高中数学北师大版选修22学案：4.2　微积分基本定理 Word版含解析

2 微积分基本定理微积分基本定理 1.了解微积分基本定理的含义.(难点) 2.会利用微积分基本定理求函数的定积分.(重点) 基础 初探 教材整理 微积分基本定理 阅读教材 P82P84，完成下列问题. 1.微积分基本定理 如果连续函数 f(x)是函数 F(x)的导函数，即 f(x)F(x)，则有abf(x)dxF(b)F(a). 2.定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S上，x 轴下方的面积为 S下，则 (1) 图 4- 2- 1 (1)当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图 4- 2- 1(1)，则abf(x)dxS上. (2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图 4- 2- 1(2)，则abf(x)dxS下. (2) (3) 图 4- 2- 1 (3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图 4- 2- 1(3)，则abf(x)dxS上S下，若 S上S下，则abf(x)dx0. 1.判断(正确的打“”，错误的打“”) (1)微积分基本定理中，被积函数 f(x)是原函数 F(x)的导数.( ) (2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为 0.( ) (3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数.( ) 【答案】 (1) (2) (3) 2.02(sin x)dx 等于( ) A.0 B.2 C.2 D.4 【解析】 02(sin x)dxcos x20cos 2cos 00. 【答案】 A 质疑 手记 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： 小组合作型 利用微积分基本定理求定积分 计算下列定积分. (1)12(x22x3)dx；(2)0(cos xex)dx； (3)122x2x1xdx；(4) 02 sin2x2dx. 【思路探究】 (1)、(2)先求被积函数的一个原函数 F(x)，然后利用微积分基本定理求解；(3)、(4)则需先对被积函数变形，再利用微积分基本定理求解. 【自主解答】 (1)12(x22x3)dx 12x2dx122xdx123dx x3321x2213x21253. (2)0(cos xex)dx0cos xdx0exdx sin x0ex01e1. (3)2x2x1x2x11x，而(x2xln x)2x11x. 122x2x1xdx(x2xln x)214ln 2. (4)原式02 12(1cos x)dx1202 (1cos x)dx 12021dx1202cos xdxx220sin x220 24. 求简单的定积分应注意两点： (1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解； (2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限. 再练一题 1.12x1x2dx_. 【解析】 12x1x2dx121x1x2dx ln x1x20 ln 212(ln 11)ln 212. 【答案】 ln 212 求分段函数的定积分 计算下列定积分. (1)f(x)sin x，0 x2，1，2x2，x1，2x4，求04f(x)dx； (2)02|x21|dx. 【精彩点拨】 (1)按 f(x)的分段标准，分成0，2，2，2 ，(2，4三段求定积分，再求和. (2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分. 【自主解答】 (1)04f(x)dx02sin xdx221dx24(x1)dx (cos x)20 x2212x2x42 122(40)72. (2)02|x21|dx01(1x2)dx12(x21)dx x13x31013x3x212. 1.本例(2)中被积函数 f(x)含有绝对值号，可先求函数 f(x)的零点，结合积分区间，分段求解. 2.分段函数在区间a，b上的定积分可分成 n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行. 3.带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解. 再练一题 2.计算定积分：33(|2x3|32x|)dx. 【解】 设 f(x)|2x3|32x|，x3，3， 则 f(x)4x，3x32，6，32x32，4x，32bc B.cab C.acb D.cba 【解析】 a01x13dxx43431034， b01x2dxx331013，c01x3dxx441014， abc. 【答案】 A 3.(2016 东莞高二检测)已知01(kx1)dxk，则实数 k( ) A.2 B.2 C.1 D.1 【解析】 01(kx1)dx12kx2x1012k1k，k2. 【答案】 A 4.已知 f(x)2|x|，则12f(x)dx( ) A.3 B.4 C.72 D.92 【解析】 因为 f(x)2|x|2x，x0，2x，x0，所以 12f(x)dx10(2x)dx02(2x)dx2xx22012xx222032272. 【答案】 C 5.设 f(x)x2，0 x1，2x，1x2，则02f(x)dx( ) A.23 B.34 C.45 D.56 【解析】 02f(x)dx01x2dx12(2x)dx 13x3102x12x221 131256. 【答案】 D 二、填空题 6.(2015 长沙高二检测)若 f(x)sin xcos x， 则-22f(x)dx_. 【解析】 因为 f(x)sin xcos x， 所以 f(x)的一个原函数 F(x)sin xcos x， 则-22 (sin xcos x)dxF2F2 sin 2cos 2sin2cos22. 【答案】 2 7.(2016 长沙高二检测)f(x)sin xcos x，则-22f(x)dx_. 【解析】 -22f(x)dx-22 (sin xcos x)dx (cos xsin x)2-2cos2sin2cos2sin2 sin2sin2112. 【答案】 2 8.已知 f(x)lg x，x0，x0a3t2dt，x0，若 f(f(1)1，则 a_. 【导学号：94210074】 【解析】 因为 f(1)lg 10， 且0a3t2dtt3|a0a303a3， 所以 f(0)0a31，所以 a1. 【答案】 1 三、解答题 9.已知 f(x)ax(12t4a)dt，F(a)01f(x)3a2dx，求函数 F(a)的最小值. 【解】 因为 f(x)ax(12t4a)dt(6t24at)xa 6x24ax(6a24a2)6x24ax2a2， F(a)01f(x)3a2dx01(6x24axa2)dx (2x32ax2a2x)1022aa2(a1)211. 当 a1 时，F(a)有最小值 1. 10.设 f(x)ax2bxc(a0)，f(1)4，f(1)1，01f(x)dx196，求 f(x). 【解】 因为 f(1)4，所以 abc4， f(x)2axb， 因为 f(1)1，所以 2ab1， 01f(x)dx13ax312bx2cx10 13a12bc196， 由可得 a1，b3，c2. 所以 f(x)x23x2. 能力提升 1.已知等比数列 an，且 a4a8024x2dx，则 a6(a22a6a10)的值为( ) A.2 B.4 C. D.9 【解析】 024x2dx 表示以原点为圆心，半径 r2 在第一象限的面积，因此024x2dx， a6(a22a6a10)a6 a22a6 a6a6 a10a242a4 a8a28(a4a8)22，故选 A. 【答案】 A 2.如图 4- 2- 2 所示，在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P，则点 P 恰好取自阴影部分的概率为( ) 图 4- 2- 2 A.14 B.15 C.16 D.17 【解析】 因为 S正方形1， S阴影01( xx)dx23x3212x210231216， 所以点 P 恰好取自阴影部分的概率为16116. 【答案】 C 3.计算：22(2|x|1)dx_. 【解析】 22(2|x|1)dx20(2x1)dx 02(2x1)dx(x2x)|02(x2x)|20 (42)(42)12. 【答案】 12 4.定义 F(x，y)(1x)y，x，y(0，).令函数 f(x)F(1，log2(x24x9)的图像为曲线 C1，曲线 C1与 y 轴交于点 A(0，m)，过坐标原点 O 作曲线 C1的切线，切点为 B(n，t)(n0)，设曲线 C1在点 A，B 之间的曲线段与 OA，OB 所围成图形的面积为 S，求 S 的值. 【解】 F(x，y)(1x)y， f(x)F(1，log2(x24x9) 2log2(x24x9)x24x9， 故 A(0，9)，f(x)2x4. 又过 O 作 C1的切线， 切点为 B(n，t)(n0)， tn24n9，tn2n4，解得 B(3，6). S03(x24x92x)dx13x33x29x309.