牛顿的微积分

第二节牛顿的微积分一流数简论流数简论表明，牛顿微积分的来源是运动学.1666年，他在坐标系中通过速度分量来研究切线，既促使了流数法的产生，又提供了它的几何应用的关键.牛顿把曲线f（x，y） = 0看作动点的轨迹，动点的坐标x，y是时间的函数，而动点的水平速度分量和 垂直速度和垂直速度为边的矩形对角线，所以曲线f（x，y） = 0的切线斜率是二图1112）o由于梵和y是随时间流逝而变化的仗流动速度S7所以牛顿便在后来称它们为流数，实际上就是 x和y对t的导数：而它们的比就是y对x的导数布尼茨发明的，我们这里采用它们是为了叙述方便.牛顿考虑的第一个问题是：给定x和y的关系f（x，y） = 0，求的次数令这些乘积的总和等于零这个方程就给岀速度（流数）之间的关系若用子表示，则为它是牛顿用来计算流数之比（即求导）的基本法则实际上，这个式子牛顿是用“无穷小”概念和他一年前发明的二项式定理来证明（1）式的他认为，作非匀速运动的物体在无穷小时间间隔 o中的运动情况同作匀速运动的物体在有限时间间隔中的情况相同，“因此，如果到某一时刻，它们已描绘的线段为 x和y，那么到下一时刻所描绘的线段就是x + xo和y + yo 牛顿用x+ xo和y + yo代替f（x，y） = 0中的x和y，于是有按二项式展开并略去 o的二次以上（含二次）的项，得除以o后便得到（1）式.作为一个实例，可把 y = xn写成f（x，y） = y - xn的形式，由 式推出的代数式）他对这一问题的研究导致了微积分基本定理的发现，即：其中A表示曲线y=f（x）下的面积从流数简论可以看出，他是用如下方法推导这一重要定理的：设y表示曲线f（x）下的面积abc（图11 13），并把它看作垂平行移动，描绘出面积x和y，它们随时间而增加的速度是be和be，”显然，be = 1而bc=f（x）.因此，牛顿认为面积y随时间的变化率是这显然等价于（2）式，就是说函数曲线下的面积的变化率等于曲线的纵坐标他把求积问题看作求变 化率的逆过程，即把 y看作f（x）的积分（不定积分）.牛顿的工作可以清楚地说明切线及面积的互逆关系如果面积在解决了基本的微积分问题后，牛顿又进一步提岀变量代换法，它 变量z= 1 +Xn,其流数比为这便是我们熟知的幂函数微分公式，它的现代形式为类似地，牛顿在积分中也采用了代换法，并在稍后的着作中总结岀代换积分公式这个问题将在下面 讨论.流数简论中，牛顿还导出函数的积和商的微分法则设y=u（x） v（x），则由计算流数之比的基本法则得到至于函数和的微分，牛顿认为是显然的，没有作为公式列岀.由于牛顿首次引入“流数”和“变化率”的概念，明确提岀一般性的微积分算法，特另U是提岀微积分 基本定理，所以说他“发明”了微积分不过，他当时只是观察到这一重要定理，至于定理的证明则是在 他的第二本微积分着作中才岀现的.二、运用无穷多项方程的分析学（下简称分析学）在这本书中，牛顿假定曲线下的面积为max其中m是有理数.他把x的无穷小增量叫x的瞬，用o表示.由曲线、x轴、y轴及x+o处纵坐标所围成的面积用z + oy表示（图11. 14），其中oy是面积的瞬，于是有mz+oy = a（x + o）.根据二项式定理考虑到z = axm，并用o去除等式两边，得略去仍然含o的项，得xm 1y=max-.这就是相应于面积 z的纵坐标y的表达式，或者说是面积 z在点的变化率（即学）这个结果袤明，若面积二投”给岀，那么构成这个面积的曲线为y=maxn1 ；反之，若曲线是y= maf-1，则它下面的面积是z=ax：在这里，牛顿不仅给出了求变化率的 普遍方法，而且证明了微积分基本定理.从计算角度来说，他实际上给出了两个基本的求导和积分公式（用现代符号表出）m /m 1(ax )= max-；在证明了面积的导数是y值，并断言逆过程是正确的以后，牛顿给岀下面的法则：若y值是若干项的和，则面积是由每一项得到的面积的和，用现在的话来说，就是函数之和的积分等于各函数的积分的和：12n1/ f (x)+f (x) +f (x)dx= / f (x)dx+ / f 2(x)dx+ + / f n(x)dx .他对如下的积分性质也有明确认识：/ af(x)dx = a / f(x)dx .他利用上述知识得到各种曲线下的面积，解决了许多能表成和式的问题.