直线方程及圆椭圆双曲线抛物线定义性质及标准方程

直线方程及圆、椭圆、双曲线、抛物线定义、性质及标准方程直线方程及圆、椭圆、双曲战,他物战定义，性质及标承方程归纳要理：社响1 .斜率公式k = （,凡）、r（马,力） “王 一 2 .直线的五种方程（1）点斜式 y - 1 =k（x-xl） （直线/过点L,且斜率 为k）.（3）两点式（2）斜截式）,+Mb为直线/在y轴上的截距）.- = -（凶工刈）（6（小，m）、 鸟（毛，月）（丁 /，分别为直线的横、纵截距,%W入2 ).(4)截距式=ia h。、人工0)(5) 一般式 Av + By+ C = 0(其中A、B不同时为0).3 .两条直线的平行和垂直若 /1: y = kxx+b f l2: y = k2x+b20/ H /,K= k”b看 b、;()/ _L/, o kk、=1 若 4 : Ax+ gy + G = 0 , /?: AyX+B, y + C, = 0,且 Ai、Az Bi、B2 都不为零，“亿=3=竺工邑； 4 5, C,/j _L/, 044 + “、=0；4 .夹角公式(1) tana =11.71 + M,(/：)，= kxx + b 9 l2：y = k2x+b2 , k、k1W 1)(2) tan a =1 ：Ax+4y + Ci =O9/2:A2x+B2y + C2 =OaiA2 + B1B2 工0)直线与，2的夹角是？(3) 到的角公式 (1)tan=M*(/j :y = kx + b 9/2：)，= &x+Z,攵人工一1)1 4na=A-AA& 十 BB2(4 ：4x+gy + G =Ol2:A2x+B2y + C2 =0,44+8在 WO)直线/j时，直线到，2的角是？6 .四种常用直线系方程.(1)定点直线系方程：经过定点 h(X。，九) 的直线系方程为 yf=Z(XTo) (除直线、f),其中k是待定的系数；经过定点 凡(知为)的直线系方程为45一)+ 8(),一尢)=0,其中A、8是待定的 系数.共点直线系方程：经过两直线4 : 4x+gy+ G =0 f /,: AyX+B2y + C2 = 0的交点的直线系方程为 (Aix + By + Cl) + A(A2x + B2y + C2) = O(除Q,其中人是待定的系数.(3)平行直线系方程：直线严出中当斜率k 一定而b变动时，表示平行直线系方程.与直线A + 8y + C = 0 平行的直线系方程是Ay + B v + 2 = 0 (丸工。)，人是参变量.(4)垂直直线系方程：与直线 1 (AWO, BW0)垂直的直线系方程是人是参变量.83点到直线的距离“J 九：二上。(点 P(%,yo),直线/ ： Av + Bv + C = 0). yjA + B7 . Ar + 8,v + C0或0或0)x = a + rcQsOy = +rsind(4)的直径式方程(x-x1)(x-x2) + (y-yI)(y-y2) = O（圆的直径的端点是A（x】，h）、8（超,%） 10.系方程（1）过点 4国，3），8（孙力）的圆系方程是(x-x(x-x2) + (y-y(y-y2) + A(x-x1)(y-y2)-(y-y)(x-x2) = ()o (x玉)(x/) + ( , )1)() 一 )+ 2(办+by+c) = O , 其中 ax+by + c = O 是直线AS 的方程，入是待定的系数.(2)过直线 / : Ax +By+ C = 0与圆C ； x2 + y2 + Dx+Ey + F = 0 的交点 的圆系方程是x2 + y2 + Dx + Ey + F + A(Ar+By + C) = 0 , 人是待定的系 数.C2 : x2 + y2 + D2x+E2y + F2 =0(3)过圆 3 : x2 + y2 + Dxx+Ey + Fx = 0的交点的圆系方程是+ yV+)o + +Dix + Ey + Fl +A(x2 +y2 +D2x + E2y + F2) = O ,人是待定的系数.11.点与圆的位置关系点 P&o,No)与 II (x-a)1 +(y_0)2 =r2的位置关系有三种若”=，伍7。产+(九了 ,贝|dr 点P在圆夕卜；d = r =点P在圆上；d r =相离 o 0.