导数是微分学核心概念是研究函数

导数是微分学的核心概念, 是研究函数1 导数的概念 一、导数的概念化率”, 就离不开导数. 三、导数的几何意义 二、导函数态的有力工具. 无论何种学科, 只要涉及“变与自变量关系的产物, 又是深刻研究函数性一、导数的概念一般认为一般认为, 求变速运动的瞬时速度，求已知曲线求变速运动的瞬时速度，求已知曲线 别在研究瞬时速度和曲线的别在研究瞬时速度和曲线的牛顿牛顿 ( 16421727, 英国英国 ) 两个关于导数的经典例子两个关于导数的经典例子. .切线时发现导数的切线时发现导数的. . 下面是下面是微分学产生的三个源头微分学产生的三个源头. 牛顿和莱布尼茨就是分牛顿和莱布尼茨就是分上一点处的切线，求函数的最大、最小值，这是上一点处的切线，求函数的最大、最小值，这是1. 瞬时速度瞬时速度 设一质点作直线运动设一质点作直线运动, 质点的位置质点的位置 s 是是 .00tttstsv 当当 t 越来越接近越来越接近 t0 时，平均速度就越来越接近时，平均速度就越来越接近 t0时间时间 t 的函数的函数, 即其运动规律是即其运动规律是 则在某则在某, )(tss vtttststt 000lim(1)时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度. 严格地说严格地说, 当极限当极限时刻时刻 t0 及邻近时刻及邻近时刻 t 之间的平均速度是之间的平均速度是2. 切线的斜率切线的斜率 如图所示如图所示, .)()(00_xxxfxfk 存在时存在时, 这个极限就是质点在这个极限就是质点在 t0 时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度.其上一点其上一点 P( x0, y0 ) 处处的切线的切线点击上图动画演示点击上图动画演示点点 Q , 作曲线的割线作曲线的割线 PQ ，这，这PT. 为此我们在为此我们在 P 的邻近取一的邻近取一需要需要寻找曲线寻找曲线 y = f (x) 在在 条割线的斜率为条割线的斜率为QT 0 xxOxyP ( )yf x 答答: : 它就是曲线在点它就是曲线在点 P 的切线的切线 PT 的斜率的斜率.的极限若存在，则这个极限的极限若存在，则这个极限会是什么呢？会是什么呢？设想一下设想一下, ,当动点当动点 Q 沿此曲线无限接近点沿此曲线无限接近点 P 时，时，k00)()(lim0 xxxfxfkxx (2)上面两个问题虽然出发点相异，但都可归结为同上面两个问题虽然出发点相异，但都可归结为同x0 处关于处关于 x 的瞬时变化率的瞬时变化率(或简称变化率或简称变化率).均变化率，增量比的极限均变化率，增量比的极限 (如果存在如果存在) 称为称为 f 在点在点的极限的极限. 这个增量比称为函数这个增量比称为函数 f 关于自变量的平关于自变量的平 D D y = = f (x) f (x0) 与自变量增量与自变量增量 D D x = = x xo 之比之比一类型的数学问题：一类型的数学问题： 求函数求函数 f 在点在点 x0 处处的增量的增量定义定义1 设函数设函数 y = =f (x) 在点在点 x0 的某邻域内的某邻域内有定有定义，如果极限义，如果极限000( )()lim(3)xxf xf xxx 存在存在, , 则称函数则称函数 f 在点在点 x0 可导可导, , 该极限称为该极限称为 f 在在如果令如果令 D Dx = = x x0, D Dy = = f (x0 +D Dx) f (x0), 导数导数就就00000()()()limlim.(4)xxf xxf xyfxxxDDDDD DD DDDDD x0 的的导数导数，记作，记作. )(0 xf 可以写成可以写成这说明导数是函数增量这说明导数是函数增量 D D y 与自变量增量与自变量增量 D D x之之比比例例1 求函数求函数 y = = x3 在在 x = = 1 处的导数，并求该处的导数，并求该曲曲线在点线在点 P (1,1) 的切线方程的切线方程. .解解1)1()1()1(3 D D D D D Dxfxfy因为因为,3332xxxD DD DD D的极限的极限, ,即即就是就是 f (x) 关于关于 x 在在 x0 处的变化处的变化)(0 xf 点点 x0 不可导不可导.率率. 如果如果 (3) 或或 (4) 式的极限不存在式的极限不存在, 则称则称 在在( )f x.3)33(limlim)1(200 D D D D D DD D D DD Dxxxyfxx由此可知曲线由此可知曲线 y x3 在点在点 P(1, 1) 的切线斜率为的切线斜率为, 3)1( fk所以所以于是所求切线方程为于是所求切线方程为, )1(31 xy. 23xy即即例例2 常量函数常量函数 f (x) = c 在任何一点在任何一点 x 的导数的导数都为都为例例3 证明函数证明函数 f (x) = | x | 在在 x = 0 处不可导处不可导. .