数形结合思想在高中数学中的应用

编号 2013011116 毕 业 论 文(设 计)( 2017 届本科) 论文题目: 数形结合思想在高中数学中的应用 学 院: 数学与统计学院 专 业: 数学与应用数学 班 级: 2013级本科1班 作者姓名: 任 伟 指导教师: 杨大勇 职称: 副教授 完成日期: 2017 年 5 月 5 日目 录陇东学院本科生毕业论文(设计)诚信声明1摘要2一、绪言2二、数形结合思想在高中数学中的应用3（一）、数形结合思想在集合中的应用3（二）、利用数形结合思想解决函数问题5（三）、数形结合思想在解空间几何体中的应用7（四）、数形结合思想在直线方程中的应用8（五）、数形结合思想在圆的方程中的应用10（六）、数形结合思想在三角函数中的应用12（七）、数形结合思想在不等式中的应用14（八）、数形结合思想在导数中的应用17三、总结18参考文献19英文摘要20致 谢21陇东学院本科生毕业论文(设计)诚信声明 本人郑重声明:所呈交的本科毕业论文(设计),是本人在指导老师的指导下,独立进行研究工作所取得的成果,成果不存在知识产权争议,除文中已经注明引用的内容外,本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明.本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。作者签名: 二O一七年 月 日20数形结合思想在高中数学中的应用任伟（陇东学院 数学与统计学院，甘肃 庆阳 ）摘要：数形结合思想可以使抽象的数学问题直观化；使繁难的数学问题简单快捷化，使得原本需要通过抽象思维解决的问题，有时借助形象思维就能够直观解决，有利于抽象思维和形象思维的协调发展和多种方法解决问题。数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。”这句话深刻地揭示了数形之间的辩证关系以及数形结合的重要性。如从数的认识、计算到比较复杂的实际问题，经常要借助图形来理解和分析，也就是说，在数学中，数离不开形。另外，几何知识的学习，很多时候只凭直接观察看不出什么规律和特点，这时就需要用数来表示，如一个角是不是直角、两条边是否相等、周长和面积是多少等。换句话说，就是形也离不开数。因此，数形结合思想在数学中的意义尤为重大。数形结合思想在高中数学中占据着重要地位，是高中学好数学必不可少的思想。关键词：数形结合，集合，函数，空间几何体，直线的方程，圆的方程，三角函数，不等式，导数。一、绪言数学思想是教学科学的灵魂，数形结合思想是其中之一，数形结合是数学解题中常用的思想方法，用数形结合方法可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象的数学语言为直观的图形、抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，数学中两大研究对象数与形的矛盾。数形结合的应用，在我们刚开始接触数学时就在使用。例如我们学习一年级数学时，对于数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,0，通过图形来进行形象记忆，通过图形来理解数字。数形结合在初中时应用更广泛，例如学习七年级数学中的负数时，通过画数轴来理解记忆负数，对于各种函数和几何图形通过画出图形来理解和分析他们的性质。在我们初学数学时大多都是通过图形来认识数字，渐渐我们会接触到数转换为形的方法。通过将数转换为形或者将形转换为数来研究数学，可以说数形结合思想是贯穿我们整个初等数学学习中的。 二、数形结合思想在高中数学中的应用数形结合思想在高中是学习数学必不可少的方法之一，它在集合、函数、空间几何体、直线的方程、圆的方程、三角函数、不等式、导数等一些高中知识中应用非常广泛。它通过将数化为形或者将形化为数来使复杂的问题变得简单易懂。（一）、数形结合思想在集合中的应用高中数学中在解决集合问题时，我们经常借助数轴和Venn图来对集合的交集、并集和补集进行运算。可以将集合中数的问题转化为形的问题，从而使问题变得简单直观，以此来更容易的解决问题。题1、已知集合求，。分析：我们可以在数轴上表示出集合A和集合B，如图1，通过图1我们可以得出 ，则；又，则；又如图2所示，则；又如图3所示，。 题2、（2005年湖南高考题）有一个班一共有50名同学，报名参加了两项比赛，其中A项有30名同学参加，B项有33名同学参加，我们还知道两项比赛都不参加的同学比两项比赛都参加的同学的三分之一还要多一人，问题是只参加A项，但没有参加B项的一共有多少人？分析：这道题可以用Venn图来处理，设两项都参加的同学有x人，两项都不参加的同学有y人，则如图4所示可列方程组解得，则（人）所以只参加A项，但没有参加B项的一共有9人。