重庆市 中考数学一轮复习第三章函数第5节二次函数的综合应用练习册

2019届数学中考复习资料第5节二次函数的综合应用课时1与线段、周长有关的问题(建议答题时间：40分钟)1. (2017滨州)如图，直线ykxb(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(4，0)、B(0，3)，抛物线yx22x1与y轴交于点C. (1)求直线ykxb的函数解析式；(2)若点P(x，y)是抛物线yx22x1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；(3)若点E在抛物线yx22x1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CEEF的最小值第1题图2. (2017宁波)如图，抛物线yx2xc与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连接AB，点C(6，)在抛物线上，直线AC与y轴交于点D. (1)求c的值及直线AC的函数表达式；(2)点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连接PQ与直线AC交于点M，连接MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点求证：APMAON；设点M的横坐标为m，求AN的长(用含m的代数式表示)第2题图3. (2017东营)如图，直线yx分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，ACB90，抛物线yax2bx经过A、B两点(1)求A、B两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MHBC于点H，作MDy轴交BC于点D，求DMH周长的最大值第3题图4. (2017武汉)已知点A(1，1)，B(4，6)在抛物线yax2bx上(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点F的坐标为(0，m)(m2)，直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H，设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH，AE，求证：FHAE；(3)如图，直线AB分别交x轴，y轴于C，D两点，点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒 个单位长度，同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM2PM，直接写出t的值第4题图课时2与面积有关的问题(建议答题时间：40分钟)1. (2017深圳)如图，抛物线yax2bx2经过点A(1，0)，B(4，0)，交y轴于点C. (1)求抛物线的解析式(用一般式表示)；(2)点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D，使SABDSABC，若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；(3)将直线BC绕点B顺时针旋转45得到BE，与抛物线交于另一点E，求BE的长第1题图 2. (2017盐城)如图，在平面直角坐标系中，直线yx2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线yx2bxc经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B. (1)求抛物线的函数表达式；(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，CDE的面积为S1，BCE的面积为S2，求的最大值；过点D作DFAC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得CDF中的某个角恰好等于BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由3. (2017海南)抛物线yax2bx3经过点A(1，0)和点B(5，0)(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)该抛物线与直线yx3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PMy轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N.