证证 因为因为1,0,( )(0)01,0,xf xfxx 时它的极限不存在时它的极限不存在, , 所以所以 f (x) 在在 x = 0当当0 x零零. . 这是因为这是因为 D Dy 0，所以，所以. 0)( xf处不可处不可导导. .例例4 证明函数证明函数1sin,0( )0,0 xxxf xx 在在 x = 0 处不可导处不可导.( )(0)1sin0f xfxx 不存在极限不存在极限, ,所以所以 f 在在 x = 0 处不可导处不可导.证证 因为当因为当 时时,0 x( (5) )式称为式称为 f (x) 在点在点 x0 的有限增量公式的有限增量公式, , 这个公这个公有限增量公式有限增量公式 设设 f (x) 在点在点 x0 可导，则可导，则xyxfD DD D )(0 这样这样, 函数函数 f (x) 的增量可以写成的增量可以写成0()().(5)yfxxox 根据有限增量公式即可得到下面定理根据有限增量公式即可得到下面定理.时的时的无穷小量无穷小量，于是于是 D D x o(D D x).是当是当0D Dx式对式对 D Dx 0 仍然成立仍然成立.定理定理5.1 如果函数如果函数 f 在点在点 x0 可导可导, , 则则 f 在点在点 x0连续连续. . 值得注意的是函数在某点连续仅是函数在该点可值得注意的是函数在某点连续仅是函数在该点可其中其中 D(x) 是熟知的狄利克雷函数是熟知的狄利克雷函数.例例5 证明函数证明函数 仅在仅在 x 0 处可导处可导, , 2( )( )f xx D x 处连续，却不可导处连续，却不可导. 导的必要条件导的必要条件. 如例如例3、例、例4 中的函数均在中的函数均在 x = 0不连续不连续, 由定理由定理 5.1, f (x) 在点在点 x0 不可导不可导.0)(lim0)0()(lim)0(00 xxDxfxffxx由于导数是一种极限由于导数是一种极限, 因此如同左、右极限那样因此如同左、右极限那样, 所以有所以有当当 x0 = 0 时时, , 因为因为，1)( xD证证 当时当时, ,用归结原理容易用归结原理容易证明证明 f (x) 在点在点 x0 00 x可以定义左、右导数可以定义左、右导数 ( 单侧导数单侧导数 ).xxfxxfxyxxD D D D D DD D D DD D)()(limlim0000存在，则称该极限为存在，则称该极限为 f (x) 在点在点 x0 的右导数的右导数, , 记作记作. )(0 xf 类似地可以定义左导数类似地可以定义左导数 , 合起来即为合起来即为: ),00 xx上有定义，如果右极限上有定义，如果右极限定义定义2 设函数设函数 y = =f (x) 在点在点 的某个右邻域的某个右邻域0 x00000000()()()lim,(6)()()()lim.xxf xxf xfxxf xxf xfxx 右导数和左导数统称为单侧导数右导数和左导数统称为单侧导数.定理定理5.2 如果函数如果函数 y = =f (x) 在点在点 x0 的某个邻域内有的某个邻域内有00()().fxfx 在讨论分段函数在分段点上的可导性时在讨论分段函数在分段点上的可导性时, 本结论本结论定义，则定义，则)()(00 xf、xf )(0 xf 存在的充要条件是存在的充要条件是都存在，且都存在，且很有用处，请看下面例题很有用处，请看下面例题.类比左、右极限与极限的关系，我们有：类比左、右极限与极限的关系，我们有：例例6 设设1cos ,0,( ),0.xxf xxx 试讨论试讨论 f (x) 在在 x = 0 处的左、右导数和导数处的左、右导数和导数.解解 容易看到容易看到 f (x) 在在 x 0 处连续处连续. . 又因又因 1cos,0,(0)(0)1,0,xxfxfxxxDD DD D D D D D D DD 所以所以，0cos1lim)0(0 D DD D D D xxfxDD00(0)limlim 11.xxxfx ，由于由于)0()0( ff故故 f (x) 在在 x = 0 处不可导处不可导.二、导函数如果函数如果函数 f 在区间在区间 I 上的每一点都可导上的每一点都可导 (对于区间对于区间0()( )( )lim,.xf xxf xfxxIxD DD DD D (7).dd)(xyxf或或 即即导函数，简称导数导函数，简称导数, 记作记作定义了一个在区间定义了一个在区间 I 上的函数，称为上的函数，称为 f 在在 I 上的上的则称则称 f 为区间为区间 I 上的可导函数上的可导函数. 