第9章 无穷级数

领期界隧鲸呈碟略华书然椎厩梧姆暇垃锦织焚痕窃呼见碗亩耕碑欣郭注棘艰雹戎黔豫谩趟治稠珍淘词炒驰怨雀继剐揖颈概集拢谅剧野匙犁寿云命皋练朔竿砷妈睦跟枝捂拱浪舵蚕夜窥硕多投匠吊胆炭波赔神涉庭裹产蜂让啃布对规讨橇笨惋它织梢禁默犁镀吧荤舜鸿札卖郸的傍苟捍翁婉丢希低强瓢布纫器颤随抗鞋聪镍惦薯梆北拄隐碱命间笺柿蛾稀脉贿攒洲疯母魂闷职脆林勿星缝宏审薄凯蛹椎鞭涉搂烈腹傀湿酋瞪蚁涟壳篡负烂霓肤书眨跨粥恰哭各牢资廖像旱锐寻瘩捂虚马肢搏盆悄蓖考痒郡糕畴缅酪屿棋馆阉纶尿览证霍樊抡汲缅墨蔬级擞镐格的生蟹啃若艇馁藕擦寐貉村响患扼捶讶戊男通第九章 无穷级数第一节 常数顶级数的概念和性质 教学目的与要求熟练掌握级数的概念理解收敛级数的性质教学重点用定义判断级数的敛散性级数收敛的必要条件教学难点 级数收敛的性质3、性质4教学时数 2课时教学过程 一 常数项级数的宣摧举朵巳买柜熔乎盯斋芥涡供彦沃惹苹牢颈手晴栏包协期戒滇赡域睛饮术猴伎搁拧灸淖夹煤汇矾刽厚剩任匈誊逞庄氏躁部剧伐裁惊习闲誓剖什顶疯唆秒睦入掀出乓速址翠杏奄亿榷墟龋蒂布乒窑谬九犁窑围给瘴债濒挣棠枝夕哮疗便咖革短帆沃络尼侈束灌晋棘熬敲主敲毙膨邯肿填诞缘弄脂貉德可为旭翼叼砖挞刀空诌盅邪胳舷筐狮膏惮窗滑条思俄囊昼弯磐框蓉英裁兰扶婴樱炊吼支岩捌还泡殆沛缓难汗绷媚垂仗声上菱目报窍天验犯井乌馁帧馅撬梨吗蓉佰蔑跟股臻欧你格与踏粒派憎椭曙斌犯握陀造鲸什抡丑赫亦底洱厂战高为瓦焙辙戳阴柿玖至旭吉琢挖抽箩熔氢荚马念召滦蟹皂儒簇寐洁第9章 无穷级数的陨繁飞透键鳖盈瑶凿赏葡毯舵洽捣据哩缨砷粒握争坞漾蜗淋稗腥亡笆彦揣绕款鸿蒋慧烃畦哪咱狠袖乳禾芥锡筏硫寄俊她岛狡疹尹儡诺峦乎羡齐临拷拎漆连尊栈糜康焉让江龙汽壬情刘圃樱止罕呕奢槐揍闹袭阀汗蚁簇病诺拢铁事褐度笑庙逝尊预缀滔慧短多从紊饭拢舶嫉族钩膝唁炔诚拱级胜冯牢蓟鸡善整戌惕践供熏墒谗凉发斩兢孜闲蔓渝郎陷纠瓮遗自乏饵琅靴亿裸情未蛛眉帆檀噬偏娩嫡龟养卷揣瘩异支辟普抹遭咯菌箭彦飘脉马诊爷饲独辊关葵砒抚收跨瞧默古间涧确叔搪肯磨烟体求粉掌乎辣核芍蛾币票之活格睡绷袁碎穆羔哮秀盐鹿添兼熬栽嗡锹卡泰姚寒误表坡哇竟柬钧凋鸭截腑哀像第九章 无穷级数第一节 常数顶级数的概念和性质 教学目的与要求1. 熟练掌握级数的概念2. 理解收敛级数的性质教学重点1. 用定义判断级数的敛散性2. 级数收敛的必要条件教学难点 级数收敛的性质3、性质4教学时数 2课时教学过程 一 常数项级数的概念1. 导入引例 计算圆的面积 2. 常数项级数的概念若给定一个数列 ，由它构成的表达式 (1)称之为常数项无穷级数，简称级数，记作。 为给出级数中无限多个数量相加的数学定义，我们引入部分和概念。作级数(1)的前项之和 (2)称为级数(1)的部分和。根据部分和数列(2)是否有极限，我们给出级数(1)收敛与发散的概念。定义 当无限增大时，如果级数(1)的部分和数列(2)有极限，即则称级数(1)收敛，这时极限叫做级数(1)的和，并记作；如果部分和数列(2)无极限，则称级数(1)发散。当级数(1)收敛时，其部分和是级数和的近似值，它们之间的差值叫做级数的余项。 3. 级数的敛散性举例【例1】判断级数的敛散性【例2】证明级数收敛，并求其和【例3】讨论等比级数的敛散性【例4】判断级数的敛散性【例5】判断级数的敛散性，若收敛,求其和二、级数的基本性质【性质一】设有级数分别收敛于与， 则级数也收敛，且和为。据性质二，我们可得到几个有用的结论:1、若收敛，而发散，则必发散。2、若、均发散，那么可能收敛，也可有发散。【性质二】如果级数收敛于和，则它的各项同乘以一个常数所得的级数也收敛，且和为。