固体物理第五章习题

12021/5/23第五章第五章 习题习题22021/5/231. 晶格常数为a的一维晶体中，电子的波函数为（1）（2） ，f是某一函数，求电子在以上状态中的波矢。3( )coskxixa( )()klxf xla32021/5/23由固体物理教程（5.14）式求解求解()( )nik RknkrRer ()( )ikakkxaex33()cos()cos()3cos()kxaixaixaaixa 1ikae 35,kaaa 可知，在一维周期势场中运动的电子波函数满足由此得于是（1）35,kaaa 因此得42021/5/23若只取布里渊区内的值：kaaka()()(1) kllxaf xalaf xla1ll ()( )( )( )ikakkklxaf xl axex1ikae2460,kaaa则有（2）令得由上式知所以有由此得在布里渊区内的值为k=0。52021/5/232221() ,( )20, (1)mWbxnanabxnabV xnabxnab2. 一维周期势场为其中a=4b，W为常数，试画出此势能曲线，并求出势能的平均值。62021/5/23图：一维周期势场2221() ,( )20, (1)mWbxnanabxnabV xnabxnab求解求解72021/5/232211( )( )4ababVV x dxV x dxab2221142bbmWbx dxb2232218316bbmWb xxbmW b由图所示，由于势能有周期性。因此只有一个周期内求平均即可，于是得2221() ,( )20, (1)mWbxnanabxnabV xnabxnab82021/5/233. 用近自由电子模型求解上题，确定晶体的第一及第二个禁带宽度。92021/5/232221( )ainxanaVV x edxa22112122( )aixagaEVV x edxa2222112()42ixbbbmWbx edxb2222231182()cos()422bbmW bmWbxx dxbb根据教科书（5.35）式知禁带宽度的表达式为Eg=2|Vn|，其中Vn是周期势场V(x)付里叶级数的系数，该系数可由固体物理教程（5.22）式求解求解求得第一个禁带宽度为102021/5/2342222122( )aixagaEVV x edxa222112()42ixbbbmWbx edxb222112()cos()42bbmWbxx dxbb222mW b第二禁带宽度为112021/5/235. 对简立方结构晶体，其晶格常数为a。（1）用紧束缚方法求出对应非简并s态电子能带；（2）分别画出第一布里渊区110方向的能带、电子的平均速度、有效质量以及沿110方向有恒定电场时的加速度曲线。122021/5/23( )nik RatssSSnE kECJe (,0,0)a(0,0)a(0,0,)a( )(coscoscos)atssSSxyzE kECJk ak ak a求解求解非简并s态电子的能带式中Rn是晶格参考格点的最近邻格矢。对于简单立方晶体，任一格点有6个最近邻，取参考格点的坐标为(0, 0, 0)， 6个最近邻坐标为简单立方晶体非简并s态电子的能带则为132021/5/2320,2zyxkkkk02( )4(cos)2sSkaE kEJ（2）在110方向上 能带变成其中02atsSSEECJ在110方向上，在第一布里渊区内，电子的能带如图所示142021/5/23电子的平均速度2 212sin()2SJ aEkavk平均速度曲线152021/5/23有效质量曲线电子的有效质量2222222cos()2SmEkaJ ak162021/5/23在110方向上有恒定电场情况下，电子受的力Fe 2222cos()2SkaeJ aFam电子的加速度设电场方向与110方向相反，加速度曲线则如图172021/5/237用紧束缚方法处理体心立方晶体，求出(1) s态电子的能带为( )8coscoscos;222yatxzssSsk ak ak aE kECJ(2) 画出第一布里渊区111方向的能带曲线； (3) 求出带底和带顶电子的有效质量.182021/5/23(1)用紧束缚方法处理晶格的s态电子，当只计及最近邻格点的相互作用时，其能带的表示式为( ),natik RssSsnE kECJe nR 解答解答是最近邻格矢对体心立方晶格，取参考格点的坐标为（0, 0, 0）则个最近邻格点的坐标为,222aaa192021/5/23将上述8组坐标代入能带的表示式，得22222222222( )2coscos22nxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyxyatik RssssnaaaaaikkkikkkikkkikkkikkkatsssaaaikkkikkkikkkaaikkikkatzzsssaiE kECJeECJ eeeeeeeek ak aECJ eee 222coscos224coscos228coscoscos222xyxyxxakkikkzzaaikikyatzsssyatxzsssk