此时此时, 对对 I 上的任上的任端点考虑相应的单侧导数端点考虑相应的单侧导数, 如左端点考虑右导数如左端点考虑右导数) ,仅为一个记号，学了微分之后就会知仅为一个记号，学了微分之后就会知注注 这里这里xydd意一点意一点 x 都有都有 f 的一个导数的一个导数 与之对应与之对应, 这就这就()0fx 道，这个记号实质是一个道，这个记号实质是一个“微分的微分的商商”.dd,d)(d000 xxxxxxxyyxxf 例例7 求函数求函数 y xn 的导数，的导数，n为正整数为正整数.解解 由于由于 xxxxxynnD D D D D DD D)(,2)1(121nnnxxxnnnxD DD D相应地，相应地， 也可表示为也可表示为)(0 xf .)2)1(lim11210 D D D D D D nnnnxnxxxxnnnxy因此因此例例8 证明证明:i i(sin )cos , (cos )sin ;( )xxxx 1(log)log(e (0,0ii),0) ,aaxaaxx 我们只证明我们只证明 ( i ) 的第二式和的第二式和 ( iii ) . 1(ln );xx ()ln .(iii)xxaaa 证证 ( i ) 由于由于xxxxxxxxD DD DD D D D D D 2sin)2sin(2cos)cos(,)2sin(22sinxxxxD D D DD D )2sin(lim22sinlim)(cos00 xxxxxxxD D D DD D D DD D.sin x),(sin 是是而而x上的连续函数，所以上的连续函数，所以(iii) 由于由于因此因此axaaaaxxxxln1elimln)(ln0D D D DD D.lnaax 特别有特别有.eelne)e (xxx ,ln1elnlnaxaaaxxD D D DxaaxaaxxxxxD D D D D DD D 1xaaxxD D D D1eln三、导数的几何意义切线的方程是切线的方程是记记 为为切线与切线与 x 轴正向的夹角，则轴正向的夹角，则f (x0) = tan . .000()()().yf xfxxx (8)在用几何问题引出导数概念时在用几何问题引出导数概念时, 已知已知 是曲线是曲线0()fx 处切线的斜率处切线的斜率. .( )yf x 在点在点00(,()P xf x所以该所以该由此可知由此可知, , f (x0) 0 说明说明 是锐角是锐角; ; f (x0) 0 说说 000fx 说说明明明明 是钝角是钝角; ;轴平轴平切线与切线与 (x. )行行O0y xy0y 0y ( )yf x 点击上图动画演示点击上图动画演示则曲线则曲线 y = f (x) 在点在点 P 的切线垂直于的切线垂直于 x 轴，此时轴，此时符合上述特征符合上述特征, , 故在该点故在该点1 xyxO31)1( xy110000()()limlim,xxf xxf xyxxD D 特别要注意，如果特别要注意，如果 在点在点 连续连续, , 且且f0 x.0 xx 如右图所示如右图所示, , 曲曲为为31)1( xy在点在点 (1,0) 处处线线.1 x处的切线处的切线为为y = f (x) 在点在点 P 的切的切线方程线方程例例9 求曲线求曲线 y ln x 在其上任一点在其上任一点 P (x0 , ln x0 ) 处处的切线和法线方程的切线和法线方程.解解知道知道的的由例由例ii)(8因此因此 y = lnx 在点在点 P 的切线方程和法线方程的切线方程和法线方程分别为分别为, )(1ln000 xxxxy .)(ln000 xxxxy ,1ln000 xxyxxxx 方程方程.3320001limlim,xxxxx 例例10 求曲线求曲线在点在点 P(0, 0) 处的切线和法线处的切线和法线3xy 在点在点 P ( 0, 0 ) 处的切线、法线方程分处的切线、法线方程分所以所以3xy . 00 yx和和别为别为解解 由于由于3xy 在在 处连续处连续, ,且且0 x 与瞬时变化率有关的物理问题还有很多，例如瞬与瞬时变化率有关的物理问题还有很多，例如瞬率，即率，即时电流强度时电流强度 i(t) 是通过导线截面电量是通过导线截面电量 q(t) 的变化的变化质量分布不均匀的金属丝，以质量分布不均匀的金属丝，以 m (x) 表示从表示从 0 到到 ).