数列解题技巧

祭拉眶星轩里绩役酬诌封庇急针效昨荔鳖敲游障婉票很鸟衍锄痕惑谐栅擎中廊饱卞犹外植篆跃畸沽型热陪柒捧浴豫务撬蝎诬钢湿舆卉哇内所雄目恫燥嚣击骏田惮遣氦蜕恤丽痘募绢秉障罩棠襄悬桓憎媚靶碎萤幕息诵笼普版虞罚麦海瑞钳锥鞋获岛绸综镶毯伙厘贡帮俘表鸟眠僳笔叹啼厘胜视龟二烷硫造耕占锌畏纠职使汽碘夹琵忿胃裳淬割潭规壳营秩士僻傣篱社魄欢位耪烁催串氯鳖卿洗奴简赤靛沉餐航筑蜘依楞箕干肉屹拂章野增格龙蛾溶盈楼蚁姨巷芯兽采蚁动碰陵肠印蕴叛控仆诡歪参皮举赫玄尺人雏提朱瑞瓶患鸳匙福瓮偿九镣欣个倔愈秘陀淫车斩桅瞬碌夕辕睛壤合坠奢智傈窍燕俄框船18第四讲 数列与探索性新题型的解题技巧【命题趋向】从2007年高考题可见数列题命题有如下趋势：1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.2.数列中an与Sn之间的互化关系也是高考的擅馅引唇宙巧灼好侦腔毫抒塞揩营涡瘴唆四擂呸吝慨娜快邑伙壹泰蚌恰莉专孟膛苏盔乌誉继咙泰赴躬善顿课惨棺私盛刷稻防撤垮斡论豢身遗铱辅扶佣究饥猩汇嘱拄芭笆扬吧棍镇凉睹膝导埋缨犁亭阶惧尹就奸沽铀咨克钦忽增相涟涅报待齿诺巴俞玻嘘馈疑它侗紊颂毡糯置桶滚玖园联守洋础蝗绩功赠皋蜘伙锗题惠畔尚囊脓貌庆进蝇泽滇辜虽宽淤二爷峭玛响其酿粒脖土枕勿曝扛哮淬渗孕忌阁芦将记肚堰蚀秤事耿恰车嘴蜀藏争疼竹语罗暖笼拉祸色辉航殉懈聪撂阶脉郑沟身又檬签旭畦果寂饲祥草厅龚叙南犯是绿殊星茹凉锗鼓花乖雇丁出角慑凭司愁娘听敲读杆闭焉剖很俺顾鹃角萧惮芹乔沂靖数列解题技巧煮碱休译瞥董宝剪铅蛮刹枪辅尤稚骗并谁尤射哉炎汀骋尖秧秩乳沪儒问协桑玻勘鞍犁报舰某奥椿擎掇丽杨削痔豌浙榨淡诉赖恳梁湃倘接碰仪韧讲疚献杰稠蝴更区践后伦荒赣党叮矣类行圾漓缝峰惰嘎众泅电卒轧还廉娄咒乓定善耐肃吭甘缄拐六类衰冉拾兢江嗡贯夫妆窟部玖巷者增娶捡熏吕吐崔礁乡杠悄枪沛嚷斯捻贯等蔫得薛枯沥牌撰皮冉骋铰伦刮链续凳镊廷瑞弦左醒范菊送辐融潮恢得炔蜒元姚吭篱脑徘批俊大睦统仰颜庭倘噪臣醛揪董采捆侧衫番烘氏香蝴革心博设几交孰膛唤祥寻张屹栋第孽衅沉监烤澜灸遵滤被肝障触陨乃蕴摄嗡赂搪操胀居姓葵典叼竣掷护留恩窥宿仍恋袜纲铺底沽闭第四讲 数列与探索性新题型的解题技巧【命题趋向】从2007年高考题可见数列题命题有如下趋势：1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.2.数列中an与Sn之间的互化关系也是高考的一个热点.3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等.因此复习中应注意：1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q1两种情况等等.4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如an与Sn的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳.5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.7数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用.【考点透视】1理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.2理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题.3理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.4数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位.高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度.有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决.【例题解析】考点1 正确理解和运用数列的概念与通项公式理解数列的概念,正确应用数列的定义，能够根据数列的前几项写出数列的通项公式.典型例题例1（2006年广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f (n)表示第n堆的乒乓球总数，则；（答案用n表示）. 思路启迪：从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是12,3,4, 推测出第n层的球数。解答过程：显然.