连接PC、PD，如图，在点P运动过程中，PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由连接PB，过点C作CQPM，垂足为点Q，如图， 是否存在点P，使得CNQ与PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由第3题图4. (2017重庆南开一模) 已知抛物线yx2x4交x轴于点A、B，交y轴于点C，连接AC、BC. (1)求交点A、B的坐标以及直线BC的解析式；(2)如图，动点P从点B出发以每秒5个单位的速度向点O运动，过点P作y轴的平行线交线段BC于点M，交抛物线于点N，过点N作NKBC交BC于点K，当MNK与MPB的面积比为12时，求动点P的运动时间t的值；(3)如图，动点P 从点B出发以每秒5个单位的速度向点A运动，同时另一个动点Q从点A出发沿AC以相同速度向终点C运动，且P、Q同时停止，分别以PQ、BP为边在x轴上方作正方形PQEF和正方形BPGH(正方形顶点按顺时针顺序)，当正方形PQEF和正方形BPGH重叠部分是一个轴对称图形时，请求出此时轴对称图形的面积第4题图课时3与三角形、四边形形状有关的问题(建议答题时间：40分钟)1. (2017菏泽)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B(4，0)，与过A点的直线相交于另一点D(3，)，过点D作DCx轴，垂足为C. (1)求抛物线的表达式；(2)点P在线段OC上(不与点O、C重合)，过P作PNx轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，连接CM，求PCM面积的最大值；(3)若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由第1题图2. (2017广安)如图，已知抛物线yx2bxc与y轴相交于点A(0，3)，与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x1.(1)求此抛物线的解析式及点B的坐标；(2)动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒当t为何值时，四边形OMPN为矩形；当t0时，BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t值；若不能，请说明理由第2题图3. (2017潍坊)如图，抛物线yax2bxc经过平行四边形ABCD的顶点A(0，3)、B(1，0)、D(2，3)，抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F.点P为直线l上方抛物线上一动点设点P的横坐标为t.(1)求抛物线的解析式；(2)当t何值时，PFE的面积最大？并求最大值的立方根；(3)是否存在点P使PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由4. (2017重庆九龙坡区模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2x与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C. (1)判断ABC的形状，并说明理由；(2)在抛物线第四象限上有一点，它关于x轴的对称点记为点P，点M是直线BC上的一动点，当PBC的面积最大时，求PMMC的最小值；(3)如图，点K为抛物线的顶点，点D在抛物线对称轴上且纵坐标为，对称轴右侧的抛物线上有一动点E，过点E作EHCK，交对称轴于点H，延长HE至点F，使得EF，在平面内找一点Q，使得以点F、H、D、Q为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q的对角线所在的直线是对称轴，请问是否存在这样的点Q，若存在，请直接写出点E的横坐标；若不存在，请说明理由第4题图 课时4二次函数的实际应用(建议答题时间：20分钟)1. (2017临沂)足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表：t01234567h08141820201814下列结论：足球距离地面的最大高度为20 m；足球飞行路线的对称轴是直线t；足球被踢出9 s时落地；足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m其中正确结论的个数是()A. 1 B. 2 C. 3 D. 42. (2017金华)甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分如图，甲在O点正上方1 m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式ya(x4)2h.已知点O与球网的水平距离为5 m，球网的高度为1.55 m.(1)当a时，求h的值，通过计算判断此球能否过网；(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7 m，离地面的高度为 m的Q处时，乙扣球成功，求a的值第2题图3. (2017扬州)农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：销售价格x(元/千克)3035404550日销售量p(千克)6004503001500(1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？