复变函数试卷A

（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、 选择题（每小题2分，共12分）1、下列命题正确的是_.A. B. C. D. （是整数） 2、复数的三角形式为_.A. B. C. D. 3、 若在圆环域内解析，则可以展成洛朗级数，其中_.A. B. ，为圆环域内围绕的简单闭曲线 C. D. ，为围绕的简单闭曲线4、_，其中C：正向圆周.A. B. C. 0 D. 5、若函数在区域D内解析，则下列命题错误的是_.A在区域D内可微 B. 在区域D内解析 C D. ，其中C为D内任意一条包围的闭曲线6、是函数的_.A可去奇点 B二级极点 C三级极点 D.本性奇点二、 填空题（每小题3分，共18分）1、_.2、设复数 .3、设C为正向圆周，则=_.4、设C为围绕的任意简单闭曲线，为整数，则=_.5、.6、设在扩充复平面内有三个孤立奇点，且它在奇点的留数分别是，则函数在零点的留数.三、 是非判断题（每小题2分，共10分）1、. ( )2、解析函数的实部与虚部互为调和函数.（ ）3、若在点的导数存在，则在点解析.（ ）4、级数是绝对收敛的.（ ）5、的孤立奇点是一级极点.（ ）四、 计算题（每小题10分，共50分）1、计算积分.2、函数在何处可导？何处解析？在可导点求其导函数.3、求函数在的泰勒展式，并指出其泰勒级数的收敛范围.4、将函数在圆环域内展为洛朗级数.5、利用留数定理计算.五、 证明题（10分）若在解析，证明：.（答案要注明各个要点的评分标准）一、选择题（2*6=12）1 D 2A 3B 4C 5D 6B二、填空：（3*6=18）1 2 34 5 6 三判断题(2*6=12)1错 2错 3错 4对 5对 四计算题（5*10=50）1、 解：被积函数的奇点有和且都在内 ， （2分） 分别绕0和1作位于内的简单闭路和，由复合闭路定理 （3分） 原式 （5分） 由柯西积分公式及高阶导数公式 （6分） 上式= （8分） （10分） 2、 解：函数的定义域为复平面 （1分） 由已知 （2分） 而 （4分） 若函数可导须满足柯西黎曼方程 （6分） 即 所以 （7分） 所以，函数在直线可导，此时， （8分）但在整个复平面不解析. （10分） 3、解：由于的解析区域是除负实轴上 外的区域， （1分）所以离最近的奇点是-1，故收敛半径是1，收敛圆域是 （3分） 因为 （5分） 而 （8分） 两边逐项求积分得 （10分）4、解：因为 （2分）在 内， 可知 （3分） 因为 （6分） （8分） 所以 （10分）5、解：因为， （1分）令，则 （2分）故 （3分） （4分） 令 则 （5分）因此 （6分） （8分） （9分）所以 （10分）五证明题（10）证明：由已知条件及柯西积分公式得 （1分） 其中是圆周 （3分）的极坐标方程可写为 （5分）所以 （8分） （9分） 6 / 6文档可自由编辑打印