2020数学文高考二轮专题复习与测试：第二部分 专题五第3讲 圆锥曲线中的热点问题 Word版含解析

A 级级基础通关基础通关一、选择题一、选择题1 (2017全国卷全国卷改编改编)椭圆椭圆 C：x23y2m1 的焦点在的焦点在 x 轴上轴上， 点点 A，B 是长轴的两端点是长轴的两端点，若曲线若曲线 C 上存在点上存在点 M 满足满足AMB120，则实则实数数m 的取值范围是的取值范围是()A(3，)B1，3)C(0， 3)D(0，1解析：解析：依题意，当依题意，当 0m3 时，焦点在时，焦点在 x 轴上，轴上，要在曲线要在曲线 C 上存在点上存在点 M 满足满足AMB120，则则abtan 60，即，即3m 3，解得，解得 0m1.答案：答案：D2(2019全国卷全国卷)双曲线双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近的一条渐近线的倾斜角为线的倾斜角为 130，则，则 C 的离心率为的离心率为()A2sin 40B2cos 40C.1sin 50D.1cos 50解析：解析：由题意可得由题意可得batan 130，所以所以 e1b2a2 1tan21301sin2130cos21301|cos 130|1cos 50.答案：答案：D3若点若点 P 为抛物线为抛物线 y2x2上的动点上的动点，F 为抛物线的焦点为抛物线的焦点，则则|PF|的最小值为的最小值为()A2B.12C.14D.18解析：解析：根据题意，抛物线根据题意，抛物线 y2x2上，设上，设 P 到准线的距离为到准线的距离为 d，则，则有有|PF|d， 抛物线的方程为抛物线的方程为 y2x2， 即即 x212y， 其准线方程为其准线方程为 y18，所以当点所以当点 P 在抛物线的顶点时，在抛物线的顶点时，d 有最小值有最小值18，即，即|PF|min18.答案：答案：D4(2019天津卷天津卷)已知抛物线已知抛物线 y24x 的焦点为的焦点为 F，准线为，准线为 l.若若 l 与与双曲线双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线分别交于点的两条渐近线分别交于点 A 和点和点 B，且，且|AB|4|OF|(O 为原点为原点)，则双曲线的离心率为，则双曲线的离心率为()A. 2B. 3C2D. 5解析：解析：由已知易得，抛物线由已知易得，抛物线 y24x 的焦点为的焦点为 F(1，0)，准线，准线 l：x1，所以，所以|OF|1.又双曲线的两条渐近线的方程为又双曲线的两条渐近线的方程为 ybax，不妨设点，不妨设点 A1，ba ，B1，ba ，所以，所以|AB|2ba4|OF|4，所以，所以ba2，即，即 b2a，所，所以以b24a2.又因为又因为 c2a2b2，所以，所以 c25a2，所以，所以 eca 5.答案：答案：D5(2019安徽六安一中模拟安徽六安一中模拟)点点 P 在椭圆在椭圆 C1：x24y231 上上，C1的的右焦点为右焦点为 F2，点点 Q 在圆在圆 C2：x2y26x8y210 上上，则则|PQ|PF2|的最小值为的最小值为()A4 24B44 2C62 5D2 56解析：解析：设椭圆的左焦点为设椭圆的左焦点为 F1(1，0)则则|PQ|PF2|PQ|(2a|PF1|)|PQ|PF1|4，故要求故要求|PQ|PF2|的最小值即求的最小值即求|PQ|PF1|的最小值的最小值又圆又圆 C2的半径的半径 r2，圆心，圆心 C2(3，4)，所以所以(|PQ|PF1|)min|C2F1|r 22（4）222 52.故故|PQ|PF2|的最小值为的最小值为 2 56.答案：答案：D二、填空题二、填空题6已知点已知点(1，2)是双曲线是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)上一点，则双曲上一点，则双曲线离心率的取值范围是线离心率的取值范围是_解析：解析：由已知得由已知得1a24b21，所以，所以b2a2b24，则则 e2ca21b2a25b2，故，故 e 5.