1），化简后得：），化简后得： 0 2 )tsin(X)tsin(XM 令该齐次方程组系数行列式等于零，可得频率方程：令该齐次方程组系数行列式等于零，可得频率方程：(1)(1) 0 YYM (2)(2)(3)(3) )t sin(Xy )t sin(Xy 2 用用矩矩阵阵表表示示：(13-111)(13-111) 01 2 XIM (13-112)(13-112) 0 1 2 IM 第第13章章频率。频率。、第、第第三、第三、分别称为第一、第二、分别称为第一、第二、自振频率。由小到大的自振频率。由小到大的个根即相当于个根即相当于数方程。它的数方程。它的次代次代的的程，展开后可得程，展开后可得个自由度体系的频率方个自由度体系的频率方为为式式 n 1 112)-(13 3212nnnnn ：频率频率的振型。例如，对某个的振型。例如，对某个对应不同的频率有不同对应不同的频率有不同 j 01 2 jjXIM 的相对值的相对值能得到能得到个是独立的。因此，只个是独立的。因此，只方程只有（方程只有（个代数个代数包括的包括的式的值等于零，故它所式的值等于零，故它所由于上方程组系数行列由于上方程组系数行列jX1)-n n 化振型向量”，即：化振型向量”，即：，建立“规准，建立“规准为为元素为标准，并设其值元素为标准，并设其值取振幅向量中的第一个取振幅向量中的第一个1 T jjjjjjT jjjjjT jjjjj)1(X)n(X,)1(X)3(X,)1(X)2(X, 1 )n(X,),3(X),2(X),1(X)1(X1 )n(,),3(),2(),1( 第第13章章 11 01 2)(IMjjj 的方程组为：的方程组为：于是，确定于是，确定j 设方程的特解（同频率、同相位、质点位移之比为常量）：设方程的特解（同频率、同相位、质点位移之比为常量）：(2)(2)(3)(3) )t sin(Xy )t sin(Xy 2 用矩阵表示：用矩阵表示： 3 3、运动方程的求解和频率方程（刚度系数易求情况）：、运动方程的求解和频率方程（刚度系数易求情况）：(1)(1) 0YKYM )t sin()n(X)t (y)t sin()2(X)t (y)t sin()1(X)t (yn21 将方程的特解及其二阶导数代入式（将方程的特解及其二阶导数代入式（1 1），化简后得：），化简后得： 0)t sin(XK)t sin(XM2 0X MK2 (13-98)(13-98)第第13章章令该齐次方程组系数行列式等于零，可得频率方程：令该齐次方程组系数行列式等于零，可得频率方程： 0 MK 2 (13-99)(13-99)频频率率。、第第第第三三、分分别别称称为为第第一一、第第二二、自自振振频频率率。由由小小到到大大的的个个根根即即相相当当于于数数方方程程。它它的的次次代代的的程程，展展开开后后可可得得个个自自由由度度体体系系的的频频率率方方为为式式 n 99)-(13 3212nnnnn ：频率频率的振型。例如，对某个的振型。例如，对某个对应不同的频率有不同对应不同的频率有不同 j 的的相相对对值值能能得得到到个个是是独独立立的的。因因此此，只只数数方方程程只只有有（个个代代包包括括的的式式的的值值等等于于零零，故故它它所所由由于于上上方方程程组组系系数数行行列列jX1)-n n 0X MKj2j 第第13章章准化振型向量”，即：准化振型向量”，即：，建立“规，建立“规为为元素为标准，并设其值元素为标准，并设其值取振幅向量中的第一个取振幅向量中的第一个1 T jjjjjjT jjjjjT jjjjj)1(X)n(X,)1(X)3(X,)1(X)2(X, 1 )n(X,),3(X),2(X),1(X)1(X1 )n(,),3(),2(),1( 1)1( 0MK jj2j 的方程组为：的方程组为：于是，确定于是，确定j 4 4、振型矩阵的概念、振型矩阵的概念“振型矩阵”：“振型矩阵”：它们组成一个方阵，称它们组成一个方阵，称个“规准化振型向量，个“规准化振型向量，个频率对应个频率对应n n )n(,),n(),n(),n( , , , , )3(,),3(),3(),3()2(,),2(),2(),2()1(,),1(),1(),1(,n321n321n321n321Tn321 第第13章章 例题例题1 1：三层刚架。质量、侧移刚度如图所示。略去横梁变形。试求三层刚架。质量、侧移刚度如图所示。略去横梁变形。试求该刚架的自振频率和主振型。该刚架的自振频率和主振型。解：解： （1 1）求频率）求频率t315m1 t270m2 t180m3 m/MN 245k1 m/MN 196k2 m/MN 98k3 m/MN 0k13 m/MN 98k23 m/MN 98k33 1m/MN 196k12 m/MN 294k22 m/MN 98k32 1m/MN 441k11 m/MN 196k21 m/MN 0k31 1 0 MK 2 频率方程：频率方程：010 0 01.5 0 00 75. 1t1801 10 - 1 - 32-0 2 -5 . 4m/MN98 2 即：即：第第13章章（2 2）求振型）求振型0 10 0 01.5 0 00 75. 