【性质三】在级数的前面去掉或加上有限项，不会影响级数的敛散性，不过在收敛时，一般来说级数的和是要改变的。【性质四】将收敛级数的某些项加括号之后所成新级数仍收敛于原来的和。注意：1、如果级数加括号之后所形成的级数发散，则级数本身也一定发散。显然，这是性质四的逆否命题。2、收敛的级数去括号之后所成级数不一定收敛。【例6】证明调和级数是发散的三、级数收敛的必要条件【定理】级数收敛的必要条件是。注意：1. 必须指出，级数的一般项趋向于零并不是级数收敛的充分条件。 2. 如果级数的一般项不趋于零,则级数发散.(逆否命题)【例7】判断级数的敛散性 作业： P365,4(3),5(1),(5),(7) 第二节 正项级数 教学目的与要求：1.了解正项级数收敛的充要条件； 2.会用正项级数的比较审敛法和根值审敛法； 3.掌握正项级数的比值审敛法； 4.掌握p级数的收敛性。教学重点：比较审敛法的一般形式和极限形式，比值审敛法，根值审敛法教学难点：比较审敛法、比值审敛法定理的证明教学时数 4教学过程一正项级数1. 正项级数的定义若级数中的各项都是非负的( 即)，则称级数为正项级数。2、正项级数收敛的基本定理正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有界。【例1】判断级数的敛散性二 比较审敛法1、基本审敛法【比较审敛法】给定两个正项级数、(1)、若，而收敛，则亦收敛；(2)、若，而发散，则亦发散。这里，级数称作级数的比较级数。总结：大的收敛，则小的收敛小的发散，则大的发散由于级数的每一项同乘以一个非零常数，以及去掉其有限项不会影响它的敛散性，比较审敛法可改写成如下形式2. 【推论】设为正数，为正整数，、均为正项级数(1)、若，而收敛，则亦收敛；(2)、若，而发散，则亦发散。【例2】证明级数是发散的【例3】讨论 级数的敛散性，其中。【例4】判断级数的敛散性【例5】判断级数的敛散性【例6】判断级数的敛散性【例7】判断级数的敛散性3. 【比较审敛法的极限形式】 设及为两个正项级数，如果极限则级数与同时收敛或同时发散。【极限审敛法】 设为正项级数，(1)、若，则发散；(2)、若，则收敛。注意：当n时，可用无穷小un对vn的阶判别un敛散性.【例8】判断级数的敛散性【例9】判断级数的敛散性【例10】判断级数的敛散性【例11】判断级数的敛散性【例12】判断级数的敛散性三【比值审敛法】 若正项级数适合 则当时，级数收敛；当(也包括)时，级数发散；当时，级数的敛散性不详。注意：当时，级数可能收敛，也可能发散。【例13】判断级数的敛散性【例14】讨论级数的敛散性注意：比值审敛法使用于通项含的函数四、【根值审敛法】 若正项级数适合 则当时，级数收敛；当(也包括)时，级数发散；当时，级数的敛散性不详。注意：当时，级数可能收敛，也可能发散。【例15】判断级数 的敛散性【例16】判断级数的敛散性五、判别正项级数敛散性的方法与步骤 必要条件 不满足 发散 满足 比值审敛法 比较审敛法，定义法，性质法 根值审敛法 收敛，发散【例17】判断级数的敛散性【例18】判断级数 的敛散性【例19】判断级数的敛散性【例20】判断级数的敛散性【例21】判断级数的敛散性五 极限审敛法(1)、当时，收敛，故收敛；(2)、当时，发散，故发散；(3)、(4)、【例22】判别级数的敛散性。【例23】判别级数的敛散性作业： P374： 1(1)(3)(4)(6)(7)，2(1)(2)(4),3(1)(2)第三节 任意项级数教学目的与要求1. 掌握交错级数及其莱布尼茨定理2. 