答案：答案：( 5，)7 已知抛物线已知抛物线 y24x， 过焦点过焦点 F 的直线与抛物线交于的直线与抛物线交于 A， B 两点两点，过过 A，B 分别作分别作 x 轴轴，y 轴垂线轴垂线，垂足分别为垂足分别为 C，D，则则|AC|BD|的最的最小值为小值为_解析：解析：不妨设不妨设 A(x1，y1)(y10)，B(x2，y2)(y20)则则|AC|BD|x2y1y224y1.又又 y1y2p24，所以所以|AC|BD|y2244y2(y20)设设 g(x)x244x，g(x)x382x2，令令 g(x)0，得，得 x2，令令 g(x)0，得，得2x0.所以所以 g(x)在在(，2)上递减，在上递减，在(2，0)上递增上递增所以当所以当 x2，即，即 y22 时，时，|AC|BD|取最小值为取最小值为 3.答案：答案：38(2019浙江卷浙江卷)已知椭圆已知椭圆x29y251 的左焦点为的左焦点为 F，点，点 P 在椭圆在椭圆上且在上且在 x 轴的上方若线段轴的上方若线段 PF 的中点在以原点的中点在以原点 O 为圆心，为圆心，|OF|为半为半径的圆上，则直线径的圆上，则直线 PF 的斜率是的斜率是_解析：解析：如图，左焦点如图，左焦点 F(2，0)，右焦点，右焦点 F(2，0)线段线段 PF 的中点的中点 M 在以在以 O(0，0)为圆心，为圆心，2 为半径的圆上，因为半径的圆上，因此此OM2.在在FFP 中，中，OM12PF，所以所以 PF4.根据椭圆的定义，得根据椭圆的定义，得 PFPF6，所以所以 PF2.又因为又因为 FF4，所以在所以在 RtMFF中，中，tan PFFMFMFFF2MF2MF 15，故直线故直线 PF 的斜率是的斜率是 15.答案：答案： 15三、解答题三、解答题9已知曲线已知曲线 C：y24x，曲线，曲线 M：(x1)2y24(x1)，直线，直线 l与曲线与曲线 C 交于交于 A，B 两点，两点，O 为坐标原点为坐标原点(1)若若OAOB4，求证：直线，求证：直线 l 恒过定点；恒过定点；(2)若直线若直线 l 与曲线与曲线 M 相切相切， 求求PAPB(点点 P 坐标为坐标为(1， 0)的最大值的最大值(1)证明：证明：设设 l：xmyn，A(x1，y1)，B(x2，y2)由由xmyn，y24x，得得 y24my4n0.所以所以 y1y24m，y1y24n.所以所以 x1x24m22n，x1x2n2.由由OAOB4，得得 x1x2y1y2n24n4，解得，解得 n2.所以直线所以直线 l 方程为方程为 xmy2，所以直线所以直线 l 恒过定点恒过定点(2，0)(2)解：解：因为直线因为直线 l 与曲线与曲线 M：(x1)2y24(x1)相切，相切，所以所以|1n|1m22，且，且 n3，整理得整理得 4m2n22n3(n3)又点又点 P 坐标为坐标为(1，0)，所以由已知及，所以由已知及，得，得PAPB(x11，y1)(x21，y2)(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y2n24m22n14nn24m26n144n.又又 y44n(n3)是减函数，是减函数，所以当所以当 n3 时，时，y44n 取得最大值取得最大值8.故故PAPB的最大值为的最大值为8.10 (2019惠州调研惠州调研)已知椭圆已知椭圆 C：y2a2x2b21(ab0)的离心率为的离心率为12，短轴长为短轴长为 2 3.(1)求椭圆求椭圆 C 的方程；的方程；(2)设过点设过点 A(0，4)的直线的直线 l 与椭圆与椭圆 C 交于交于 M、N 两点两点，F 是椭圆是椭圆 C的上焦点问：是否存在直线的上焦点问：是否存在直线 l，使得，使得 SMAFSMNF？若存在，求出？若存在，求出直线直线 l 的方程；若不存在，请说明理由的方程；若不存在，请说明理由解：解：(1)由题意知由题意知ca12，b 3，且，且 a2b2c2，解之得解之得 a24，b23.所以椭圆所以椭圆 C 的方程为的方程为y24x231.(2)存在理由如下：存在理由如下：由题意可知由题意可知 l 的斜率一定存在，的斜率一定存在，设设 l 为为 ykx4，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立联立ykx4，y24x231，(3k24)x224kx360，所以所以（24k）2144（3k24）0， x1x224k3k24，x1x2363k24，由由 SMAFSMNF，知，知 M 为线段为线段 AN 的中点，的中点，所以所以 x22x1，将将代入代入得得 x18k3k24；代入代入得得 x21183k24.