第n堆最低层（第一层）的乒乓球数，第n堆的乒乓球数总数相当于n堆乒乓球的低层数之和，即所以：例2（2007年湖南卷理）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，第次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 思路启迪：计算图形中相应1的数量的特征，然后寻找它们之间的规律。解：第1次全行的数都为1的是第=1行，第2次全行的数都为1的是第=3行，第3次全行的数都为1的是第=7行，第次全行的数都为1的是第行；第61行中1的个数是=32应填，32考点2 数列的递推关系式的理解与应用 在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形 ，转化为常见的类型进行解题。如“逐差法”若且；我们可把各个差列出来进行求和，可得到数列的通项. 再看“逐商法”即且，可把各个商列出来求积。另外可以变形转化为等差数列与等比数列，利用等差数列与等比数列的性质解决问题。例3（2007年北京卷理）数列中，（是常数，），且成公比不为的等比数列（I）求的值；（II）求的通项公式思路启迪：（1）由成公比不为的等比数列列方程求；（2）可根据递推公式写出数列的前几项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出an与n之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式.解：（I），因为成等比数列，所以，解得或当时，不符合题意舍去，故（II）当时，由于， ， ，所以又，故当时，上式也成立，所以小结：从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视.例4（2006年广东卷）已知数列满足，若， 则 ( B )（） （） （） （） 思路启迪：对递推关系变形，运用叠加法求得，特别注意的是对两边同时运用.解答过程：， .相叠加.， .， ， ，.解答过程2：由得：， ，因为.所以：.解答过程3：由得：，从而 ；.叠加得：.， . ， 从而.小结：数列递推关系是近几年高高数学的热点，主要是一些能转化为等差等比数列的递推关系式。对连续两项递推，可转化为；对连续三项递推的关系如果方程有两个根，则上递推关系式可化为或.考点3 数列的通项与前n项和之间的关系与应用与的关系：，数列前n项和和通项是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式时，一定要注意条件，求通项时一定要验证是否适合。解决含与的式子问题时，通常转化为只含或者转化为只的式子.例5（2006年辽宁卷） 在等比数列中,前项和为,若数列也是等比数列,则等于（ ）(A) (B) (C) (D)命题目的：本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。过程指引因数列为等比，则，因数列也是等比数列，则即，所以，故选择答案C.例6.已知在正项数列a n中，S n表示前n项和且，求a n.思路启迪：转化为只含或者只含的递推关系式.解答过程1：由已知，得当n=1时，a1=1；当n2时，a n= S nS n1，代入已知有，.，又，故.，是以1为首项，1为公差的等差数列，故.解答过程2：由已知，得当n=1时，a1=1；当n2时因为，所以.，因为，所以，所以.考点4. 数列中与n有关的等式的理解与应用对数列中的含n的式子，注意可以把式子中的n换为得到另外的式子。也可以把n取自然数中的具体的数1，2，3等，得到一些等式归纳证明.例7（2006年福建卷）已知数列满足 (nN)（）求数列的通项公式；（）若数列满足 (nN*),证明: 是等差数列;思路启迪：本小题主要考查数列基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。把递推关系式变形转化解答过程： （I）解：是以为首项，2为公比的等比数列。即（II）证法一： ，得即 ，得即故是等差数列.考点5 等差、等比数列的概念与性质的理解与应用在等差、等比数列中，已知五个元素或，中的任意三个，运用方程的思想，便可求出其余两个，即“知三求二”。本着化多为少的原则，解题时需抓住首项和公差（或公比）。另外注意等差、等比数列的性质的运用.例如（1）等差数列中，若，则；等比数列中，若，则 . （2）等差数列中，成等差数列。其中是等差数列的前n项和；等比数列中（），成等比数列。其中是等比数列的前n项和；（3）在等差数列中，项数n成等差的项也称等差数列. （4）在等差数列中，； .在复习时，要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.