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14.114.1勾股定理勾股定理复习提问 1、任意三角形三边满足怎样的关系？、任意三角形三边满足怎样的关系？2、对于等腰三角形，三边之间存在、对于等腰三角形，三边之间存在怎样的特殊关系？等边三角形呢？怎样的特殊关系？等边三角形呢？3、对于直角三角形，三边之间存在、对于直角三角形，三边之间存在怎样的特殊关系？怎样的特殊关系？2002年在北京召开了第年在北京召开了第24届国际数学家大届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的会议，被誉为数学界的“奥运会奥运会”，这就，这就是本届大会会徽的图案。是本届大会会徽的图案。 这个图案就是我国汉这个图案就是我国汉代数学家赵爽在证明代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，勾股定理时用到的，被称为被称为“赵爽弦图赵爽弦图”相传相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家的用砖铺成的地面家做客时，发现朋友家的用砖铺成的地面中反映了直角三角形的某种数量关系。中反映了直角三角形的某种数量关系。CBA情景引入情景引入ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1图图2（1）观察图）观察图1 正方形正方形A中含有中含有 个个小方格，即小方格，即A的面积是的面积是 个单位面积。个单位面积。 正方形正方形B的面积是的面积是 个单位面积。个单位面积。正方形正方形C的面积是的面积是 个单位面积。个单位面积。99918你是怎样得到你是怎样得到C的面积的面积的？与同伴交流交流。的？与同伴交流交流。123（2）（3）探究活动一：探究活动一：ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1图图2cS正方形143 3182 分割成若干个直角边分割成若干个直角边为整数的三角形为整数的三角形（单位面积）（单位面积） 返回返回ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1图图2cS正方形216218（单位面积）（单位面积）把把C看成边长为看成边长为6的的正方形面积的一半正方形面积的一半 返回返回ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图 1图图 2（2）在图）在图2中，正方中，正方形形A，B，C中各含有中各含有多少个小方格？它们多少个小方格？它们的面积各是多少？的面积各是多少？（3）你能发现图）你能发现图1中中三个正方形三个正方形A，B，C的面积之间有什么关的面积之间有什么关系吗？系吗？ SA+SB=SC 即：即：以等腰直角三角形两条直角边上的正方两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积形面积之和等于斜边上的正方形的面积探究活动二：探究活动二：（1）观察右边）观察右边两幅图：两幅图： （2）填表（每个小正方形的面积为单位）填表（每个小正方形的面积为单位1）：）：A的面积的面积B的面积的面积C的面积的面积左图左图右图右图4 916 9？（3）你是怎样得到）你是怎样得到正方形正方形C的面积的？与同伴交流的面积的？与同伴交流. “割割”“补补”“拼拼”（4）分析填表数据，你发现了什么？）分析填表数据，你发现了什么？ A的面积的面积B的面积的面积C的面积的面积左图左图4913右图右图16925CBASSS结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.222cba议一议：议一议：（1）你能用直角三角形的两直角边的长）你能用直角三角形的两直角边的长a、b和和斜边长斜边长c来表示图中正方形的面积吗？来表示图中正方形的面积吗？（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？关系吗？CBASSS 勾股定理（勾股定理（gou-gugou-gu theorem) theorem)如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为斜边为c，那么，那么222abc即即 直角三角形两直角边的平方和等直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。于斜边的平方。abc表示为：RtABC中，C=90 则222cba议一议：判断下列说法是否正确议一议：判断下列说法是否正确,并说明理由：并说明理由： (1)在在ABC中中,若若a=3,b=4,则则c=5 (2)在在RtABC中，如果中，如果a=3，b=4,则则c=5. (3)在在RtABC中，中，C=90 , 如果如果a=3，b=4,则则c=5. 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为半部分称为 勾勾 ，下半部分称为，下半部分称为 股股 。我国古代。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为学者把直角三角形较短的直角边称为“勾勾”，较，较长的直角边称为长的直角边称为“股股”，斜边称为，斜边称为“弦弦”. .勾勾股股勾股定理的由来毕达哥拉斯（毕达哥拉斯（PythagorasPythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比比商高晚出生五百多年商高晚出生五百多年。希腊另一位数学家欧几里德（。