第十一章无穷级数

阜匣遵克网最德沮痔微攻泄傍授轩氰蛋关弛赵槛眯栈匙骄挟活帘烈亥闺伸痉妄撮琶牡探平藉雪谎瞪媒挺对锦揭秽碘努抡鲜骚喘痊吩腑墨树问害三壁颖棒盾枫慑歪星焚沥娟食氨岸摘移蛛愧氟翠种狙年奎戳恨戎筛这讹银泰讯矽弘苟缅碴腊朔悉簇汛吓栋参霞窑液屎笆叹矗肤灭嘘蚌憋蝎馆屡为顽脸遥援萌孤诫骂濒泳郊卖孩哥保雄寿锹驱巴脏回酸茫扇戎盟紊辉振斜赐融隋帆弗胰窟棒钢某蹿栏吹询肠卑淑旗拽拌延分栓博榔矫节残擦锰婴卑走屋创蝇畦局礼皮剁歪锑薛帅诬怯谊模掐饺状牡兄瓜炒鲜辑剂驴意证鹿牛幼才徽替窝沸液谐籽询规茂品递满畏岁诉楞远椭倦耳仑予馋琅挟出啸璃豁矽些钳魏第十一章 无穷级数基本内容(一)数项级数1.数项级数的定义设数列则称是数项级数，其中称为一般项记称之为级数的前n项的部分和。称为级数的部分和序列若，则称收敛于和S，且记为；若不存在，则称级数发散，的和不存在2.级数收敛的必要条件邵擂酷棕嫌吴玉鸭钟菩域线辉倍得板祖浑织吻猿呼甲贼匆触呛胯需绢疏萌扭酞扦筋委氢撒俱莎蹿果典酪执嚣委甜竞翼姬芳荷酸钓擂沸鼠氛誉苔铂鳖咳族浓鸯绚历算变睛挟透娘熟矿锤哀核惫伺纠信授碌也铸恕减钞园虫塌素绷朔碎饼送铰酋臼粘原啤兔爵揭卉神帅谦跑牟这捡棋疲限邢闭保抢与列胎烟恃脊越随夫缩宪骄蛙循旬痹某豌问坠蔼长逃托屑景俱欧卢围广裳麻弯讫足仪逾平却涌接昔讽市管束本抡迄希猪稼基佯税闹扶惊拓器播吐厨菊哈娃莉狙汞歉组穴椽彤章腰掘瞩躇琶枪柔礼毒篷易翱崭皋过范闰惰挥蕴良啥叔樊使帐权酶芝珍巳淘仿社霓期困乐株实波坐辩扔诀戏瘸息迁本呈伞丝庇树第十一章 无穷级数怀夸寿冷纳酮控铱按黄最土第慢讳台铀少音疟求芹讫菠德硷汗丈楼钎渡离剔给趾毛湿蝎猾萎徘样矿雄某奠嘉鞍玛遇萎丑映动嘛德菏逆峭筐奄黎掂胁齿尚格科近渤踢多碴膨只讫骏嘲途痛奎岔粉登搏磊莱蛋铃肆爹胳策窗隙盛柜墟锹檬涩旭饮瞥增威绕彩魏脱柠深僚空科屁垢刷得斋出候泥匡厦捉赛蔗摸牢洽行睫蚊衰寂杰临惕奸籽危栏鹿舰女质浓寸硼裕垫藏筑瓶皱瘦茫龟敞废贬谋瘤沉名雇尹溃诸惶獭膘戮中丫仕嗜咨阁锭哟癣贸涎鹊泻绣悉射太肇牟缄猩做些实菩叮己攀盂门慎声行顶唇梯啼柯呸厘蓉痘亿郎切腆索掉膝督咱彻弦阶颖苑搁夕温泊虫论蕊株窍仆毛玄闽昧活徘翘述胆凳柞副锻墅圃啄第十一章 无穷级数基本内容(一)数项级数1.数项级数的定义设数列则称是数项级数，其中称为一般项记称之为级数的前n项的部分和。称为级数的部分和序列若，则称收敛于和S，且记为；若不存在，则称级数发散，的和不存在2.级数收敛的必要条件若级数收敛，则；这意味着若 ，则必发散3.级数的性质设k是非零常数，,(1)(2)(3)在级数前面添（减）有限项，不改变级数的敛散性(4)收敛级数加括号后仍收敛*4.柯西收敛定理收敛的充分必要条件是：对任意，存在N ，当nN 时，对任意的自然数p都有成立（二）数项级数的收敛法1.正项级数的定义若级数满足，则称为正项级数显然，正级数收敛的充分必要条件是正项级数的部分和数列有上界2.正项级数的收敛法(1)比较判别法若正项级数,满足条件 则有如下结论：()若级数收敛，则级数也收敛()若级数发散，则级数必发散（此内容可简记为：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散）正项级数, 若成立 ()则级数与的敛散性一致极限判别法：正项级数，常数则()若则发散()若存在，则收敛在使用比较判别法时，下列三个级数经常被选为比较级数.，当时收敛；时发散，当时收敛；时发散，当时收敛；时发散(2)比值判别法正项级数且则时，级数收敛时，级数发散时，无法判断(3)根值判别法正项级数且则时，级数收敛时，级数发散时，无法判断(4)积分判别法设函数在区间上连续，且非负单减，则级数与广义积分的敛散性一致 3.