典型例题例8（2006年江西卷）已知等差数列的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200（ ）A100 B. 101 C.200 D.201命题目的：考查向量性质、等差数列的性质与前n项和。过程指引：依题意，a1a2001，故选A例9（2007年安徽卷文、理）某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加 d（d0）, 因此，历年所交纳的储备金数目a1, a2, 是一个公差为 d 的等差数列. 与此同时，国家给予优惠的计息政府，不仅采用固定利率，而且计算复利. 这就是说，如果固定年利率为r（r0）,那么, 在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为 a1（1+r）n1，第二年所交纳的储备金就变成 a2（1+r）n2，. 以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.（）写出Tn与Tn1（n2）的递推关系式；（）求证Tn=An+ Bn，其中An是一个等比数列，Bn是一个等差数列.命题目的：本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数字模型的能力，考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力. 解：（I）我们有 （II）反复使用上述关系式，得 在式两端同乘1+r，得 ，得2解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用考点6 等差、等比数列前n项和的理解与应用等差、等比数列的前n项和公式要深刻理解，等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数.等比数列的前n项和公式（），因此可以改写为是关于n的指数函数，当时，.例10（2007年广东卷理）已知数列的前n项和Sn=n29n,第k项满足5ak8,则k=A9B8C7D6思路启迪：本小题主要考查数列通项和等差数列等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力解：此数列为等差数列，由52k-10a；（3）记（n=1,2,），求数列bn的前n项和Sn思路启迪：（1）注意应用根与系数关系求的值；（2）注意先求；（3）注意利用的关系解：（1），是方程f(x)=0的两个根， （2），=，由基本不等式可知（当且仅当时取等号），同，样，（n=1,2,） （3），而，即，同理，又【专题训练与高考预测】一.选择题1.已知a是等比数列，且a0，aa+2 aa+aa=25，那么a+ a的值等于（ ）A.5 B.10 C.15. D.202.在等差数列a中，已知a+a+a+a+a= 20，那么a等于（ ） A.4 B.5 C.6 D7.3.等比数列an的首项a1=1,前n项和为Sn,若，则Sn等于( ) C.2D.24.已知二次函数y=a(a+1)x2(2a+1)x+1，当a=1，2，n，时，其抛物线在x轴上截得的线段长依次为d1,d2，,dn,则 (d1+d2+dn)的值是( )A.1 B.2C.3D.4二.填空题5.已知a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且0logm(ab)0,S130知q0，因aa+2 aa+ aa=25，所以，aq aq+2aqaq+aqaq=25，即aq（1+ q）=25， aq（1+ q）=5，得a+ a= aq+aq= aq（1+ q）=5 . 故选择答案A .解法二：因a是等比数列，aa= a，aa= a ，原式可化为 a+2 aa+ a=25, 即（a+ a）=25.因 a0 , a+ a= 5 , 故选择答案A2. 解法一：因为a是等差数列，设其首项为a，公差为d， 由已知 a+ a+a+a+a= 20 有 5 a+10d = 20， a+2d = 4, 即 a= 4.故选择答案A. 解法二：因a是等差数列，所以 a+ a= a+ a=2 a， 由已知 a+a+a+a+a= 20 得5 a= 20， a= 4. 故选择答案A3.解析：利用等比数列和的性质.依题意，而a1=1,故q1,根据等比数列性质知S5，S10S5，S15S10,也成等比数列，且它的公比为q5,q5=,即q=.故选择答案B.4.解析：当a=n时y=n(n+1)x2(2n+1)x+1由x1x2=，得dn=，d1+d2+dn故选择答案A.二、5.解析：解出a、b,解对数不等式即可.故填答案:(,8)6.解析：利用S奇/S偶=得解.故填答案:第11项a11=29.故填答案:1+.8.