其中A8C| y1A2+B2(工一。)。+y-hy =r2的位置关系有三13.两圆位置关系的判定方法设两园园心分别为01，。2,半径分别为n，Y29 op2 = ddi +r2 =外离=4条公切线；d = rl+r2 0外切o 3条公切线；_马| v d v+ & o相交o 2条公切线； d =|?| -r)| 内切o 1条公切线； Ovd 无公切线.(1)已知I14.圆的切线方程| x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 若已知切点*o，No) 方程是在圆上，则切线只有一条，其+ F = 0.外时,y。），+ *广）+写”-v）+尸=0表示过两个切点的切点弦方程.过外一点的切线方程可设为=*70），再利用相切条件求k,这时必有两条切线，注意不要漏掉 平行于y轴的切线.斜率为k的切线方程可设为严点+，再利用相切 条件求b,必有两条切线.（2）已知|I，2）厂+厂厂.过圆上的原知城点的切线方程为V+X）yr斜率为k的圆的切线方程为y = kx T1 +如1.椭圆的定义:第一定义：平面内与两个定点耳、鸟的距离之和等于常数（大于恒用）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫 做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。第二定义：动点M到定点厂的距离和它到定直线,的距离之比等于常数则动点的轨迹叫做椭圆。定点尸是椭圆的焦点，定直线/叫做椭圆的准线，常数,叫 做椭圆的离心率。说明：若常数2等于2c,则动点轨迹是线段和。 若常数2小于%,则动点轨迹不存在。2.椭圆的标准方程、图形及几何性质:标准 方程22二十 ） = 1（。0） cr b-中心在原点，焦点 在工轴上22十 ）=1（匕。）cr 6中心在原点，焦点在.V轴上1 1/ A1. 41 , r r-因形1 1 范围a,y B2 (Z?,0)x轴、y轴;x轴、v轴；对称长轴长2a,短轴长长轴长2a,短轴长孙nW2/7；焦点在长轴上焦点在长轴上焦点E（-c,0）、玛（c,0）6(O,-c)、外(0, c)焦距田川= 2c(c0)| 百目= 2c(c0)离心cce = (0 e 1)e = (0 v e 0,2 # n) o双曲战的定义、方程和性质1 .定义(1)第一定义：平面内到两定点Fi、F2的距离之差 的绝对值等于定长2a (小于IF1F2I)的点的轨迹叫双 曲线。说明：IIPFil-IPF2ll=2a (2aIFiF2l时无轨迹。设M是双曲线上任意一点，若M点在双曲线右边一 支上,贝!IlMFQIMFd, IMFil-IMF2l=2a；若 M 在双曲 线的左支上，则IMFilvIMFd, IMFil-IMF2l=-2a,故 IMFil-IMF2l=2a,这是与椭圆不同的地方。(2)第二定义：平面内动点到定点F的距离与到定 直线L的距离之比是常数e (el)的点的轨迹叫双 曲线，定点叫焦点，定直线L叫相应的准线。2 .双曲线的方程及几何性质图形Fi (-c, 0), Fz (c, Fi (0, -c), Fz (0, c) 焦点八 顶点 Ai (a, 0), Az (-a, Ai (0, a), A? (0, -a)0)对称轴实轴2a,虚轴2b, 实轴在X轴上， c2=a2+b2实轴2a,虚轴2b,实 轴在y轴上，c2=a2+b2离心率c IMF. 16 a MDc 1 MF, 1 e a MD准线方 程“Y4准线间距离为竽叱孰准线间距离 为手渐近线 方程xy八xy八i = 0,= 0ab abx yx yb ab a几个概念3.(1)等轴双曲线：实、虚轴相等的双曲线。等轴(2)双曲线的渐近线为y=x,离心率为加。虚轴共轴双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴,为实轴的双曲线叫原双曲线的共轴双曲线，例:二 二1的共轴双曲线是一cr lr双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线。