(3)若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元(a0)的相关费用，当40x45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a值(日获利日销售利润日支出费用)答案课时1与线段、周长有关的问题1. 解：(1)直线ykxb经过点A(4，0)，B(0，3)，解得，直线的函数解析式为yx3；(2)如解图，过点P作PMAB于点M，作PNy轴交直线AB于点N.第1题解图PNMABO，AOBNMP90，AOBPMN，OA4，OB3，AB5，PMPN，点P是抛物线上的点，PNy轴，P(x，x22x1)，N(x，x3)，PNx3(x22x1)x2x2(x)2，PMd(x)2，当x时，PM取得最小值，此时P点坐标为(，)；(3)抛物线yx22x1与y轴交于点C，C(0，1)，对称轴为直线x1，如解图，作点C关于对称轴的对称点G，则G点坐标为(2，1)，点G到直线AB的距离即为CEEF的最小值，最小值为d(2)2.2. (1)解：把点C(6，)代入抛物线解析式可得9c，解得c3，yx2x3，当y0时，x2x30，解得x14，x23，A(4，0)，设直线AC的函数表达式为：ykxb(k0)，把A(4，0)，C(6，)代入ykxb中得，解得，直线AC的函数表达式为：yx3；(2)证明：由(1)易得OA4，OB3，OD3，在RtAOB中，tanOAB.在RtAOD中，tanOAD.OABOAD，在RtPOQ中，M为PQ中点，OMMP，MOPMPO，MOPAON，APMAON，APMAON；解：如解图，过点M作MEx轴于点E.又OMMP，OEEP，点M横坐标为m，AEm4，AP2m4，tanOAD，cosEAMcosOAD，AMAE，APMAON，AN.第2题解图3. 解：(1)直线yx与x轴交于点B，与y轴交于点C，令x0得y，令y0得x3，点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，)tanCBO，CBO30，BCO60，ACBC，ACO30，AOCOtanACO1，点A的坐标为(1，0)；(2)抛物线yax2bx经过A，B两点，解得，抛物线的解析式为yx2x；(3)MDy轴，MDHBCO60，MHBC，HDMD，MHMD.DMN的周长为(1)MD.设点D的坐标为(t，t)，则点M的坐标为(t，t2t)，点M在直线BC上方的抛物线上，MD(t2t)(t)t2t(t)2.0t3，当t时，MD有最大值，且MD的最大值为，DMH周长的最大值为(1).4. (1)解：将点A(1，1)，B(4，6)代入yax2bx中，解得，抛物线的解析式为yx2x；(2)证明：A(1，1)，F(0，m)直线AF的解析式为：y(m1)xm.联立，得x2(m)xm0.A、G为直线AF与抛物线的交点，xAxG2m1，xG2m1(1)2m，H(2m，0)，直线HF的解析式为：yxm.由抛物线解析式易得E(1，0)，又A(1，1)，直线AE的解析式为：yx，直线HF与直线AE的斜率相等，HFAE；(3)解：t的值为或或或.【解法提示】由题意知直线AB解析式为yx2，C(2，0)，D(0，2)，P(t2，t)，Q(t，0)直线PQ的解析式为yx，设M(x0，y0)，由QM2PM可得：|tx0|2|x0t2|，解得：x0t或x0t4.(i)当x0t时，代入直线PQ解析式得y0t.M(t，t)，代入yx2x中得：(t)2(t)t，解得t1，t2； (ii)当x0t4时，y02t.M(t4，2t)，代入yx2x中得：(t4)2(t4)2t，解得：t3，t4.综上所述，t的值为或或或.课时2与面积有关的问题1. 解：(1)将点A(1，0)，B(4，0)代入yax2bx2中，得，解得，抛物线的解析式为yx2x2；(2)存在，点D的坐标为D1(1，3)，D2(2，3)，D3(5，3)【解法提示】如解图，过点D作DMAB于点M.设D(m，m2m2)(m0)，则DM|m2m2|.A(1，0)，B(4，0)，AB5.抛物线交y轴于点C，yx2x2中，令x0，有y2，C(0，2)，OC2.OCAB，SABCABOC5，第1题解图又SABDSABC，DM|m2m2|OC3，当m2m23时，解得m11，m22，此时D1(1，3)，D2(2，3)；当m2m23时，解得m32(舍去)，m45，此时D3(5，3)综上所述，点D的坐标为D1(1，3)，D2(2，3)，D3(5，3)(3)如解图，过点C作CFBC交BE于点F，过点F作FHy轴于点H，过点E作EGx轴于点G.第1题解图CFBC，CBF45，BCF是等腰直角三角形，且BCCF，OCBFCH90，又FHy轴，CFHFCH90，OCBCFH，而BCCF，BOCCHF(AAS)，又B(4，0)，C(0，2)，CHOB4，FHOC2，OH6，F(2，6)设BE的解析式为ykxc，将B(4，0)，F(2，6)代入ykxc，得，解得，BE的解析式为y3x12.联立抛物线和直线BE的解析式，得，解得(舍去)，E(5，3)，EGx轴，BG1，EG3，在RtBEG中，BE.2. 