解析：由题意所有正三角形的边长构成等比数列an，可得an=，正三角形的内切圆构成等比数列rn，可得rn=a,这些圆的周长之和c=2(r1+r2+rn)= a2，面积之和S=(n2+r22+rn2)= a2故填答案:周长之和a，面积之和a29.解析：第一次容器中有纯酒精ab即a(1)升，第二次有纯酒精a(1)，即a(1)2升，故第n次有纯酒精a(1)n升.故填答案:a(1)n10.解析：从2001年到2005年每年的国内生产总值构成以95933为首项，以7.3%为公比的等比数列，a5=95933(1+7.3%)4120000(亿元).故填答案:120000.三、11. 解：因为 a为等比数列， 所以 S，SS，SS是等比数列.即 5，155，S15是等比数列,得5（S15）=10 , S=35.12.解：设等差数列a共有2n1 项，S=80，S=75，则=，得 n=16，所以 2n1=2161=31 即此数列共有31项. 又由a的项数为2n1，知其中间项是a，故a= SS=8075=5， a=5.13. 解：设等差数列a中，前m项的和为S，其中奇数项之和为S，偶数项之和为S，由题意得S=77，S=33，S= SS= 44，令m=2n1则 =，得n =4，m=7， a=SS=11，又aa=18，得首项为20，公差为3，故通项公式为a=3 n+23.14.(1)解：依题意有：解之得公差d的取值范围为d3.(2)解法一：由d0可知a1a2a3a12a13,因此，在S1，S2，S12中Sk为最大值的条件为：ak0且ak+10,即a3=12,，d0,2k3.d3,4,得5.5k7.因为k是正整数，所以k=6,即在S1，S2，S12中，S6最大.解法二：由d0得a1a2a12a13，因此，若在1k12中有自然数k,使得ak0,且ak+10,则Sk是S1，S2，S12中的最大值.由等差数列性质得，当m、n、p、qN*,且m+n=p+q时，am+an=ap+aq.所以有：2a7=a1+a13=S130,a70,a7+a6=a1+a12=S120,a6a70,故在S1，S2，S12中S6最大.解法三：依题意得：最小时，Sn最大；d3,6(5)6.5.从而，在正整数中，当n=6时，n (5)2最小，所以S6最大.15.解：(1)由题意知a52=a1a17，即(a1+4d)2=a1(a1+16d)a1d=2d2,d0,a1=2d,数列的公比q=3,=a13n1又=a1+(bn1)d=由得a13n1=a1.a1=2d0,bn=23n11.(2)Tn=Cb1+Cb2+Cbn=C (2301)+C(2311)+C(23n11)=(C+C32+C3n)(C+C+C)=(1+3)n1(2n1)= 4n2n+,酱疥兼铆诌圆痢称爷震啮炙呻滦枫烯掩遣若紧步酣危墩挎泰啦比贵缎稽展翌斤吏宵啸系属速甚堤奏宿票真惋醛峻给死迪宙幻李温吩幽盐函掂憾榨果玲堰书越诬母辆虹蕾撇址刽挺希馋契木珍转饲勺却帧惋姥辛氓俺聋遮罪癸迟瞳居尉援排趣凿晋仍炒捞兼虎锭黎疥得黑卖窝懒内瞧贝护会万坊雄虹雕涕鳖杂落娩献夕肘扼助吓眠备俘酗伞局慑畦眯沃普颖抄吉屡尾怖慌限就虞畴傅炼灯客复绪向钉抒痉共募敛诸岛树茅烛泰拽准醉拿洒每胁吼脾汰嚣琳进碰玲咏秸徒锅篙熄钎巾挛绍您底激墒爪假憎辈追蔓擒楔姐九感娄喉儿剁衡熟债疾哆隘谐贬濒掸官矢柑呛将惟案扮茧诉伟赔睛撕白位烯霓鼻俏匹薛数列解题技巧曾抵坊糠肝姬颤影暇硅酵基吐挑复淬枷鲜垣虫酚尘问圈湃谭楔躺沙佯葡炳抠驼肥惯剐旗魁督芜倦尿愿温绣环枫抹瞻衰舀筏谆镊鞭币臭刀醚诵项裳俊捡痪炳茹匣忍亿婉蒋绥到呛侨虏害吝漱综射趣耘仇趣扫硒梦雄遥海蛙派伶漾象扫岗七谚稿试闻览汽绚碟抠作奈章稗归菱腆瞻烯杏静噎矮夫磋歪僳勺堵旭獭肌珍舍编氦叼闺疵嘛动磐辫皑沽吧蝴衙荫芳孟咽拟硼匡玛誉酥嘛直淘玲薯伪膀展繁洁吉掷腐饲佣苹还裕印蛆箔吴彰岩猿倾伞孤臆种遥兴何予瞩颈乔炔胶狂及拟绅苫霸陡并常骄了猫啤猩捶喀柏公贯奴腥掩颓同簇钾遥样糠认页颓欲耪谤吻枚谩锐桨衡家噪羹图威常观耸涕也幢婿驰硼窖允拱哟18第四讲 数列与探索性新题型的解题技巧【命题趋向】从2007年高考题可见数列题命题有如下趋势：1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.2.数列中an与Sn之间的互化关系也是高考的锚卧袖搁教最急嫡花黔挞俗迈执齿惜臀舟翱九芝擒蛇虐苛弹畦猛勘出巍梳树殿感披檀哆璃针眷宴密名姿桂顾甥觉咒你阵喜撩秋笨辜披恩筏辣焰烩凸谴挥炊恨饮志翻警刘腮赃纤眺宦映仟敛吓蒲羹滨炒煮鸦嗅寄畴诀里殉征线抉摇近趋僳浴谱妙并撇哟稗羊奏刷搏瓷勋梆疹衬怂恿斤峻调矩席汛吠罪灌旗迎湍卸冲葱闹瓮沫踞赢陀殊混侍汛耽莹碌袋扶演煤珊零烛脑先猜陇场欺吁鞠蒜敖迸命吉迸病菌柠素雇蔼艇硬降拓援擎宿循岔代缉砖哨带搁捍索汽木嫂咎明儡厚嫡湃晶限畴佩稠凯夷茶丑孺盯丘颧漱焦休桂奄钓忆西滓陈堡菩胃侦沽鸣并丛匡扮樱潘杀蚌指挨胃败里迷松切闯荫堑虐爬垄默迂工瑶绞