但有共同的渐近线的两双曲线，不一定是共轴双曲线； 双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个圆方 上。抛物线标次方程与几何性质 一、抛物线定义的理解平面内与一个定点厂和一条定直线/的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点为抛物线的焦点，定直线/为 抛物线的准线。注:定义可归结为“一动三定一个动点设为心 一定点尸（即焦点）；一定直线/ （即准线）；一定值1 （即 动点M到定点下的距离与它到定直线/的距离之比1）定义中的隐含条件：焦点/不在准线/上。若在/上，抛物线退化为过且垂直于,的一条直线圆锥曲线的统一定义：平面内与一定点厂和定直线,的距离之比为常数e的点的轨迹，当060)，2=2PMp0), 其中:参数的几何意义：焦参数是焦点到准线的距离，所以恒为正值;P值越大，张口越大；宙等于焦点到抛物线顶点的距离。标准方程的特点:方程的左边是某变量的平方项,右边是另一变量的一次项，方程右边一次项的变量与焦 点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物 线的开口方向，即对称轴为X轴时，方程中的一次项变量 就是X,若的一次项前符号为正，则开口向右，若的 一次项前符号为负，则开口向左；若对称轴为y轴时， 方程中的一次项变量就是y,当y的一次项前符号为正, 则开口向上，若的一次项前符号为负，则开口向下。三、求抛物线标准方程求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的 对称轴和开口方向，正确地选择抛物线标准方程.待定系数法：因抛物线标准方程有四种形式，若 能确定抛物线的形式，需一个条件就能解出待定系数, 因此要做到“先定位,再定值”。注：当求顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线时, 若不知开口方向，可设为或这样可避免讨论。抛物线轨迹法：若由已知得抛物线是标准形式,可直接设其标准式；若不确定是否是标准式，由已知条件可知曲线的动点的规律,般用轨迹法求之。四、抛物线的简单几何性质方程设抛物线),2 = 2PMp 0)性质焦点范 围对称性顶点离心 率准线通径喑可x0关4轴对称原点e = 1x = -!L22 P注：焦点的非零坐标是一次项系数的七4 对于不同形式的抛物线，位置不同，其性质也有所不同，应弄清它们的异同点，数形结合，掌握方 程与有关特征量，有关性质间的对应关系，从整体上认 识抛物线及其性质。五、直线与抛物线有关问题1.直线与抛物线的位置关系的判断：直线与抛物线方程联立方程组，消去X或y化得形如(*)的 式子：当。时，(*)式方程只有一解，即直线与抛物 线只有一个交点，此时直线与抛物线不是相切，而是与 抛物线对称轴平行或重合；当”0时，若(*)式方程有两组不同的 实数解。直线与抛物线相交；若=()O(*)式方程有两组相同 的实数解。直线与抛物线相切；若V0。(*)式方程无实数解O 直线与抛物线相离.2.直线与抛物线相交的弦长问题 弦长公式:设直线交抛物线于4则|叫=Jl + 江.卜八-xj或若直线与抛物线相交所得弦为焦点弦时,借助于焦半径公式处理：抛物线 y2 =2a（ 0）上一点 （%，%） 的焦半径长是 所| = -抛物线1 =i2PMp 。）上一点/如0,%）的焦半径长是六、抛物线焦点弦的几个常用结论设融为过抛物线=2PMp 0）焦点的弦，设帕,凹）30盾” 直线赫的倾斜角为8,则 玉=,%为=一 4k用=一=为+超+； sin 0以”为直径的圆与准线相切;弦两端点与顶点所成三角形的面积s-2 ;FH I 两 p上射影的张角为90。；= _p_焦点尸对、3在准线七、抛物线有关注意事项1 .凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题 时要注意利用韦达定理，采用“设而不求”或“点差法” 等方法，能避免求交点坐标的复杂运算.同时在解决直线 与抛物线相交问题时不能忽视A。这个条件。2 .解决与抛物线的焦半径、焦点弦有关问题时，多从抛物线的定义出发，实现抛物线上任一点到焦点的距 离和这点到准线的距离之间的相互转化，并应注意焦点 弦的几何性质.