在此基础上，牛顿提岀了利用无穷级数进行逐项积分的方法例如为了对貧二工逬行积分，他将除以山+注得到b X然后对这个无穷级数逐项积分，得他说，只要b是x的倍数，取最初几项就可以了.y = 1-x2 + x4 x6 + x8 (1)y = x-2 2+ x-6-x-8 +(2)他说，当x很小时，应该用(1)式，若x较大就必须用(2)式了 可见他已意识到级数收敛和发散的区 别，不过还没有提岀收敛的概念.同流数简论相比，分析学的另一项理论进展表现在定积分上牛顿把曲线下的面积看作无穷 多个面积为无限小的面积之和，这种观念与现代是接近的为了求某一个区间的确定的面积即定积分，牛 顿提岀如下方法：先求岀原函数，再将上下限分别代入原函数而取其差这就是着名的牛顿一莱布尼茨公 式，是他与莱布尼茨各自独立发明的若采用现代数学符号，该公式可表述为：若F(x)是f(x)在区间a，b中应用极广的定积分计算问题便转化为求原函数问题，所以它是十分重要的.分析学中还有其他一些岀色的成果，例如，书中给岀求高次方程近似根的方法(即牛顿法)，导岀正弦级数及余弦级数，等等.到此为止，牛顿已经建立起比较系统的微积分理论及算法.不过他在概念上仍有不清楚的地方.第一，他的无穷小增量o是不是0?牛顿认为不是既然这样，运算中为什么可以略去含o的项呢？牛顿没有给岀合乎逻辑的论证第二，牛顿虽然提岀变化率的概念，但没有提岀一个普遍适用的定义，只是把它想象 成“流动的”速度牛顿自己也认为，他的工作主要是建立有效的计算方法，而不是澄清概念，他对这些 方法仅仅作了“简略的说明而不是准确的论证”牛顿的态度是实事求是的.三、流数法和无穷级数（下简称流数法）这是一部内容广泛的微积分专着，是牛顿在数学方面的代表作在前两部书的基础上，牛顿提岀了更 加完整的理论.从书中可以看岀，牛顿的流数概念已发展到成熟的阶段他把随时间变化的量，即以时间为自变量的 函数称为流量，以字母表的后几个字母v，x，y，z来表示；把流量的变化速度，即变化率称为流数，以表示流量的字母上加点的方法耒表不，如沪 以前用的瞬的概念仍然 保 留，并且仍用o表示.他在书中明确表述了他的流数法的理论依据，说：“流数法赖以建立的主要原理，乃是取自理论力学 中的一个非常简单的原理，这就是：数学量，特别是外延量，都可以看成是由连续轨迹运动产生的；而且 所有不管什么量，都可以认为是在同样方式下产生的”又说：“本人是靠另一个同样清楚的原理来解决 这个问题的，这就是假定一个量可以无限分割，或者可以（至少在理论上说）使之连续减小，直至比任何一个指定的量都小”牛顿在这里提岀的“连续”思想及使一个量小到“比任何一个指定的量都小”的 思想是极其深刻的，他正是在这种思想的主导下解决了如下两类基本问题.第一类：已知流量的关系求它们的流数之比，即已知y = f（x）或例如书中的问题1:如果流量x和y之间的关系是x3 ax2+axy y3=0，求它们的流数之比.程中的x和y,得展开后利用x3 ax2 + axy y3 = 0这一事实再把余下的项除以 o，得至此牛顿说：“我们已假定 o是无限微小，它可以代表流动量的瞬，所以与它相乘的诸项相对于其他 诸项来说等于没有因此我把它们丢掉，而剩下从表面看，这种方法与流数简论中的方法一致所不同的是，在筒论中y和蛊只袖看作运动速度，而在这里却表示一般意义的流数.简论中求流数之比的基本法则也被牛顿赋予一般的意义.例如，假定y=xn，牛顿首先建立然后用二项式定理展开右边，消去y = xn，用o除两边，略去仍含 o的项，结果得当然，在对具体函数微分时，不必采用无穷小而可直接代入公式.第二类：已知一个含流数的方程，求流量，即积分.(X)，则P t Cx) ) J Cx) dx=jf Cu) du(1)这个公式表明，只要所求的积分可表为 左边的形式，则令UWG) y即可化为)对口的积分，积分后再用p Cz)代口就行了。流数简论中，牛顿在具体积分中已经采用了这种方法，只是到这时才明确总结出公式从简论及流 数法两书来看，他推导此式的思路大致如下：由，得由微积分基本定理，得牛顿在书中还推岀分部积分公式，即/ uv dx=uv- / vu dx 其中u和v都是x的函数.若求/ uv dx有困难而求/ vu dx比较容易时，就可利用分部积分公式求 积分.牛顿总结了他的积分研究成果，列成两个积分表，一个是“与直线图形有关的曲线一览表”，另一个 是“与圆锥曲线有关的曲线一览表” 这两个表为积分工作提供了许多方便.至此，牛顿已建立起比较完整的微分和积分算法，他当时统称为流数法他充分认识到这种方法的意 义，说流数法(即微积分)是一种“普遍方法”，它“不仅可以用来画出任何曲线的切线而且还可以用 来解决其他关于曲度、面积、曲线的长度、重心的各种深奥问题.”