初二数学动点问题归类复习含例题练习及答案

初二数学动点问题归类复习（含例题、练习及答案）所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想本文将初一至二学习过的有关知识，结合动点问题进行归类复习，希望对同学们能有所帮助。一、等腰三角形类：因动点产生的等腰三角形问题例1：（2013年上海市虹口区中考模拟第25题）如图1，在RtABC中，A90，AB6，AC8，点D为边BC的中点，DEBC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且PDQ90（1）求ED、EC的长；（2）若BP2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若PDF为等腰三角形，求BP的长图1 备用图思路点拨1第（2）题BP2分两种情况2解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系3第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ解答：（1）在RtABC中， AB6，AC8，所以BC10在RtCDE中，CD5，所以，（2）如图2，过点D作DMAB，DNAC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是ABC的两条中位线，DM4，DN3由PDQ90，MDN90，可得PDMQDN因此PDMQDN所以所以，图2 图3 图4如图3，当BP2，P在BM上时，PM1此时所以如图4，当BP2，P在MB的延长线上时，PM5此时所以（3）如图5，如图2，在RtPDQ中，在RtABC中，所以QPDC由PDQ90，CDE90，可得PDFCDQ因此PDFCDQ当PDF是等腰三角形时，CDQ也是等腰三角形如图5，当CQCD5时，QNCQCN541（如图3所示）此时所以如图6，当QCQD时，由，可得所以QNCNCQ（如图2所示）此时所以不存在DPDF的情况这是因为DFPDQPDPQ（如图5，图6所示）图5 图6考点伸展：如图6，当CDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到BDP也是等腰三角形，PBPD在BDP中可以直接求解二、直角三角形：因动点产生的直角三角形问题例2：（2008年河南省中考第23题）如图1，直线和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）（1）试说明ABC是等腰三角形；（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动设M运动t秒时，MON的面积为S 求S与t的函数关系式； 设点M在线段OB上运动时，是否存在S4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；在运动过程中，当MON为直角三角形时，求t的值图1思路点拨：1第（1）题说明ABC是等腰三角形，暗示了两个动点M、N同时出发，同时到达终点2不论M在AO上还是在OB上，用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的，用含有t的式子表示OM要分类讨论3将S4代入对应的函数解析式，解关于t的方程4分类讨论MON为直角三角形，不存在ONM90的可能解答：（1）直线与x轴的交点为B（3，0）、与y轴的交点C（0，4）RtBOC中，OB3，OC4，所以BC5点A的坐标是（-2，0），所以BA5因此BCBA，所以ABC是等腰三角形（2）如图2，图3，过点N作NHAB，垂足为H在RtBNH中，BNt，所以如图2，当M在AO上时，OM2t，此时定义域为0t2如图3，当M在OB上时，OMt2，此时定义域为2t5 图2 图3把S4代入，得解得，（舍去负值）因此，当点M在线段OB上运动时，存在S4的情形，此时如图4，当OMN90时，在RtBNM中，BNt，BM ，所以解得如图5，当OMN90时，N与C重合，不存在ONM90的可能所以，当或者时，MON为直角三角形 图4 图5考点伸展：在本题情景下，如果MON的边与AC平行，求t的值如图6，当ON/AC时，t3；如图7，当MN/AC时，t2.5 图6 图7三、平行四边形问题：因动点产生的平行四边形问题例3：（2010年山西省中考第26题）在直角梯形OABC中，CB/OA，COA90，CB3，OA6，BA分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系（1）求点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD5，OE2EB，直线DE交x轴于点F求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由 图1 图2思路点拨：1第（1）题和第（2）题蕴含了OB与DF垂直的结论，为第（3）题讨论菱形提供了计算基础2讨论菱形要进行两次（两级）分类，先按照DO为边和对角线分类，再进行二级分类，DO与DM、DO与DN为邻边解答：(1)如图2，作BHx轴，垂足为H，那么四边形BCOH为矩形，OHCB3在RtABH中，AH3，BA，所以BH6因此点B的坐标为(3,6)(2) 因为OE2EB，所以，E(2,4)设直线DE的解析式为ykxb，代入D(0,5)，E(2,4)，得 解得，所以直线DE的解析式为(3) 