（二）、利用数形结合思想解决函数问题函数渗透我们生活中的各个方面，我们也会经常遇到一些函数问题，因为函数知识是与生活实践紧密相连的。当人们在社会生活中从事买卖活动或其他活动时，经常会涉及到变量的函数关系。函数的应用在生活中占有非常重要的地位。题3、公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案，在销售利润达到10万元时按销售利润进行奖励，且奖金y随销售利润x的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，现有三个奖励类型：，其中那个模型符合公司要求？分析：奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总利润，于是，只需在区间上，检验三个模型是否符合公司要求即可。先做出函数图像，通过观察函数图像，得到直观结论，再通过具体计算确认结果。先做出函数，的图像，观察图5发现在区间上，模型，的图像都有一部分在直线的上方，只有模型的图像在直线的下方。这说明只有按模型进行奖励才符合公司要求。下面通过计算确认上述判断。首先，哪个模型的奖金总数不超过5万元。对于模型，它在区间上递增，当时，因此当时，所以该模型不符合要求。对于模型，它在区间上递增，在区间内有一点满足，当时，所以该模型不符合要求。对于模型，它在区间上递增，当时，所以该模型符合要求。在计算按模型奖励时，奖金是否不超过利润的25%，及当时，是否成立，及是否成立，由图5得在区间上成立，所以成立。综上，模型确实符合公司要求。题4、一辆汽车在一段路中的行驶速率与时间的关系如图所示。（）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际意义；（）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路前的读数为，试建立行驶这段路是汽车里程表读数与时间的函数解析式，并作出相应图像。分析：（）如图所示，阴影部分面积可以用定积分的定义来求解，通过分割、取点、求和、取极限，得出阴影部分面积为（其具体内容可参照华东师范大学数学系编的数学分析第四版上册202205页）阴影部分中横坐标表示时间，纵坐标表示速度，所以阴影部分面积表示汽车在这内行驶的里程为。（）根据图，汽车里程表读数与时间的函数解析式为画出函数图像如图所示（三）、数形结合思想在解空间几何体中的应用解空间几何体的问题时，利用各种图形的性质，通过图形的直观性、简洁性可以更容易的解决空间几何体的题型。题5已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体，,如图8，求它的表面积？分析：因为是等边三角形，所以只需求一个面再乘以四即为它的表面积。先求出的面积，过点S作，交BC与点D，因为BC=a，所以，所以所以四面体的表面积为。（四）、数形结合思想在直线方程中的应用在直线的方程中，我们可以根据已知条件画出图形，即数化为形，使得问题更直观，更易与解答。题6已知三角形的三个顶点，,求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。分析：根据已知条件，画出如图9所示的图形，则过，的两点式方程为整理得：这就是BC边所在直线的方程。BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段，由中点坐标公式可得M点的坐标为，即，过点的直线的方程为整理得即这就是BC边中线所在直线的方程。题7、如图所示，已知，求直线,，的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。分析：如图所示，直线，直线的倾斜角是锐角，直线的倾斜角是钝角。现在求它们的斜率;。因为，所以直线，直线倾斜角是锐角，直线的倾斜角是钝角。（五）、数形结合思想在圆的方程中的应用在解析几何中圆占有很重要的地位，根据题意画出圆的图形，利用圆的性质，解决问题。题8、已知线段AB的端点B点坐标是，端点A在圆上运动，求线段AB的中点的轨迹方程。分析：根据题意画出如图所示的图形，则设点的坐标是，点的坐标是，由于点的坐标是，且点是线段的中点，所以由中点坐标公式得，于是有，因为点在圆上运动，把点的坐标带入圆的方程得把式代入式得整理得所以点的轨迹方程是以为圆心，半径是的圆。题、如图是一圆拱形桥一圆拱的示意图，这个圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需用一根支柱支撑，求支柱的高度（精确到）。分析：建立如图所示的直角坐标系，使圆心在轴上，设圆心坐标为，圆的半径是，那么圆的方程是因为、都在圆上，所以它们的坐标分别为，都满足方程，于是得解得，所以圆的方程是将点的横坐标代入方程得所以的高度为。