解：(1)据题意得，A(4，0)，C(0，2)，抛物线yx2bxc过A、C两点，抛物线的函数表达式为yx2x2；(2)令y0，x2x20，x14，x21，B(1，0)，如解图，过D作DMx轴交AC于M，过B作BNx轴交AC于N， 第2题解图DMBN，DMEBNE，设D(a，a2a2)，则M(a，a2)，DMa2a2(a2)a22a，在yx2中，令x1，则y，BN，B(1，0)，N(1，)，(a2)2，当a2时，取最大值为；如解图，第2题解图 A(4，0)，B(1，0)，C(0，2)，AC2，BC，AB5，AC2BC2AB2，ABC是以ACB为直角的直角三角形，取AB中点P，并连接CP，P(，0)，PAPCPB，CPO2BAC，tanCPOtan(2BAC)；情况1：过D作x轴的平行线，交y轴于R，交AF延长线于G，则DGCBAC，若DCF2BAC，即DGCCDG2BAC，CDGBAC，tanCDGtanBAC.即，设D(d，d2d2)，DRd，RCd2d，d10(舍)，d12，xD2；情况2：如解图，过A作AQDF，交CD延长线于点Q，过Q作QHx轴于点H，若FDC2BAC，即AQC2BAC，tanAQC，AQ，QHAAOC，第2题解图 AH，HQ3，Q(，3)，又C(0，2)，易求直线QC的解析式为yx2，联立得，x2x0，x10(舍去)，x2，xD，综上所述，D点的横坐标为2或.3. 解：(1)抛物线yax2bx3经过点A(1，0)和点B(5，0) ，解得，该抛物线对应的函数解析式为yx2x3；(2)点P是抛物线上的动点，且位于x轴下方，可设点P(t，t2t3)(1t5)，PMy轴，分别与x轴和直线CD相交于点M、N，M(t，0)，N(t，t3)点C，D是直线与抛物线的交点，令x2x3x3，解得x10，x27.当x0时，yx33，当x7时，yx3.点C(0，3)，D(7，) 如解图，分别过点C和点D作直线PN的垂线，垂足分别为E，F，第3题解图则CEt，DF7t，SPCDSPCNSPDNPNCEPNDFPN(CEDF)PN，当PN最大时，PCD的面积最大PNt3(t2t3)(t)2，当t时，PN取最大值为，此时PCD的面积最大，最大值为7；存在. CQNPMB90，当或时，CNQ与PBM相似CQPM，垂足为点Q，Q(t，3)且C(0，3)，N(t，t3)，CQt，NQ(t3)3t.P(t，t2t3)，M(t，0)，B(5，0)BM5t，PMt2t3.情况1：当时，PMBM，即t2t3(5t)，解得t12，t25(舍去)，此时，P(2，)；情况2：当时，BMPM，即5t(t2t3)，解得t1，t25(舍去)此时，P(，)综上所述，存在点P(2，)或者P(，)，使得CNQ与PBM相似4. 解：(1)令y0，则x2x40，解得x4或3，点A坐标(3，0)，点B坐标(4，0)，设直线BC解析式为ykxb，把B(4，0)，C(0，4)代入得 ，解得 ，直线BC解析式为yx4；(2)如题图，PNOC，NKBC，MPBMKN90，PMBNMK，MNKMBP，MNK与MBP的面积比为1：2，BMMN，OBOC，PBM45，BMPB，MNPB，设P(a，0)，则MNa2a4a4a2a，BP4a，a2a4a，解得a3或4(舍去)，PB1，t；(3)如解图中，过F作FRx轴于R，交GH于T，当轴对称图形为筝形时，PFPG，GMFM，BPPGAQ，PQPF，AQPQ5t，过点Q作QNAP，则ANNP，由AQNACO，A(3，0)，C(0，4)，AC5，AN3t，AP2AN6t，APBPAB，6t5t7，t，PBPF，易证ACOFPRFMT，FR，TF，FM，S2PFFM；如解图中，当轴对称图形是正方形时，3t5t7，t，S.第4题解图 第4题解图课时3 与三角形、四边形形状有关的问题1. 解：(1)抛物线yax2bx1经过B(4，0)，D(3，)，解得，抛物线的表达式为yx2x1；(2)抛物线yx2x1与y轴交于点A，点A的坐标为A(0，1)，设直线AD的表达式为ykxd，则，解得，直线AD的表达式为yx1.CDx轴，点D的坐标为D(3，)，点C的坐标为C(3，0)，设P(m，0)，则0m3.PNx轴，M(m，m1)，PMm1，CP3m，SPCMPMCP(m1)(3m)(m)2，当m时，PCM面积取得最大值为；(3)OPt，P(t，0)，M(t，t1)，N(t，t2t1)，MN|t2t1(t1)|t2t|，CDMN，要使得四边形MNDC是平行四边形，只需MNCD即可CD，只需|t2t|，化简得3t29t100或3t29t100.当3t29t100时，811200，t，t0，t，当t为时，四边形MNDC是平行四边形2. 解：(1)抛物线yx2bxc与y轴交于点A(0，3)，c3，对称轴是直线x1，1，解得b2，抛物线的解析式为yx22x3；令y0，得x22x30，解得x13，x21(不合题意，舍去)，点B的坐标为(3，0)；(2)由题意得ON3t，OM2t，则点P(2t，4t24t3)，四边形OMPN为矩形，PMON，即4t24t33t，解得t11，t2(不合题意，舍去)，当t1时，四边形OMPN为矩形；能，在RtAOB中，OA3，OB3，B45，若BOQ为等腰三角形，有三种情况：()若OQBQ，如解图所示：则M为OB中点，OMOB，t2；()若OQOB，OA3，OB3，点Q与点A重合，即t0(不合题意，舍去)；()若OBBQ，如解图所示：BQ3，BMBQcos453，OMOBBM3，t2，综上所述，当t为秒或秒时，BOQ为等腰三角形第2题解图3. 