希腊另一位数学家欧几里德（EuclidEuclid，是公元前三百，是公元前三百年左右的人）在编著年左右的人）在编著几何原本几何原本时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为的，所以他就把这个定理称为 毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理 ，以后就流传开了。，以后就流传开了。这个定理在中国又称为这个定理在中国又称为“商高定理商高定理”，商高是公元，商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作的数学著作周髀算经周髀算经中记录着商高同周公的中记录着商高同周公的一段对话。商高说：一段对话。商高说：“故折矩，故折矩，勾广三，股修四，勾广三，股修四，经隅五经隅五。商高那段话的意思就是说：当直角三角形。商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为的两条直角边分别为3 3（短边）和（短边）和4 4（长边）时，（长边）时，径隅（就是弦）则为径隅（就是弦）则为5 5。以后人们就简单地把这个。以后人们就简单地把这个事实说成事实说成“勾三股四弦五勾三股四弦五”。由于勾股定理的内容。由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫作作 商高定理商高定理 。探究活动探究活动分成四人小组，每个小组分成四人小组，每个小组课前准备好课前准备好4个全等的直角三个全等的直角三角形和以直角三角形各边为边角形和以直角三角形各边为边长的长的3个正方形（如右图）个正方形（如右图）. 运用这些材料（不一定全用），你能另外拼运用这些材料（不一定全用），你能另外拼出一些正方形吗？试试看，你能拼几种出一些正方形吗？试试看，你能拼几种. 图图图方法一：方法一：221）（baSS而而abbaS214221abcS21422所以所以abcabba214214222即即222cba，.因为因为，方法二：方法二：2)baS （正2214cab，化简得：化简得：222cba方法三：方法三：2cS正2)(214abab，化简得：化简得：222cba1. 1.求下列图中表示边的未知数求下列图中表示边的未知数x x、y y、z z的值的值. .8181144144x xy yz z625625576576144144169169比比一一比比看看看看谁谁算算得得快！快！2.2.求下列直角三角形中未知边的长求下列直角三角形中未知边的长: :可用勾股定理建立方程可用勾股定理建立方程.方法小结方法小结:8 8x x171716162020 x x12125 5x xCA.8 A.8 米米 B.9 B.9 米米 C.10C.10米米 D.14D.14米米、如图、如图, ,一个长一个长8 8 米米, ,宽宽6 6 米的草地米的草地, ,需在相对角的需在相对角的顶点间加一条小路顶点间加一条小路, ,则小路的长为则小路的长为 ( ) ( ) 8m8m6m6m别踩我,我怕疼!、湖的两端有、湖的两端有A A、两点，从与、两点，从与A A方向成直方向成直角的角的BCBC方向上的点方向上的点C C测得测得CA=130CA=130米米,CB=120,CB=120米米, ,则则ABAB为为 ( )( )ABCA.50A.50米米 B.120B.120米米 C.100C.100米米 D.130D.130米米130120?A某楼房在某楼房在20米高处的楼层米高处的楼层失火，消防员取来失火，消防员取来25米长米长的云梯救火，已知梯子的的云梯救火，已知梯子的底部离墙的距离是底部离墙的距离是15米。米。问消防队员能否进入该楼问消防队员能否进入该楼层灭火？层灭火？ ABC1520? ? ? ?书：9页：习题：1、课堂练习：第一课时：1、2、7、12我国古代两种证法： 1、公元、公元3世纪我国汉代数学家世纪我国汉代数学家赵爽赵爽在为在为周髀算经周髀算经作注时给出的作注时给出的“弦图弦图”： 我国有记载的最早勾股定理的证明，是三国时，我国我国有记载的最早勾股定理的证明，是三国时，我国古代数学家赵爽在他所著的古代数学家赵爽在他所著的勾股方圆图注勾股方圆图注中，用四中，用四个全等的直角三角形拼成一个中空的正方形来证明的。个全等的直角三角形拼成一个中空的正方形来证明的。每个直角三角形的面积叫每个直角三角形的面积叫朱实朱实，中间的正方形面积叫中间的正方形面积叫黄黄实实，大正方形面积叫，大正方形面积叫弦实弦实，这个图也叫，这个图也叫弦图弦图。年的国际数学家大会将此图作为大会会徽年的国际数学家大会将此图作为大会会徽2、我国数学家我国数学家刘徽刘徽在他的在他的九章算术注九章算术注中给出中给出的的“青朱出入图青朱出入图” ：证法四：证法四：（伽菲尔德证法（伽菲尔德证法1876年）年）ABCDE 如图，RtABE RtECD，可知AED=90；)(21baba梯形ABCD的面积2212121cabab梯形ABCD的面积2212121)(21cababbaba222cba证法五：证法五：（欧几里得证法公元前（欧几里得证法公元前3世纪）世纪）“新娘的轿椅新娘的轿椅”或或“修士的头巾修士的头巾” 如图，Rt ABC中，ACB=90，四边形ACHK、BCGF、ABED都是正方形，CNDE，连接BK、CD。AK=ACAB=ADKAB=CADKAB CADS 正方形KACH = S 四边形ADNM同理：S 正方形BCGF = S 四边形BENM S 正方形KACH + S 正方形BCGF = S 四边形ADNM + S 四边形BENM S KAB = S CADAMADACAK2121AMADACAK222cbaS 正方形KACH + S 正方形BCGF = S 四边形ADEB
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