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奥数专题-裂项法(一）同学们知道:在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减,要先通分化成同分母分数后再计算。(一）阅读思考例如,这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积,把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：即或下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。【典型例题】例1。 计算：分析与解答：上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了。像这样在计算分数的加、减时,先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。例2。 计算：公式的变式当分别取1，2,3，100时,就有例3。 设符号（)、 代表不同的自然数，问算式中这两个符号所代表的数的数的积是多少？分析与解：减法是加法的逆运算，就变成，与前面提到的等式相联系，便可找到一组解，即另外一种方法设都是自然数，且,当时,利用上面的变加为减的想法，得算式。这里是个单位分数，所以一定大于零，假定,则，代入上式得，即.又因为是自然数，所以一定能整除，即是的约数,有个就有个，这一来我们便得到一个比更广泛的等式,即当，是的约数时，一定有，即上面指出当,，是的约数时，一定有,这里，36共有1，2,3，4，6，9，12，18,36九个约数。当时，当时，当时，,当时,，当时，,当时，当时，当时，,当时，,故（）和 所代表的两数和分别为49,32,27,25。【模拟试题】（答题时间：20分钟)二。尝试体验： 1. 计算： 2. 计算： 3。 已知是互不相等的自然数，当时,求。【试题答案】1。 计算： 2. 计算: 3. 已知是互不相等的自然数，当时，求。的值为：75，81,96,121，147，200,361.因为18的约数有1,2，3，6，9，18,共6个,所以有还有别的解法。- 7 -
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