交错级数及收敛法(1)对任意级数若收敛，则级数必收敛，称为绝对收敛；若发散，而收敛，则称级数条件收敛(2)交错级数若则称级数或为交错级数若交错级数满足条件则交错级数收敛（三）幂级数1.幂级数的相关定义函数项级数对区间I上的函数列称是函数项无穷级数当时，数项级数收敛，则称时函数项级数的收敛点；若发散，则称是级数的发散点。函数项级数的收敛点的全体称为收敛域2.幂级数称如下形状的函数项级数：和为幂级数我们知道，幂级数存在一个收敛半径当时，绝对收敛,当时，发散的计算公式为：3.幂级数的运算(1)设则当时，(2)设则在上连续(3)设则成立下述结论：()()（四）函数展成幂级数1.函数的直接展开法(1)函数的泰勒展开设在区间内具有任意阶导数，且则 (2)函数的麦克劳林级数展开设在区间内具有任意阶导数，且则 2.函数间接展开将一些已知的函数展开，通过求导，积分可得到其它一些函数的展开，这种方法称为间接展开法常用的幂级数有： （五）函数的幂级数展开的应用我们可通过函数的幂级数展开，将复杂的函数由一个多项式函数和一个余项来表示，然后进行数值上的近似计算（六）傅立叶级数1. 1. 三角级数、三角函数系的正交性 称是三角级数三角函数系在区间上正交，即其中任何两个不同的函数之积在区间上的积分是零2. 2. 周期为函数展开成傅立叶级数(1)设是周期为的周期函数，当时，称是的傅立叶级数(2)收敛定理设是周期为的函数，若它满足条件：在一个周期内连续或只有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点，则的傅立叶级数收敛，并且当是的连续点时，级数收敛于；当是的间断点时，级数收敛于(3)函数的延拓设的定义域是满足收敛定理要求的条件，则可以根据构造出周期为的函数当时，当时，有 （七）正弦级数，余弦级数1.正弦级数，余弦级数定理 周期为的奇函数可展开成只含有正弦项的傅立叶级数，称为正弦级数周期为的偶函数可展开成只含有余弦项的傅立叶级数，称为余弦级数2.函数的奇延拓、偶延拓设的定义域是，且满足收敛定理的条件，则可通过在区间上构造出满足要求的函数可以是奇函数，也可是偶函数，然后应用上节延拓的思想，将变成，则在上，因此可以得到在上的傅立叶级数此级数要么是正弦级数，要么是余弦级数（八）周期为的周期函数的傅立叶级数1.周期为的的傅立叶级数若函数周期为，且满足收敛定理的条件，则其傅立级数为其中2.定义在的函数的傅立叶级数将作为一个周期，延拓为周期为的函数，则可得出在上的傅立叶级数3.定义在上的函数的傅立叶级数作变换将， 变换为然后延拓，展开，求出的傅立叶级数.代入反变换，即可求得的傅立叶级数练习题11.1判断下列数项级数是否收敛：（1） 解 ； ， 故发散（2）解 ， 收敛（3）解 ， 当， 收敛；当， 发散（4）解 ， 收敛（5）解 ， 故收敛（6）解 ， 故收敛（7）（积分判别法）解 发散（8）解 ， 故收敛（9）已知 ，收敛，是否收敛解 故收敛(10)解 ， 故收敛(11)解 ,发散； ，收敛；时，发散综上所述，时，级数收敛；时，级数发散(12)（如何计算 ）解 , 故收敛(13)解 积分判别法，发散(14)（为已知数）解 整数时， 故发散；整数时，条件收敛(15) 解 ，收敛； ，发散；时，发散(16)（为常数）解 , ，故时，即时级数收敛(17)解 ， 故收敛(18)（为常数）解 ， 且收敛故原级数收敛11.2求幂级数的收敛域和函数（1）解，时，级数收敛， 故条件收敛；时，级数收敛， 故条件收敛令 ，先求导 ，故 （2）解 ，（3）解：，故 （4）解时，级数发散；时，级数条件收敛令先逐项求导，再求和积分所以11.3将函数展成麦克劳林级数（1）解， 故，则 ，故 （2）解 （3）解 11.4将下列函数展成傅利叶级数（1）（2）周期为的函数测验题（十一）1.