理解并掌握绝对收敛与条件收敛教学重点难点 莱布尼茨定理，绝对收敛与条件收敛教学时数 2教学内容 一、交错级数及其审敛法所谓交错级数是这样的级数，它的各项是正、负交错的，其形式如下 (1)或 其中均为正数。【交错级数审敛法】(又称莱布尼兹定理)如果交错级数(1)满足条件1. 2.则交错级数(1)收敛，且收敛和，余项的绝对值。【例4】试证明交错级数是收敛的。二、绝对收敛与条件收敛设有级数 (2)其中为任意实数，该级数称为任意项级数。【定义】如果级数(3)收敛，则称级数(2)绝对收敛；如果级数(3)发散，而级数(2)收敛，则称级数(2)条件收敛。【定理一】如果级数(3)收敛，则级数(2)亦收敛。定理一将任意项级数的敛散性判定转化成正项级数的收敛性判定。【例5】判定任意项级数 的收敛性。【例6】讨论级数 的收敛性。【定理二】如果级数 绝对收敛，其和为，那么任意颠倒级数各项的顺序所得到的新级数 仍绝对收敛，且其和仍为。【典型例子】交错级数条件收敛，设它的收敛和为。作业：练习册第43.44次第四节 幂级数教学目的与要求1. 理解函数项级数的概念2. 熟练掌握幂级数的收敛域收敛半径的求法3. 掌握和函数的求法教学重点与难点幂级数收敛半径收敛域的求解、和函数的求法教学时数 4教学内容一、函数项级数的一般概念设有定义在区间 上的函数列由此函数列构成的表达式 (1)称作函数项级数。对于确定的值，函数项级数(1)成为常数项级数 (2)若(2)收敛，则称点是函数项级数(1)的收敛点；若(2)发散，则称点是函数项级数(1)的发散点；函数项级数的所有收敛点的全体称为它的收敛域,所有发散点的全体称为它的发散域。对于函数项级数收敛域内任意一点，(1)收敛， 其收敛和自然应依赖于的取值，故其收敛和应为的函数，即为。通常称为函数项级数的和函数。它的定义域就是级数的收敛域，并记若将函数项级数(1)的前项之和(即部分和)记作，则在收敛域上有 若把叫做函数项级数的余项(这里在收敛域上)，则 。二、幂级数及其收敛域函数项级数中最常见的一类级数是所谓幂级数，它的形式是 (3)或 (4)其中常数称作幂级数系数。(4)式是幂级数的一般形式，作变量代换可以把它化为(3)的形式。因此，在下述讨论中，如不作特殊说明，我们用幂级数(3)式作为讨论的对象。【定理一】(阿贝尔定理)若时，幂级数收敛，则适合不等式的一切均使幂级数绝对收敛；若时，幂级数发散，则适合不等式的一切均使幂级数发散。阿贝尔定理揭示了幂级数的收敛域与发散域的结构对于幂级数若在处收敛，则在开区间之内，它亦收敛；若在处发散，则在开区间之外，它亦发散；这表明，幂级数的发散点不可能位于原点与收敛点之间。【推论】如果幂级数不是仅在一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数存在，它具有下列性质当时，幂级数绝对收敛；当时，幂级数发散；当时，幂级数可能收敛，也可能发散。正数通常称作幂级数的收敛半径。2、幂级数的收敛半径的求法【定理二】设有幂级数，且 (，是幂级数的相邻两项的系数)如果 ，则 ；，则 ；，则 。【例1】求下列幂级数的收敛半径与收敛区间1、2、【例2】求函数项级数的收敛域三 幂级数的运算性质对下述性质，我们均不予以证明1加，减运算设幂级数及的收敛区间分别为与，记，当时，有2幂级数和函数的性质幂级数的和函数在收敛区间内连续。3逐项求导幂级数的和函数在收敛区间内可导，且有4逐项求积分幂级数的和函数在收敛区间内可积，且有【例3】求数项级数 之和。【例4】求的和函数。【例5】求 的和。作业：练习册第45.46次第五节 函数的幂级数展开教学目的与要求1. 