高考数学专题7：解析几何

专题七 解析几何一、直线与圆的方程直线的平行、垂直充要条件、点到直线的距离、弦长公式、夹角公式、直线和圆的方程、圆与直线的位置关系1、 解析几何中的基本公式（1）两点间距离：若，则 特别地：轴， 则 | | 轴， 则| |（2）平行线间距离：若则： 注意点：，对应项系数应相等。（3）点到直线的距离：则到的距离为（4）直线与圆锥曲线相交的弦长公式： 消：，务必注意若与曲线交于A则：（5）若直线的斜率为，直线的斜率为，则到的角为适用范围：,2都存在且1 ， 若与的夹角为，则，（6）直线与直线的的平行与垂直（1）若，均存在斜率且不重合：/ = =1 (2)若,、/； 与相交、与重合 注意：若或中含有字母，应注意讨论字母等于0与不等于0的情况。2、 直线方程的五种形式名称 方程 注意点斜截式： 斜率不存在的直线不能用斜截式表示点斜式： （1）斜率不存在： （2）斜率存在时为两点式： 截距式： 其中交轴于，交轴于,0,当直线在坐标轴上的截距相等时应分：(1)截距 设 （2）截距=0 设一般式： （其中不同时为零）3、圆的方程 （1）、标准方程： ， 。 （2）、一般方程：，（,圆心 （3）、若，则以线段为直径的圆的方程是(4) 、参数方程以(，)为圆心，以为半径的圆的参数方程为 （为参数）特别地，以(0，0)为圆心，以r为半径的圆的参数方程为2.直线与圆的位置关系有三种（指联立圆与直线方程，消去一个未知数后所得一元二次方程的判别式）若， 二、圆锥曲线三种曲线的定义、性质、参数方程、轨迹问题.1.椭圆、定义:定义：若，是两定点，为动点，且 （为常数）则点的轨迹是椭圆。定义：若为定点，为定直线，动点到的距离与到定直线的距离之比为常数（），则点的轨迹是椭圆标准方程： 范围： 长轴长=，短轴长=2 焦距：准线方程：焦半径：设， 注意：（1）图中线段的几何特征：， ，等等。长轴顶点与相应准线距离为、焦点与相应准线距离为。 (2)通径，过焦点与长轴垂直的直线与椭圆相交所得弦，其长为 （3）中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段、，有关角结合起来，建立+、等关系求出、的值.（4）椭圆上的参数方程：；2.双曲线1. 定义：若，是两定点，（为常数），则动点的轨迹是双曲线。若动点到定点与定直线的距离之比是常数（1），则动点的轨迹是双曲线。2.图形： 3.性质方程： 实轴长=，虚轴长=焦距： 准线方程：焦半径：设，；注意：（1）图中线段的几何特征：，顶点到准线的距离：；焦点到准线的距离：两准线间的距离=，通径：（2）若双曲线方程为渐近线方程： 若渐近线方程为双曲线可设为若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在轴上，焦点在轴上）双曲线的共轭双曲线为（3）特别地当离心率两渐近线互相垂直，分别为=，此时双曲线为等轴双曲线，可设为；（4）注意中结合定义与余弦定理，将有关线段、和角结合起来。注意 ：双曲线的渐近线方程为或表示为.已知双曲线的渐近线方程是，即，那么双曲线的方程具有以下形式：，其中是一个不为零的常数.（三）、抛物线 1.定义：到定点与定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线。即：到定点的距离与到定直线的距离之比是常数（=1）。 2.图形： 2. 性质：方程：（焦点到准线的距离）； 焦点： ，通径； 准线： ； 焦半径：过焦点弦长焦准距：p；通径长= 注意：（1）几何特征：焦点到顶点的距离=；焦点到准线的距离=； 顶点是焦点向准线所作垂线段中点。(2)抛物线上的动点可设为P或P（四）直线与圆锥曲线的位置关系1、计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式：一般地，若斜率为的直线被圆锥曲线所截得的弦为，两点分别为 (，)、 (,)，则弦长 ,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想；2、处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法设 (，)、 (,)为椭圆（0）上不同的两点，是的中点，则KABKOM=；对于双曲线（0，0），类似可得：KAB.KOM=；对于抛物线有KAB（五）求轨迹的常用方法：（1）直接法：直接通过建立、之间的关系，构成，是求轨迹的最基本的方法；（2）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；（3）代入法（相关点法或转移法）：若动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用、的代数式表示、，再将、带入已知曲线得要求的轨迹方程；（4）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程；（5）参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将，均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。