ak aek ak aECJeek ak ak aECJ202021/5/23(2) 在111方向上3,3xyzkkkkxyzkkka 3038cos6skaEEJ其中0atsSEEC且第一布里渊区边界在于是能带化成第一布里渊区111方向的能带曲线212021/5/23(3) 由能带的表示式及余弦函数的性质可知，当kx=ky=kz=0时，Es取最小值，即kx=ky=kz=0是能带底，电子有效质量为2222202ixxssxkmEJ ak同理可得2222,.22yyzzssmmJ aJ a其他交叉项的倒数全为零222021/5/23而在布里渊区边界上的 222,0,0 ,0,0 ,0,0,aaa处是能带顶，电子的有效质量为其他交叉项的倒数也全为零222xxyyzzsmmmJ a 232021/5/2313平面正三角形结构，相邻原子间距为a，试求(1) 正格矢和倒格矢；(2) 画出第一和第二布里渊区，求第一布里渊区内切圆半径242021/5/23(1) 正格原胞的基矢如图所示取为123,.22aaai aia j 12,aak 23.2a 解答解答i和j是相互垂直的单位矢量取单位矢量k垂直与i和j构成的体积则倒格原胞的基矢为21122223243akbijaakabja 252021/5/23 (2) 选定一例格点为原点，原点的最近邻倒格矢有6个，它们是：b1, b2, (b1+b2)22.23bka这6个倒格矢中垂线围成区间构成了两部分：以原点为对称心正六边形是第一布里渊区正六边形外的6个三角形部分是第二布里渊区。第一布里渊区内切圆半径262021/5/2319证明迪阿哈斯范阿耳芬效应的周期为12,eBS其中是kz=0平面在费密球上所截出的面积272021/5/23由热力学可知，当磁感应强度B增加dB时，磁场H所作的功,cdUV HdB,cUV HB01.BH解答解答即系统内能的微分其中Vc是晶体体积由电磁学可知，磁感应强度、磁场和磁化率的关系是282021/5/23由(1)，(2)两式可得01cV BUB1 23 222021( ).82lcccnVmN EEn其中0是真空中的磁导率由上式可以看出，磁化率随磁场的倒数作振荡，应是系统内能微商U/B随1/B作振荡的反映当不存在磁场时，能态在波矢空间分布是均匀的当由磁场存在时，能态重新分布，磁场的作用使电子的量子态高度简并，此时电子的状态密度为292021/5/23令3 22221,.82cccnVmanb3 23 21 200003 2022( )3322.FFEllEFnnnnnlnFnnnaEdEUEN E dEa Eba bEbabEba b3 21 23 21 2003 21 2222233332322lnnFnnnnnlnnnFnFnnnFnnnnbbUaaEba bba bBBBBBbbBabEbaEbabBBEbbaba bBB则电子系统的能量对上式求微分302021/5/23可见，每当时，U/B将成为极大值，磁化率将变成极小值设B=Bi时，对应磁化率的一个极小值，相邻的一个极小值对应B=Bi+111,22nceBbnnm因为所以式中有一项12nbenBm012212nlnnnFnFabneabbBEbeBm Enm12FeBnEm111,2iFeBnEm 12FeBnEm312021/5/23上式的(1/B)是一个固定的常量，这说明，每当两个1/B的间距(周期)等于这一常量时，磁化率曲线就多一个极小也就是说，磁化率以磁场倒数（1/B）作振荡因为kz=0的平面在费密球上截得的圆面积费密能所以有其中我们假设Bi+1大于Bi，由以上两式可得1111,iiFeBBBmE2FSk222FFkEm12.eBSFemE322021/5/2320从E=E0到E=EF能带都为22220,2yxzxyzkkkEEmmm03()2cFFV nN EEE其中mx, my, mz都是大于零常数求电子能态密度其中n为单位体积内的电子数332021/5/23由已知条件可将波矢空间内电子能带满足的方程化为2220002221.222yxzxyzkkkmEEmEEmEE2222221xyzabc3 203422.3xyzm m mEE解答解答将上式与椭球公式比较可知在波矢空间内电子等能面是一椭面，与椭球的体积4abc/3比较可得到，能量为E的等能面围成的椭球体积342021/5/23能量区间E-E+dE内电子的状态数目由上式可得1 20342.xyzdm m mEEdE1 2032322,2ccxyzVVdzdm m mEEdE1 2023( )2cxyzVdzN Em m mEEdE03 20232( )2,3FEccxyzFEVV nN E dEm m mEEVc是晶体体积，电子的能态密度设电子浓度为n，则E0-EF区间电子总数为Vcn且352021/5/23将上式与能态密度1 2023()2.cFxyzFVN Em m mEE03()2cFFV nN EEE比较，得部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！