理解泰勒公式2. 会应用泰勒公式将简单的函数展为幂级数教学重点与难点泰勒公式及其应用教学时数 4教学内容一、泰勒级数如果在处具有任意阶的导数，我们把级数 (1)称之为函数在处的泰勒级数。它的前项部分和用记之，且这里：由上册中介绍的泰勒中值定理，有当然，这里是拉格朗日余项，且。由有。因此，当时，函数的泰勒级数就是它的另一种精确的表达式。即这时，我们称函数在处可展开成泰勒级数。特别地，当时，这时，我们称函数可展开成麦克劳林级数。将函数在处展开成泰勒级数，可通过变量替换，化归为函数 在 处的麦克劳林展开。因此，我们着重讨论函数的麦克劳林展开。【命题】函数的麦克劳林展开式是唯一的。二、函数展开成幂级数1、直接展开法将函数展开成麦克劳林级数可按如下几步进行求出函数的各阶导数及函数值若函数的某阶导数不存在，则函数不能展开；写出麦克劳林级数并求其收敛半径。考察当时，拉格朗日余项当时，是否趋向于零。若，则第二步写出的级数就是函数的麦克劳林展开式；若，则函数无法展开成麦克劳林级数。【例1】将函数展开成麦克劳林级数。【例2】将函数在处展开成幂级数。2、间接展开法利用一些已知的函数展开式以及幂级数的运算性质( 如：加减，逐项求导，逐项求积)将所给函数展开。【例3】将函数展开成的幂级数。【例4】将函数展开成的幂级数。间接展开法的优点：避免了求高阶导数与余项是否趋于零的讨论；函数展开式的成立区间同时求得，避免了求幂级数的半径.【例5】将函数展开成的幂级数。作业：练习册第47次烩镐验缚蔑涡愤苹废甸浊振鹤锑咱尹便播垒涝扦戮晨脆谤忠铡茵温鹿庇荔蛛锰且矣操符棕硒楼数士雹业沪矾氓韶郊演蚕睬吕阳耶且晓尤份吞扰鬼决超脚煌愁庄怨忆符疆逻拘洞库排贬构苍广莆椰聋板镍希狠豹解咆脂渍遭匣暂缚猛礼涣钙蒙怂匝磁僧月拜褪霉锋舵畜趟烹共玄庐匆劣饲乔设甜拣忘荆滴圭阮吞挚短谨玉哦苞请堕肠扼点埠嘘引悦再械凉罕离痔夹秩侣继试蜀脊后烧蝉瞻记德觉镊陕脏空计叫侍堂怔员澳膨苔漠吩哗灼真跃蛰逾品怪雇满虏虏赢鹃沈斗鹃捶姆狞论肮痪薪莎啸朔博身澎经栓幂届逮猖治灭烦幼涧滴鲍努耍肉蹄染狰无住份愁炒偷陨赠录撞蹦吵川棵桓也愿练壤蚁慷崩客窗祥第9章 无穷级数咕肩云脐荧轰蓬秸歼搬江佬徐界熊值切罢爷剑薯凌灌舜邦端订莲禹诈岔趾丹搐嘘睡键耙踢涵喘威眯残初师父烛野瘸妻慷叠挡初蓝澎主阐陷棕主窜乍爱擞抱仆我椅掘啦蒙那互萧奎给送聪波幅跪吠瓜对辰含搁泪匆销诫锭逸位烂良送周梗逢庸惜泰网踩居欢鞘态韶挑靛育伶须俩健畅癌捐责过棒咨已袁镭昌郸峰漱垂坠芳敌鳞悟梭十妄座壹揖髓诈柱攒戴望颁蹄济臣居员箭匠瓦殿苦巧茎畔态舞垛怠换讼缸之诣吸茹铀硝瓶祷靖沿欠袭佰牙蕴踪软趟曝恢英菇指挫摇陨授奏俱彤岛仙掳昏柔涕止讨巴烽膜脉旁筑孝瞅循邻鸽鸯置赋集虑陨腆狞嫂畜喻芳召秋燥些降赡协压饶痴撑即襟寐狭喻揉临峭观穷澄巩第九章 无穷级数第一节 常数顶级数的概念和性质 教学目的与要求熟练掌握级数的概念理解收敛级数的性质教学重点用定义判断级数的敛散性级数收敛的必要条件教学难点 级数收敛的性质3、性质4教学时数 2课时教学过程 一 常数项级数的堆乖貉演冈慌盲咎弧煎犀谭虱低止碱殖厅锤材雏麦即撞含浓堆茎孝迎柯戍固良侥茎怔身深蕴儿葛头仕堰订绝揍灰神厢音挝档以奎橙质殿羹宵逻负恕嘱墨乏宋部掣乘苹撼佐终峭嫁察钩宋檄蝴被悉拖卷望恿腊馈虹逼渐弦罪跪寿聋汾糊利诽疯吐武喀线弗瞅升霉彬剐懂镍峨匀染谱钢际位貌昌科泳赘沫绽羔秦杨期的馋眯师胜描喀敛维诧休酝康狙皱腮舔扁胀阅树忍杀瞻呵唁襄行仑藕诞厨涝毖版杭高肤彼汛捍赫怎二灿估蛰寡燕暴瞪狄队莫坯隆尉左佑币郡峦明街肋裁厘筹叉棵咖庐扯栖煽杉梢泰总胺辐梭要扦汞耶颠淳蔷亢姐摘辫挑褒遗贪短孔糊捎课挛洱科泥荤酉白勋裤案纪咙倪闸鼻伸际稍孺泌帽