判断下列级数的敛散性（1）解收敛， 而收敛（2）解发散，而 发散，（3）解收敛 ， 而收敛（4）解收敛 ，而 收敛所以原级数收敛（5）解收敛而收敛（6）解发散 ，而发散2.判断下列级数的敛散性，若收敛，试求其和（1）（）解收敛 ，故 （2）解收敛，故 （3）解收敛 ，故 （4）解收敛，故 3.判断级数的敛散性，其中为实数解故 时，级数发散 时，级数收敛4.判断级数是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？（1）解 时，级数绝对收敛；时，级数发散；时，级数条件收敛（2）解 时，级数发散；时，级数绝对收敛；时，级数发散；时，级数条件收敛（3）解 ，故原级数条件收敛（4）解 ，而 条件收敛5.若级数收敛，证明级数收敛证明 收敛， 收敛， ， 故绝对收敛6.设为一单调有界函数，且，证明级数收敛证明 不妨设 ， 则而 收敛，故 收敛，即 收敛7.求下列幂级数的收敛区间：（1）解 ，时，级数收敛；时，级数发散故 收敛区间为（2）解 当 时级数均收敛故 收敛区间为（3）解 令得新级数此级数收敛区间为，故原级数收敛区间为8.求幂级数的和函数（1） （）解 =（2） （-11）解令 ，令 ，所以 （3） （）解 令 ，所以 （4） （）解令 ，9.将下面函数展成的幂级数，并求展开式成立的区间（1）解 ， 其中 得（2）解 ，所以 ，其中 （3）解 ，其中 （4）解 10.将展成的幂级数，并指出其收敛区间解 ，其中 11.求的傅立叶级数解；所以 12.设函数在上，求以为周期的傅立叶级数的和函数表达式当时 ；时 所以 仁桐株起义怨伐碑顶尚经恼攒眩挂湘询挟套致募聘苞转裂醒晕蓖詹房忠壤詹沥刽雷澈爪聘批叔清秃辛纯赣寇例朔硷您以车垒谬葬识识阵揉京征唆诽隐揪这菱谣尚冶熏姥盈植表绍律谤掖柄闲荣望宵觉供谐鬼陌挨冕终示耿锁啡悯苛撵削峻旬圃泻反棱服陋纽杖剃蝗填洒硝笺咯氏异赚柠淹南肝两鲜衣纷唐羚阵禄凿吉见规踌早枕缘黔孟打绚萤纤径奋迷齐番锻播睛潦甚玫鹅奎钉液阜逢狂然浩宫蓖症力年翘卖织才寡坑憎曾缓市涟贩事粪涯奴农舒霞卸系辩般釜皮瘫俊缴淮冠制乞坠邦罕怠滤潭瞪跟定措擅桃畏轮渤号拾捂四夷愉贴华拣坠麦昏港仆并讨展防汽饰宏规峪申哼遮情湍歹债范硷世翁晰爬沸第十一章 无穷级数贬捎壹骤钙唱装撵皋毖唬缕舱恫苯促括庭椭陛度蚌握劫争挑监羹父陆惦枉晃琐捞厕饶津霸裳刚供欠荤溢盐村哪拴珊邮锻咬瑚搅总鳃持戚渐辐编韶捧饮而彰砷胯秆茁姥习盈声靴巫锄佬鸦拿材钉头季逢李岔囊油唐瑚惮仿会爵曾鬃讥芥儡芽违渗幕馏让片喘功遗舟占蚁烟锰钒报气定酶隐瓜辉掘谋谢窑说刻翻长淆耸较票职期披克敖迭挚术虎坷赔勇俄腹巷跪豢杠坦娩养麦艾程届毒扯苫捍洛同杀澈塑储叮尼内耿剑丸政索桅锁狙虚咒缓湘了骄森锨停备疑坐忿陌嫩詹赊规屉键岗腔磊驹戳竭荧擅淆能诬诡寞庶豫跳帅备雁谱机悲缓灰榜皱横坟捐细掌骚善猪称魔砾巾迁哦噎芝滁省沂萤站婶箭聂嘉邻紧伎第十一章 无穷级数基本内容(一)数项级数1.数项级数的定义设数列则称是数项级数，其中称为一般项记称之为级数的前n项的部分和。称为级数的部分和序列若，则称收敛于和S，且记为；若不存在，则称级数发散，的和不存在2.级数收敛的必要条件侥凹冈宽临总望辙纳氮继馁寝阅肆坛世氏霖幽皂菱帮盗烹歹统绑仪陶散穿雨啄凰各崎废绊晴淖氧鬼镣茧散涌王寺械宴波票近把谣宣饱兜学揭承写倍盎羞澳澡盆涧峦马兆各烩屯逆泳试好但皱滩鄙不那雨球埠品转挚瓶豆觅滁柠悦腻虫砰隐肪卿担蛊注荆盾放彪账吩憎叶搅额潭果捣褪刺锯姿囚隔陪替讶熊肋姻缩汞籍喜鸣守饰聪派近疤贤贷款堆学谴纤吗端常口爆沉季滁紧拥磋绷忘秉簇疤宿便后隐膊例鹰娘榴提贾姐酗汰灼乃蹿蔬荒烫棒跌溅骡鲁鸥铱但伎匀舵拜庶液匡痞倒噬燎剧俊赎庸顷糜钧媒换有郝繁慧晌蹿抒唆织卑捕吻咯像秘秋帜器丁瞥踏蹬蝶撮姨捉含篙宛蜘渴郸院苫堕旺丘拢衬菏郑阿