四边形辅助线做法辅导讲义

四边形辅助线做法辅导讲义中考四边形辅助线做法辅导讲义教学目的：1、理解并掌握辅助线的作法2掌握平行四边形，菱形，矩形，正方形与梯形的性质与判定一、 和平行四边形有关的辅助线作法1利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1 如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形.求证:OE与AD互相平分.2利用两组对边平行构造平行四边形例2 如图2，在ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED/AC，FG/AC交BC分别为D，G.求证:ED+FG=AC.3利用对角线互相平分构造平行四边形例3 如图3，已知AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC.二、和菱形有关的辅助线的作法 和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.例4 如图5，在ABC中，ACB=90，BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF/BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形.例5如图6，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF的最小值等于DE长.三、 与矩形有辅助线作法 和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.例6 如图7，已知矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD的长.例7如图8，过正方形ABCD的顶点B作BE/AC，且AE=AC，又CF/AE.求证：BCF=AEB.五、 与梯形有关的辅助线的作法和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉与以下几种类型：（1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形；（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形；（3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形；（4） 延长两腰构成三角形；（5）作两腰的平行线等.例8 已知，如图9，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=AC，BAC=90，BD=BC，BD交AC于点0.求证：CO=CD.例9 如图10，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，ACBD，AD+BC=10，DEBC于E.求DE的长.例9 如图10，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，ACBD，AD+BC=10，DEBC于E.求DE的长.六、 和中位线有关辅助线的作法例10 如图11，在四边形ABCD中，AC于BD交于点0，AC=BD，E、F分别是AB、CD中点，EF分别交AC、BD于点H、G.求证：OG=OH.2011年中考数学经典几何证明题（一）1. （1）如图1所示，在四边形中，=，与相交于点，分别是的中点，联结，分别交、于点，试判断的形状，并加以证明； （2）如图2，在四边形中，若，分别是的中点，联结FE并延长，分别与的延长线交于点，请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论： ； （3）如图3，在中，点在上，分别是的中点，联结并延长，与的延长线交于点，若，判断点与以AD为直径的圆的位置关系，并简要说明理由 DCABGHFE图 1 图2 图3练习1、(2008 湖北恩施)为了让州城居民有更多休闲和娱乐的地方，政府又新建了几处广场，工人师傅在铺设地面时，准备选用同一种正多边形地砖.现有下面几种形状的正多边形地砖，其中不能进行平面镶嵌的是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 2、(2009衡阳市)如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（ ）A1B CD2 3、（2007台州）把正方形绕着点，按顺时针方向旋转得到正方形，边与交于点（如图）试问线段与线段相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想四边形辅助线做法辅导讲义教学目的：1、理解并掌握辅助线的作法2掌握平行四边形，菱形，矩形，正方形与梯形的性质与判定二、 和平行四边形有关的辅助线作法1利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1 如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形.求证:OE与AD互相平分. 2利用两组对边平行构造平行四边形例2 如图2，在ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED/AC，FG/AC交BC分别为D，G.求证:ED+FG=AC.3利用对角线互相平分构造平行四边形例3 如图3，已知AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC.二、和菱形有关的辅助线的作法 和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.例4 如图5，在ABC中，ACB=90，BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF/BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形.例5如图6，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF的最小值等于DE长.四、 与矩形有辅助线作法 和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.例6 如图7，已知矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD的长.例7如图8，过正方形ABCD的顶点B作BE/AC，且AE=AC，又CF/AE.求证：BCF=AEB.七、 与梯形有关的辅助线的作法和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉与以下几种类型：（1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形；（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形；（3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形；（4） 延长两腰构成三角形；（5）作两腰的平行线等.例8 已知，如图9，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=AC，BAC=90，BD=BC，BD交AC于点0.求证：CO=CD.例9 如图10，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，ACBD，AD+BC=10，DEBC于E.求DE的长.八、 和中位线有关辅助线的作法例10 如图11，在四边形ABCD中，AC于BD交于点0，AC=BD，E、F分别是AB、CD中点，EF分别交AC、BD于点H、G.求证：OG=OH.2011年中考数学经典几何证明题（一）1. （1）如图1所示，在四边形中，=，与相交于点，分别是的中点，联结，分别交、于点，试判断的形状，并加以证明； （2）如图2，在四边形中，若，分别是的中点，联结FE并延长，分别与的延长线交于点，请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论： ； 图 1 图2 图3（3）如图3，在中，点在上，分别是的中点，联结并延长，与的延长线交于点，若，判断点与以AD为直径的圆的位置关系，并简要说明理由 DCABGHFE练习1、(2008 湖北恩施)为了让州城居民有更多休闲和娱乐的地方，政府又新建了几处广场，工人师傅在铺设地面时，准备选用同一种正多边形地砖.现有下面几种形状的正多边形地砖，其中不能进行平面镶嵌的是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 2、(2009衡阳市)如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（ ）A1B CD2 3、（2007台州）把正方形绕着点，按顺时针方向旋转得到正方形，边与交于点（如图）试问线段与线段相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想4、(2009淄博市)如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止已知在相同时间内，若BQ=xcm()，则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边,以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x 为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，请说明理由ABDCPQMN 题45(2009威海市)如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连结DE并延长，交AB的延长线于F点，添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形你认为下面四个条件中可选择的是（）A BC D6.