平面向量与三角形三心

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇、四心的概念介绍(1) 重心中线的交点：重心将中线长度分成2 : 1 ；(2) 垂心一一高线的交点：高线与对应边垂直；(3) 内心一一角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等;(4) 外心一一中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合(1) OA OB 0C =0：二0是:ABC的重心.第1页共1页证法 1 设 0(x, y), A(xi, yj B(X2, y2)，C(X3, y3)OA OB OC = 0 二(Xi _X)+(X2 _X)+(X3 _ X) =0(yi -y) (y2 - y) 仏 - y) =oX1X2X3y 二% y2y33O是ABC的重心证法2:如图OA OB OC=OA 2OD =0.AO =2OD.A、O、D三点共线，且O分AD为2： 1.O是ABC的重心(2) OA OB = OB OC = OC OA：=O为ABC的垂心.证明：如图所示 O是三角形 ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，OA OB =OB OC 二 OB(OA -OC) =OB CA = 0二 OB _ AC同理 OA _ BC，OC _ AB=O为-ABC的垂心D、 E是垂足.(3)设a, b , c是三角形的三条边长， O是厶ABC的内心faOA bOB cOC = 0 = O 为 ABC 的内心.AB AC-证明：. AB、AC分别为ab、AC方向上的单位向量,c bABcAC+ 平分N BAC, bAB AC)，令一bea b c第1页共#页be AB ACAO()a b c c b化简得(a b c)OA bAB eAC =0aOA bOB cOC = 0(4) OA=OB=OC 二 O 为占ABC 的外心。典型例题分析例题已知点G是丁ABC内任意一点，点M是丁ABC所在平面内一点试根据下列条件 判断G点可能通过VABC的心.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”).提出问题(1)若存在常数A丸,满足MG = MA +九(ABACG可能通过丁 ABCAC第1页共2页第1页共#页 若点D是丁 ABC的底边BC上的中点，满足GDGB二GDGC,则点g可能通过VABC 的.若存在常数 上,满足MG = MA + 珥一-AB +AC)仏丰0)，则点G可能 AB 廉i nB AC 隔 nC通过VABC的(4)若存在常数ABACas as丸,满足MG = MA + k(飞ABVosB ACPosC)( =0),则点G可能第1页共#页通过VABC的.思路分析以上四个问题的解决要求不同，除了熟悉三角形的“四心”的性质 同时更要熟悉平面向量的性质，对于平面向量与三角函数的结合也要相当熟悉解答过程(1)记ABABAC，一 (ej e2).由平面向量的平行四边形或三角形法则知，点G是角平分线上的点，故应填内心.(2) 简单的变形后发现点G是BC边中垂线上的点，故应填外心.(3) 叮 ABVin B =|AC 蹩i nC/.记 ABVin B=| ACi nC = h ,则AG =(AB AC)().由平面向量的平行四边形或三角形法则知，点G是hBC边的中线上的点，故应填重心.分析后发现，本题学生难以找到解决问题的突破口 ，主要在于平面向量的数量第1页共#页)(=0),积的充分利用由MG =MA(ABABosBACAC cosC得 AG = (一 一+)(丸丰 0),AB Vos B AC cosC(关键点)AGB (一亠T)xBC(“o)ABcosB ACCosC于是AG BC = (IABA啤乞+ AC乎)(+) YosB ACpCosC=( BC cos( -：-B) BC cosB)从而AG _ BC，点G是高线上的点，故应填垂心.点评以上四个问题处理的方法各不相同，注意到平面向量及三角形的“四心” 的性质在解答问题时的作用特别注意第四问两边同乘以某个表达式的技巧总结:(1)OA OB OC =0 = O 是 ABC 的重心.(2)OA OB =OB OC =OC OA ：= O 为 ABC 的垂心.(3)设a, b , c是三角形的三条边长， O是厶ABC的内心aOA bOB cOC = 0 = O 为 ABC 的内心.(4) OA=OB=OC= O 为 AABC 的外心。或者若P点为 ABC内任意一点，若 P点满足:AP =&(),0=P为ABC的内心；BP =t( BA BCBABC第3页共3页D.垂心P满足OPAB AC、=OA ()，AB ACA .外心B.内心0, V ，则点P的轨迹一定通过ABC的c.重心D.垂心4. AP BS= p为、ABC的垂心. BP AC =0结合运用：例1 : O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP =OA (AB AC)，0,= ，则点P的轨迹一定通过 ABC的( )A .外心B .内心C.重心分析：如图所示 AABC , D、E分别为边BC、AC的 中占I 八、AB AC =2ADOP =OAADOP = OA APAP =2 AD.AP / AD.点P的轨迹一定通过 ABC的重心，即选C.例2 : O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点第1页共4页AB AC-分析：；AB、AC分别为AB、AC方向上的单位向量,AB AC|ab |ac|二平分 N BAC ,AB AC点P的轨迹一定通过 ABC的内心，即选B .例3 : O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足hABOP =OA + 坯+/),AB co SBACco sC( )A .外心B .内心0，则点P的轨迹一定通过 ABC的C.重心D .垂心足.分析：如图所示 AD垂直BC , BE垂直AC , D、E是垂ABAB cos BAC + ;) BCAC cosCAB BC AC BCAB cosB AC cosCAABIBCcosB4ACBCcosC|ab|cosBACcosCBC.点P的轨迹一定通过 ABC的垂心，即选 D .练习:第1页共5页第1页共#页1已知 ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足PA PB PC = 0，若实第1页共#页第1页共#页数满足：AB AC二，AP，则的值为（C. 3D. 62.若 ABC的外接圆的圆心为O,半径为 1, OA OB 0C = 0，则 OA 0B =(C. 1第1页共#页第1页共#页3 点0在ABC内部且满足OA 20B 20C = 0，则厶ABC面积与凹四边形第1页共#页ABOC面积之比是（）C. 53A . 0B .24. ABC的外接圆的圆心为0,若 OH = OA OB 0C，贝U H 是 ABC 的(第1页共#页第1页共#页A .外心B .内心C.重心D .垂心5. 0是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点，若2 2 2OA BC 二 0B第1页共#页第1页共#页D .垂心H ,0H 二 m(0A OB OC),2 2 2CA = OCAB，则 0 是 ABC 的（）A .外心B .内心C.重心6.=ABC的外接圆的圆心为 0,两条边上的高的交点为则实数m =7.已知非零向量 AB与AC满足(今 +AC ) BC=O且-AB-AC 1空C =1 ,则厶ABC为 |AC|AB | |AC|AB|第1页共7页第1页共#页A 三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形第1页共#页&已知 ABC三个顶点. 2 、 、 、A、B、C，若 AB = AB AC AB CB BC CA，则第1页共#页lABC 为（）A 等腰三角形C.直角三角形B 等腰直角三角形D .既非等腰又非直角三角形第1页共#页第1页共#页练习答案:C、D、C、D、D、1、D、C第1页共#页2.D、E两点分别是 ABC的边BC、CA上的中点，且DP PB=DP PC=卩为abc的外心; EP PC = EP PA1 一.AP =(AB AC),3.2 3=卩为，ABC的重心1 BP =-(BA + BC),L 3第1页共#页