1m/MN98t1801 10 - 1 - 32-0 2 -5 . 4 2 m/MN98t180 2 设设：0 -1 1 -0 1 -1.5- 3 2 -0 2 -75. 15 . 4 则：则：s161.44 s140.29 s136.13 655. 3 588. 1 328. 0 0905. 1524. 75 . 5 32132123 三个频率为：三个频率为：三个根为：三个根为：展开上式：展开上式：)s136.13( 328. 0 )111 第一规准化振型：第一规准化振型： 1)1( 0 MK 1121 第第13章章 T21.467 -0.863 000. 1 )2 第二规准化振型：第二规准化振型： 000)3()2(1 328. 0-1 1 - 0 1 - 328. 01.5- 3 2 -0 2- 328. 075. 15 . 4 11 即：即： T111 2.9181.961 000. 1 21 核。核。），第三个方程用于校），第三个方程用于校（）、）、（利用前两个方程求利用前两个方程求 T30.3580.950 -000. 1 )3 第三规准化振型：第三规准化振型：三个振型的大致形状：三个振型的大致形状：)4918. 2961. 1000. 1467. 1 863. 0000. 1000. 1358. 0950. 0 ）第第一一振振型型（s136.131 ）第第二二振振型型（s140.292 ）第第三三振振型型（s161.443 第第13章章 例题例题2 2： 对称刚架。梁抗弯刚度对称刚架。梁抗弯刚度EI=EI=，柱的抗弯刚度，柱的抗弯刚度EIEIC C=6.0 =6.0 MN.mMN.m2 2 , ,横梁的总质量横梁的总质量1600kg,1600kg,两柱中点处的集中质量为两柱中点处的集中质量为300kg300kg。求刚架。求刚架的自振频率和主振型。的自振频率和主振型。m6m2m2kg 300kg 300kg 16001y正正对对称称振振动动1p 75. 016pl3 625. 012图图kM图图pM解：解：（一）正对称形式的自由振动（一）正对称形式的自由振动CC11EI127625. 03175. 0322221EI1 s116.185730010612m1611 第第13章章 例题例题2 2： 对称刚架。梁抗弯刚度对称刚架。梁抗弯刚度EI=EI=，柱的抗弯刚度，柱的抗弯刚度EIEIC C=6.0 =6.0 MN.mMN.m2 2 , ,横梁的总质量横梁的总质量1600kg,1600kg,两柱中点处的集中质量为两柱中点处的集中质量为300kg300kg。求刚架。求刚架的自振频率和主振型。的自振频率和主振型。m6m2m2kg 300kg 300kg 16002y3y反对称振动反对称振动1423413412232132图图1M图图2M（二）反对称形式的自由振动（二）反对称形式的自由振动c22c2112c11EI332 EI344 EI364 )(mm4)m m(21 )m m(211121222112122221112221112221 ； s102.201s127.1721 第第13章章 845. 3694. 0EI344300EI364800353. 3mm11cc122111211 T2T13.845 -1 694. 0 1 规准化振型：规准化振型：（三）原刚架的频率和变形（三）原刚架的频率和变形 s102.201s116.185s127.17321 第一振型第一振型第一振型第一振型第一振型第一振型1000. 1000. 1845. 3 694. 0000. 1694. 01000. 1845. 3 第第13章章13.6 13.6 多自由度体系主振型的正交性多自由度体系主振型的正交性一、定义一、定义 所谓主振型的正交性是指不同频率相应的主振型之间存所谓主振型的正交性是指不同频率相应的主振型之间存在着相互正交的性质。在着相互正交的性质。二、证明：二、证明： );b(X ),a(X jj ii 图图相相应应的的振振型型向向量量为为与与图图相相应应的的振振型型向向量量为为设设：与与 )a(X Xi i(1)(1)X Xi i(2)(2)X Xi i(n(n) )的振型向量的振型向量对应对应图（图（i )a )b(X Xj j(1)(1)X Xj j(2)(2)X Xj j(n(n) )的振型向量的振型向量对应对应图（图（j )b 第第13章章 )2(X M X K )1(X M X K 0X MK :j2jji2ii2 可得：可得：依据依据 )4(X MXX KX )3(X MXX KX :X X21jTi2jjTiiTj2iiTjTiTj 、）两式分别左乘）两式分别左乘）、（）、（ MM KK :MK)4()3( TT ，为对称矩阵为对称矩阵、，转置后其值不变。，转置后其值不变。两式左侧乘积为一标量两式左侧乘积为一标量、 )5(X MXX KX 3jTi2ijTi ）式施行转置：）式施行转置：对（对（ 0X MX) 45jTi2j2i （）：）：式（式（）式（式（ )6( 0X MX jTiji 0X KX 4)6(jTi ）：）：代入（代入（第第13章章（13-1