从而可得从而可得 k2365，且满足，且满足式，式，所以所以 k6 55.因此存在直线因此存在直线 l 为为 6x 5y4 50 或或 6x 5y4 50 满足题满足题意意B 级级能力提升能力提升11在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中中，已知椭圆已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab1)过点过点 P(2，1)，且离心率，且离心率 e32.(1)求椭圆求椭圆 C 的方程；的方程；(2)直线直线 l 的斜率为的斜率为12，直线，直线 l 与椭圆与椭圆 C 交于交于 A，B 两点，求两点，求PAB面积的最大值面积的最大值解：解：(1)因为因为 e2c2a2a2b2a234，所以，所以 a24b2.又又4a21b21，所以，所以 a28，b22.故所求椭圆故所求椭圆 C 的方程为的方程为x28y221.(2)设设 l 的方程为的方程为 y12xm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立联立y12xm，x28y221，消去消去 y 得得 x22mx2m240，判别式判别式164m20，即，即 m24.又又 x1x22m，x1x22m24，则则|AB|114（x1x2）24x1x25（4m2），点点 P 到直线到直线 l 的距离的距离 d|m|1142|m|5.因此因此 SPAB12d|AB|122|m|5 5（4m2） m2（4m2）m2（4m2）22.当且仅当当且仅当 m22 即即 m 2时上式等号成立，时上式等号成立，故故PAB 面积的最大值为面积的最大值为 2.12设椭圆设椭圆 M：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为 A(1，0)，B(1，0)，C 为椭圆为椭圆 M 上的点，且上的点，且ACB3，SABC33.(1)求椭圆求椭圆 M 的标准方程；的标准方程；(2)设过椭圆设过椭圆 M 右焦点且斜率为右焦点且斜率为 k 的动直线与椭圆的动直线与椭圆 M 相交于相交于 E， F两点，探究在两点，探究在 x 轴上是否存在定点轴上是否存在定点 D，使得，使得DEDF为定值？若存在，为定值？若存在，试求出定值和点试求出定值和点 D 的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由解解： (1)在在ABC 中中， 由余弦定理得由余弦定理得 AB2CA2CB22CACBcosC(CACB)23CACB4.又又 SABC12CACBsin C34CACB33，所以所以 CACB43，代入上式得，代入上式得 CACB2 2，所以椭圆长轴所以椭圆长轴 2a2 2，焦距，焦距 2cAB2，所以，所以 b1.所以椭圆所以椭圆 M 的标准方程为的标准方程为x22y21.(2)设直线方程设直线方程 yk(x1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，联立联立x22y21，yk（x1） ，消去消去 y 得得(12k2)x24k2x2k220，8k280，所以所以 x1x24k212k2，x1x22k2212k2.假设假设 x 轴上存在定点轴上存在定点 D(x0，0)使得使得DEDF为定值为定值所以所以DEDF(x1x0，y1)(x2x0，y2)x1x2x0(x1x2)x20y1y2x1x2x0(x1x2)x20k2(x11)(x21)(1k2)x1x2(x0k2)(x1x2)x20k2（2x204x01）k2（x202）12k2要使要使DEDF为定值，则为定值，则DEDF的值与的值与 k 无关，无关，所以所以 2x204x012(x202)，解得，解得 x054，此时此时DEDF716为定值，定点为为定值，定点为54，0.