流数法一书便充分体现了微积分 的用途，下面略举几例.例1,在“问题3极大值和极小值的确定”中，牛顿给出了通过解方程f (x) = 0来求f(x)极值的方法.他写道：“当一个量取极大值或极小值时，它的流数既不增加也不减少，因为如果增加，就说明 它的流数还是较小的，并且即将变大；反之，如果减少，则情况恰好相反.所以求出它的流数，并且令这 个流数等于0. ”他用这种方法解出了九个问题.其中之一是求方程x3 ax2 + axy - y3=0中x的最大值.他先求出x和y的流数之比，得即 3y 2 = ax .把上式代入原方程后，就很容易求得相应的x值和y值了.例2,已知曲线方程为x3- ax2+ axy y3 = 0, AB和BD分别为曲线上D点的横、纵坐标，求作过 D点的 切线(图11. 15).牛顿先求得流数之间的关系由此得出因BD= y,所以牛顿说：“给定 D点后，便可得出DB和AB,即y和x，BT的长度也就给定，由此可确定切线TD.例3,在“问题12曲线长度的确定”中，牛顿采用流数法计算弧长设QR是给定曲线，RNL MN牛顿分别记MNs. NR= t , QR= v（图11. 16），它们的流数分别为s, t , v，然后“想象直线NR向右移动 到最接近的可能位置 nr，由R向nr弓I垂线RS贝U MN NR和QR分别增加RS Sr和Rr.”牛顿说：“因 为RS, Sr和Rr相互之比是这些线段的流数之间的匕 又考虑到血帥为直角，所以有因此蠡F +若换成现在通用的坐标 x , y和弧长s,则牛顿的结果为只要对t积分，就可求出弧长 s 了.综上所述，流数法不仅在基本思想上比分析学有了发展，而且提供了更加有效的计算方法.但牛顿的基本方法仍是弃去无穷小，因而同分析学一样岀现逻辑困难.他尝试建立没有无穷小的微积分，于是有曲线求积术（下简称求积术）之作.四、牛顿的极限理论牛顿的四部微积分专着中，曲线求积术是最后写成 （1693）但最早出版（1704）的一部在书中，导 数概念已被引岀，而且把考察对象由二个变量构成的方程转向关于一个变量的函数.牛顿的流数演算已相当熟练和灵活了，他算出许多复杂图形的面积阿达玛 J . Hadamard, 18651963）称赞说，该书“论述 的有理函数积分法，几乎不亚于目前的水平.”值得注意的是，在求积术中，牛顿认为没有必要把无穷小量引入微积分他在序言中明确指岀： “数学的量并不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的直线不是一部分一部分的连接， 而是由点的连续运动画岀的，因而是这样生成的；面是由线的运动，体是由面的运动，角是由边的旋转， 时间段落是由连续的流动生成的.”在这种思想指导下，他放弃了无穷小的概念，代之以最初比和最后比 的新概念为了求函数 y=xn的导数，牛顿让x “由流动”而成为x +o,于是xn变为的最后比等于1比nxn-1 所以量x的流数与量xn的流数之比等于1比nxn-1. ”牛顿认为这个比即增量的 最初比，可见最初比与最后比的实质是一样的，都表示y关于x的导数，或者说是y对于x的变化率用现在的符号可写成y =nxn-1.牛顿还对他的最后比作出下面的几何解释：如图11. 17，假定be移向BC使得c和C重合，那么增量CE Ec、Ce的最后比等于 CET勺各边之比，即把这些增量看作初生量的最初比他说，“只有点C与c完全重合了，直线 CK才会与切线（CH）重合，而CE Ec、Ce的最后比才能求出显然，他是把切线 CH当作割线CK的极限位置.实际上，早在自然哲学的数学原理（下简称原理）一书中，牛顿就表述了明确的极限思想他说：“消失量的最后比严格地说并不是最后量的比，而是这些量无限减小时它们的比所趋近的极限.它们与这个极限之差虽然可以比任何给定的差更小，但这些量在无限缩小之前既不能超过也不能达到它”在这部最早发表的包含微积分 成果的书（当然不是最早写成的）中，牛顿已经把微积分的大厦建筑在极限的基础之上，他用极限观点解释了微积分中的许多概念例如，他认为表示定积分的曲边图形与“消失的平行四边形的终极和”相重合牛顿指岀，当这些 平行四边形（相当于今天讲定积分几何意义时的长条矩形）的最大宽度无限减小时，就成为“消失的平行四边形”，而曲边图形就是所有这些消失图形的终极和了牛顿在原理中阐发的极限思想，成为他撰写求积术的理论 基础当然，他还没有提岀如同我们现在使用的严格的极限定义.