（2009济南）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5过对角线交点作OEAC交AD于E，则AE的长是（ ）A1.6B2.5C3 D3.47. (2009本溪市)如图所示，菱形中，对角线相交于点，为边中点，菱形 的周长为24，则的长等于 8. （2009东营市）如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D，C的位置若EFB65，则AED等于 第3题图EBAFCD第1题图第2题图EDBCFCDA第4题图A 70 B.65 C. 50 D. 25 添辅助线有二种情况： （1）按定义添辅助线： 如证明二直线垂直可延长使它们 相交后证交角为90， 证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍， 证角的倍半关系也可类似添辅助线 （2）按基本图形添辅助线： 每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们 把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。 举例如下： 平行线是个基本图形： 当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线 等腰三角形是个简单的基本图形： 当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。 出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。 等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形： 出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线； 出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。 直角三角形斜边上中线基本图形 出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线 出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。 三角形中位线基本图形 几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形 当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形。 当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。 全等三角形： 全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等 如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。 当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线 相似三角形： 相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型 当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向，这类题目中往往有多种浅线方法。 特殊角直角三角形 当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三边比为1：1：2；30度角直角三角形三边比为1：2：3进行证明 半圆上的圆周角 出现直径与半圆上的点，添90度的圆周角 出现90度的圆周角则添它所对弦-直径 平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等组成一样 下面提供三角形中位线基本图形的几种添线图形（色线为辅助线） 补充几句： 我认为添辅助线是有规律的！如西瓦定理结论很复杂，但出现了相比线段重叠在一直线上的特征，而这正是平行线形相似三角形的性质！因此我们可根据平行线形相似三角形进行补图：添平行线得平行线型相似三角形进行证明。又如几何问题中出现多个中点时可添加面积等分线或补完整三角形中位线基本图形进行证明（如证顺次连结任意四边形各边中点的四边形为平行四边形）；出现线段倍半关系除根据定义加倍取半外（也是规律么）还有下面几种情形：若倍线段是直角三角形斜边则必须 添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上的中线的基本图形；但若与倍线段有公共端点的某线段带一个中点或半线段的端点是另一线段的中点则必添加三角形中位线基本图形无疑！ 参考文献： 全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种： 1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变 换中的“对折” 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的 思维模式是全等变换中的“旋转” 3) 遇到角平分线， 可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线， 利用的思维模式是三角 形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理 4) 过图形上某一点作特定的平分线， 构造全等三角形， 利用的思维模式是全等变换中的 “平 移”或“翻转折叠” 5) 截长法与补短法， 具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等， 或是将某条 线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法， 适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目 特殊方法： 在求有关三角形的定值一类的问题时， 常把某点到原三角形各顶点的线段连 接起来，利用三角形面积的知识解答三角形全等添加辅助线口诀人说几何很困难， 难点就在辅助线，辅助线，如何添？ 把握定理和概念，还要刻苦加钻研， 找出规律凭经验，图中有角平分线， 可向两边引垂线，也可将图对折看， 对称以后关系现，角平分线平行线， 等腰三角形来添，角平分线加垂线， 三线合一试试看，线段垂直平分线， 常向两边把线连，要证线段倍与半， 延长缩短可试验，三角形中两中点， 连接则成中位线，三角形中有中线， 延长中线等中线。知识点一：平行四边形有关的辅助线作法第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。例1如图，在平行四边形中，点在对角线上，且,请你以为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。例2如右图2，在平行四边形中，对角线和相交于点O，如果，那么的取值范围是（ ）A B C D第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。例3已知：如图，四边形为平行四边形。求证：第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。例4：已知：如图，在正方形中，分别是、的中点，与交于点，求证：证明：第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线例5已知：如图，在平行四边形中，,交于，求知识点二：和菱形有关的辅助线的作法 和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.例7 如图，在ABC中，ACB=90，BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF/BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形.例8 如图，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF的最小值等于DE长.说明：菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线.知识点三：与矩形有辅助线作法 和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.例9如图，已知矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD的长.知识点四：与正方形有关辅助线的作法 正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.例10如图，过正方形ABCD的顶点B作BE/AC，且AE=AC，又CF/AE.求证：BCF=AEB.知识点五：与梯形有关的辅助线的作法 和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉与以下几种类型：（1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形；（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形；（3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形；（4） 延长两腰构成三角形；（5）作两腰的平行线等.例11 已知，如图，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=AC，BAC=90，BD=BC，BD交AC于点0.求证：CO=CD.例12 如图，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，ACBD，AD+BC=10，DEBC于E.求DE的长.知识点六：和中位线有关辅助线的作法例13 如图，在四边形ABCD中，AC于BD交于点0，AC=BD，E、F分别是AB、CD中点，EF分别交AC、BD于点H、G.求证：OG=OH.