解：(1)将点A、B、D的坐标代入抛物线的解析式得：，解得，抛物线的解析式为yx22x3；(2)把y0代入yx22x3得：x22x30，解得x3或x1.点E的坐标为(3，0)l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，直线l经过平行四边形两对角线的交点，直线l经过点BD的中点，即(，)设EF的解析式为ykxb，将(，)和(3，0)代入直线的解析式得，解得，直线EF的解析式为yx，将直线EF解析式与抛物线解析式联立可得，解得或，F(，)，如解图所示，连接PE，过点P作PGx轴，交EF于点G.第3题解图设点P的坐标为(t，t22t3)，则点G的坐标为(t，t)，PGt22t3(t)t2t.PEF的面积PG|xExF|(3)PG(t2t)t2t(t)2，当t时，PFE的面积最大，最大面积为，最大值的立方根为1.7；(3)如解图所示：当PAE90时，第3题解图设直线AE的解析式为ykx3，将点E的坐标代入得：3k30，解得k1.直线AE的解析式为yx3.直线AP的解析式为yx3.将yx3与yx22x3联立，解得x0时，y3；x1时，y4.P(1，4)t1.如解图所示：当APE90时，第3题解图 设点P的坐标为(t，t22t3)设直线AP的解析式为yk1xb1，PE的解析式为yk2xb2.将点A和点P的坐标代入yk1xb1得，解得k1t2.将点P、E代入yk2xb2得，解得k2(t1)PA与PE垂直，k1k21，即(t1)(t2)1，整理得：t2t10，解得t或t，点P在直线l的上方，t(舍去)综上所述，当t1或t时，PAE为直角三角形4. 解：(1)ABC是直角三角形. 理由如下：对于抛物线yx2x，令y0, 得x2x0，解得x或3.令x0，y.A(，0)，C(0，)，B(3，0)，OA，OC，OB3，AOCBOC，AOCCOB，ACOOBC，OBCOCB90，ACOOCB90，ACB90.即ABC为直角三角形；(也可以求出AC、BC、AB，利用勾股定理逆定理证明)(2)如解图中，设第四象限抛物线上一点N(m，m2m)，点N关于x轴的对称点P(m，m2m)，过B、C分别作y轴、x轴的平行线交于点G，连接PG.第4题解图G(3，)，SPBCSPCGSPBGSBCG3(m2m2) (3m)3(m)2. 0，当m时，PBC的面积最大，此时P(，)如解图，作MECG于点E，第4题解图CGOB，OBCECM，BOCCEM，CEMBOC，OCOBBC13，EMCECM13，EMCM，PMCMPMME，根据垂线段最短可知，当PECG时，PMME最短，PMMC的最小值为；(3)存在，理由如下： 如解图，当DHHF，HQ平分DHF时，以点F、H、D、Q为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q的对角线所在的直线是对称轴作CGHK于G，PHx轴，EPPH于点P.第4题解图FHCK，K(，)，易知CGGKCK345，由EPHKGC，得PHPEEH345，设E(n，n2n)，则HE(n)，PE(n)DHHF，n2n(n)(n)，解得n或n(舍去)如解图，当DHHF，HQ平分DHF时，以点F、H、D、Q为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q的对角线所在直线是对称轴同上面的方法可得n2n(n)(n)，解得n或n(舍去)第4题解图如解图，当DHDF，DQ平分HDF时，以点F、H、D、Q为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q的对角线所在直线是对称轴. 第4题解图设DQ交HF于M，由DHMCKG，可知HMDH45，则(n)n2n(n)45，解得n或n(舍去)综上所述，满足条件的点E的横坐标为或或.课时4 二次函数的实际应用1. B【解析】由足球距离地面的高度h与足球被踢出后经过的时间t之间关系可求得h与t的函数关系式为：ht29t，当t1.5时，可得h11.25，所以错误；当h0时，可得t29t0，解得t10，t29，所以足球被踢出9秒时落地，由ht29t可得对称轴是t，故正确；当t时，h20.25，所以错误；正确结论的个数为2个，故选B.2. 解：(1)把P(0，1)代入y(x4)2h中得h；把x5代入y(x4)2，得y(54)21.625.1.6251.55.此球能过网；(2)把P(0，1)，Q(7，)代入ya(x4)2h，得，解得，a.3. 解：(1)p与x之间满足一次函数关系pkxb，点(50，0)，(30，600)在图象上， 解得，p与x之间的函数表达式为p30x1500(30x50)；(2)设日销售价格为x元/千克，日销售利润为w元，依题意得w(30x1500)(x30)30x22400x45000(30x50)，a3010，当x45时w取最大值，即(4530a)1502250150a2430(舍去)；若a10，当x40a时w取最大值，将x40a代入，得w30(a210a100)，令w2430，则30(a210a100)2430，解得a12或a238(舍去)综上所述，a的值为2.