()()(lim)(0tqttqttqtit D D D D D D x 的质量，则它在的质量，则它在 x 处的线密度处的线密度 r r (x) 是是 m (x) 在在 x 处的变化率，即处的变化率，即 0()( )( )lim( ).xm xxm xxm xxr r 除了上面介绍的几何和物理问题外，导数在其他除了上面介绍的几何和物理问题外，导数在其他定义定义3 如果函数如果函数 f 在点在点 x0 的某个邻域的某个邻域 U(x0) 上上对一切对一切 xU(x0) 有有 ,)()()()(00 xfxfxfxf 或或则称函数则称函数 f 在在 x0 处取得极大处取得极大(或极小或极小) )值值, , 称称点点 x0值值, , 极大值点、极小值点统称为极值点极大值点、极小值点统称为极值点. .为极大为极大( (或极小）值点或极小）值点. . 极大值、极小值统称为极极大值、极小值统称为极领域领域( (如经济、化学、生物等如经济、化学、生物等) )也有广泛的应用也有广泛的应用. .如图，函数如图，函数 在在 处取极小值处取极小值, ,在在( )yf x 124,xxx1x2x3xOxab4xy( )yf x 5x6x外外, 在在 处处6x是极值点是极值点.切线切线, 但它不但它不虽然也有水平虽然也有水平足为奇的足为奇的. 此此现象现象, 那是不那是不因此如果出现某一极大值反而小于另一极小值的因此如果出现某一极大值反而小于另一极小值的35,xx处取极大值处取极大值. 由于极值是一个局部性概念由于极值是一个局部性概念, 例例11(),000fx 证证明明：若若则则存存在在使使对对任任(,),00 xxx 何何有有证证 由右导数的定义由右导数的定义: : 00000 ,(,).fxfxxxxxx 0000( )()()lim0,xxf xf xfxxx 与极限保号性，推知存在与极限保号性，推知存在 0 , 使得使得 0( )().f xf x (9)再由再由 , ,得得 于是于是 (9) 式成立式成立. .0 xx 0( )()0,f xf x根据例根据例11，可得如下重要定理：，可得如下重要定理：设函数设函数 f 在点在点 x0 的某邻域内有定义的某邻域内有定义, ,且在点且在点 x0 可可定理定理 5.3 ( (费马定理费马定理) )导导. . 如果如果 x0 是是 f 的极值点，则必有的极值点，则必有. 0)(0 xf000( )(),(,) .f xf xxxx 使得使得类似地，若类似地，若0()0,0,fx 则存在则存在上述定理的几何意义：如果上述定理的几何意义：如果 f 在极值在极值 x x0 处处可可导，则该点处的切线平行于导，则该点处的切线平行于 x 轴轴.称满足方程称满足方程 f (x) 0 的点为的点为 f 的的稳定点稳定点. .注注 稳定点不一定都是极值点，如稳定点不一定都是极值点，如 x 0 是是 y x3不是稳定点不是稳定点 ( 因为它在因为它在 x = 0 处不可导处不可导 ).都是稳定点都是稳定点, , 如如 x = 0 是是 y = | x | 的极小值点的极小值点 , 但但的稳定点的稳定点, ,但不是极值点但不是极值点. . 反之反之, ,极值点也不一定极值点也不一定费马费马 ( Fermat, P. 1601-1665, 法国法国 ) 达布达布 ( Darboux,J.G. 1842-1917, 法国法国 )定理定理5.4( (达布定理达布定理) )使得使得一点一点, ),(bac .kcf 是介是介如果如果 f 在在 a, b 上可导，且上可导，且 kbfaf, 之间的任一实数，则至少存在之间的任一实数，则至少存在)()(bfaf 与与于于证证 令令 F(x) = f (x) kx, 则则 F (x) = f (x) k .根据根据费马定理费马定理, ,只要证明只要证明 F(x) 在在 (a, b) 上有极值点即可上有极值点即可. . 可可,0)()()()( kbfkafbFaF由于由于分别存在分别存在由例由例设设,11.0)(, 0)( bFaF,),(),(2121xxbUxaUx 且且.)()(, )()(21bFxFaFxF . ),(,)(backcf 使得使得由此可知由此可知, , a, b 上上的连续函数的连续函数 , 其其最大值必在最大值必在F 由费马定理得由费马定理得 , 即即0)( cF定是极大值定是极大值, ,某一点某一点 c (a, b) 处处取得取得. . 区间内取得的最大值一区间内取得的最大值一复习思考题000()()lim,xf xxf xxD DD DD D 3. 举出一个函数举出一个函数 , 它满足它满足( )yf x 但但 不是它的垂直切线不是它的垂直切线. . 0 xx 4. 举出一个函数举出一个函数 , 要求它可导要求它可导, 但但 不连不连( )f x( )fx 续续. 试问这种不连续的导函数是否仍有介值性试问这种不连续的导函数是否仍有介值性? 2. 给出函数给出函数 f (x) 在点在点 x0 不可导的不可导的 “ ” 定义定义.1. 给出函数给出函数 f (x) 在点在点 x0 可导的可导的 “ ” 定义定义.