（六）、数形结合思想在三角函数中的应用通过三角函数图像，可以得出三角函数的周期、频率、振幅以及初相等数值，可以减小解三角函数题的难度，数形结合在三角函数中是必不可少的方法之一。题、如图，是一简谐运动的图，试根据图像回答下列问题。（）这个简谐运动的周期、频率、振幅各是多少？（）从点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动？如从点算起呢？（）写出这个简谐运动的函数表达式。分析：（）从图上可以看到，这个简谐运动的振幅为，周期为，频率为。（）如果从点算起，到曲线上的点，表示完成了一次往复运动；如果从点算起，到曲线上的点，表示完成了一次往复运动。（）设这个简谐运动的函数表达式为，。那么，由得；由图像知初相，于是所求函数表达式为。题、如图，某地一天从时的温度变化曲线近似满足函数（）求这一天时的最大温差，（）写出这段函数的函数解析式。分析：（）由图知，这一天中最高温度是，最低温度是，所以最大温差为。（用几何画板画图，首先在工具文件夹中的外观工具中找出直角坐标系；然后用圆工具中的扇形画出图形；再用箭头工具中的箭头（A）为直角坐标系画上合适的箭头；最后用截图工具截出图像）（）从图可以看出，的图像是的半个周期的图像，所以因为所以所以又点在函数上，代入上式得所以函数解析式为（七）、数形结合思想在不等式中的应用有一些不等式结构非常复杂，若是进行计算不仅解题过程复杂，还容易出现错误，但是若用数形结合思想解题，会变得简洁，易懂，还不容易出错，节约大量时间。题、一个车辆制造厂引进了一条摩托整车装配流水线，这条流水线生产的摩托数量（辆）与创造的价值（元）之间有如下关系若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收元以上，那么他在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？分析：设在一个星期内生产辆摩托车，根据题意，我们得到整理得因为，所以方程有两个实根，计算得，由二次函数的图像如图所示，得到不等式得解为因为只能取整数，所以，当这条摩托车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在辆之间时，这家工厂能够获得元以上收益。题、营养学家指出，承认良好的饮食应该至少提供的碳水化合物，的蛋白质，脂肪。的食物含有的碳水化合物，的蛋白质，脂肪，花费元。的食物含有的碳水化合物，的蛋白质，脂肪，花费元。为了满足营养学家指出日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物和食物多少？分析：根据已知数据列出下表食物水化合物蛋白质脂肪单价元设每天食用食物，食物，总花费为元，那么由题意列式得目标函数为二元一次不等式等价于做出二元一次不等式组所表示的平面区域如图所示。即可行域考虑，将它变形为，这是斜率为，随变化的一族平行线。是直线在轴上的截距，当取最小值时，的值最小，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数取得最小值。由图可知，当直线经过可行域上点时，在轴上的交点最小即的取值最小。由图知直线与直线的交点即为点，即得方程组，解得所以点坐标为；将点坐标代入直线得；所以同时食用食物，食用食物时，花费最小，最小花费为元。（八）、数形结合思想在导数中的应用利用导数求极值时，应用数形结合思想可以更快的解题。题14、求下列函数的单调性，并求出单调区间：；。分析：求函数的单调性，只需求出导数，时，是增函数；时，是减函数。由函数得，其图像如图所示，由图知，函数在单调递增。由函数得，其图像如图所示，时，函数单调递增；时，函数单调递减。 由函数得，其图像如图所示，时，所以函数在内单调递减。 题、求函数在上的最大值与最小值。 分析：先求出导函数，判断出单调性，计算出最大值与最小值。由题知，图像如图，时， ，函数单调递减，时，函数单调递增。画出函数的图像如图所示，当时，取最大值；当时，取最小值。三、总结“数 ”和 “形 ”是数学的两块基石 ，它们反映了同一个事物的空间形式和数量形式。相互对立，相互依存由数思形，由形思数，把它们结合起来可以更好地揭示数学事物的本质和规律。通过对同一数学对象进行代数释意与几何释意的互补，实现“形”“数”语义转化它有很大的灵活性、创造性,在解题过程中,应多方位、 多角度的去思考、 探索,选用合理、恰当的途径,以求取得事半功倍的效果。通过数形结合解题教学能让学生看出要得到的结论,并能用数学知识推导出来,这样就能逐步培养学生运用直觉思维的能力,并在理论指导下,开展更高水平的探索活动。联想能力不仅是解决数学问题的桥梁,也是解决复杂问题的关键。一个数学问题的解决,由已知条件得到结论是一个复杂的联想过程,引入数形结合的教学方法后,不仅使学生联想能力得培养和提高,而且使主要的数学内容相互渗透和相互补充,对知识的掌握也有很大的帮助。 