高考数学复习点拨 蚂蚁的行程问题

蚂蚁的行程问题侧面展开图除了可以帮助我们顺利地求几何体的表面积之外，它还可以帮助我们做什么呢？问题1：如图1，长方体的长为12cm，宽为6cm，高为5cm，一只蚂蚁沿侧面从点向点爬行，问：爬到点时，蚂蚁爬过的最短路程是多少？探究：我们来分析一下蚂蚁的爬行路线：（1）当蚂蚁首先沿正对我们的这个面爬行时，下一步有可能沿上面的面爬行也有可能沿右侧面爬行，为了求得最短路程，我们可以分两种情况展开，如图2，此时，最短路程只可能是连结的线段长于是，由勾股定理得或经比较知，此时的最短路程为cm；（2）当蚂蚁首先沿下底面爬行时，下一步又有两种可能，即沿里面的面或沿右侧面如图3，得或比较知，此时最短路程为cm；（3）当蚂蚁首先沿左侧面爬行时，下一步依然有两种可能，即沿里面的面或沿上面的面如图4，得或此时最短路程为cm综合（1），（2），（3），知蚂蚁爬过的最短路程为cm问题2：如图5，圆锥的侧面展开图是半径为cm的半圆，一只蚂蚁沿圆锥侧面从点向点爬行，问：（1）爬到点时，蚂蚁爬过的最短路程；（2）当爬行路程最短时，求爬行过程中离圆锥顶点的最近距离探究：（1）从图5中很难求出蚂蚁爬过的最短路程，我们沿将圆锥侧面展开，得到一个半圆，如图6，此时，是半圆弧的中点，显然，蚂蚁沿弦爬行时，爬行的路程最短由cm，且，得，即蚂蚁爬过的最短路程为4cm；（2）自作于，则即为爬行路程最短时，蚂蚁离圆锥顶点的最近距离，由于是等腰直角三角形斜边上的高，因此，即蚂蚁离圆锥顶点的最近距离为2cm噢！原来侧面展开图不仅可以帮我们求表面积，还可以帮我们求表面上折线（或曲线）的最小值