参考文献1黄佳琴.浅谈数形结合思想及其应用J.高校讲坛，2010,(15);560-561.2杨厥帅.不等式恒成立问题的常用解题策略J.高中数学教与学，2008（12）.3韦柳荣.数形结合思想在解题中的应用J.教育科学，2013,(8);163-164.4韩雪丽.数形结合思想方法在高中数学教学中的研究与实践D.大连: 辽宁师范大学，20135周剑利.高中文科生数形结合思想方法的教学研究D.长沙: 湖南师范大学，20116吕合沈.创新考典M.吉林：吉利大学出版社，2012(4).7任胜天.浅谈“数形结合”解题J.安徽教育学院学报,2000,18(3);56-57.The number form combining ideas in the Application of the high school MathematicsREN Wei(School of Mathematics and Statistics ,Longdong University, Qingyang Gansu745000)Abstract: The number form combining ideas can make the abstract math problems visualizations, make simple high-speeding hard math problems, make originally need to abstract thinking to solve the problem, sometimes with the aid of image thinking can directly solve, favorable to the coordinated development of abstract thinking and thinking in images and a variety of methods to solve the problem.Mathematician hua luogeng said: for lack of intuition, and form the shape of a few difficult minute.This sentence profoundly reveals the dialectical relationship between the number form as well as the importance of the number form combining.Such as the number and complicated calculation to the understanding of the actual problem, often want to use graphics to understand and analysis, that is to say, in mathematics, number is dependent on the form.In addition, the geometric knowledge learning, and many times only by direct observation cant see what regularity and characteristics of the number needed to use at this moment, such as an Angle is right Angle, two arms are equal, how much is the pupil.In other words, also cannot leave the number.Therefore, the meaning of the number form combining ideas in mathematics is particularly important.the number form combining ideas occupying the important status in the high school mathematics, is an essential part of high school math thought.致 谢非常感谢完老师，对我毕业论文从最初的选题，资料的收集，再到论文的写作、修改，一直到最后到论文定稿过程的耐心指导和热心帮助。同时，也感谢所有任课老师和所有同学在这四年来给我的指导和帮助，是你们教会了我专业知识，教会了我如何学习，教会了我如何做人。同时，正是由于你们的耐心教导和无私的奉献，我才能在各方面取得显著的进步。在此向各位老师表示我衷心的谢意，并祝愿各位老师身体健康，万事如意！祝愿各位同学学业有成，事事顺心！