由，知直线DE与x轴交于点F(10,0)，OF10，DF如图3，当DO为菱形的对角线时，MN与DO互相垂直平分，点M是DF的中点此时点M的坐标为(5,)，点N的坐标为(5,)如图4，当DO、DN为菱形的邻边时，点N与点O关于点E对称，此时点N的坐标为(4,8)如图5，当DO、DM为菱形的邻边时，NO5，延长MN交x轴于P由NPODOF，得，即解得，此时点N的坐标为 图3 图4 考点伸展如果第（3）题没有限定点N在x轴上方的平面内，那么菱形还有如图6的情形 图5 图6四、相似三角形：因动点产生的相似三角形问题例4：（2013年苏州中考28题）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动在运动过程中，EBF关于直线EF的对称图形是EBF设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）（1）当t= s时，四边形EBFB为正方形；（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；（3）是否存在实数t，使得点B与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由 思路点拨：（1）利用正方形的性质，得到BE=BF，列一元一次方程求解即可；（2）EBF与FCG相似，分两种情况，需要分类讨论，逐一分析计算；（3）本问为存在型问题假设存在，则可以分别求出在不同条件下的t值，它们互相矛盾，所以不存在解答：（1）若四边形EBFB为正方形，则BE=BF，即：10t=3t，解得t=2.5；（2）分两种情况，讨论如下：若EBFFCG，则有，即，解得：t=2.8；若EBFGCF，则有，即，解得：t=142（不合题意，舍去）或t=14+2当t=2.8s或t=（14+2）s时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似（3）假设存在实数t，使得点B与点O重合如图，过点O作OMBC于点M，则在RtOFM中，OF=BF=3t，FM=BCBF=63t，OM=5，由勾股定理得：OM2+FM2=OF2，即：52+（63t）2=（3t）2解得：t=；过点O作ONAB于点N，则在RtOEN中，OE=BE=10t，EN=BEBN=10t5=5t，ON=6，由勾股定理得：ON2+EN2=OE2，即：62+（5t）2=（10t）2解得：t=3.93.9，不存在实数t，使得点B与点O重合考点伸展：本题为运动型综合题，考查了矩形性质、轴对称、相似三角形的判定性质、勾股定理、解方程等知识点题目并不复杂，但需要仔细分析题意，认真作答第（2）问中，需要分类讨论，避免漏解；第（3）问是存在型问题，可以先假设存在，然后通过推导出互相矛盾的结论，从而判定不存在拓展练习：1、如图1，梯形ABCD中，AD BC，B=90，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，如果P，Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒。当t= 时，四边形是平行四边形； 当t= 时，四边形是等腰梯形. （1题图） 备用图2、如图2，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为 。 （2题图） （3题图）3、如图，在中，点是的中点，过点的直线从与重合的位置开始，绕点作逆时针旋转，交边于点过点作交直线于点，设直线的旋转角为（1）当 度时，四边形是等腰梯形，此时的长为 ；当 度时，四边形是直角梯形，此时的长为 ；（2）当时，判断四边形是否为菱形，并说明理由ACBEDNM图3ABCDEMN图24、在ABC中，ACB=90，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E.CBAED图1NM(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：ADCCEB；DE=ADBE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.5、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：AE=EF经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由 6、如图, 射线MB上,MB=9,A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P从M沿射线MB方向以1个单位/秒的速度移动，设P的运动时间为t. 求（1） PAB为等腰三角形的t值；（2） PAB为直角三角形的t值；（3） 若AB=5且ABM=45 ，其他条件不变，直接写出 PAB为直角三角形的t值。7、如图1，在等腰梯形中，是的中点，过点作交于点，.求：（1）求点到的距离；（2）点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设.当点在线段上时（如图2），的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由；当点在线段上时（如图3），是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由ADEBFC图4（备用）ADEBFC图5（备用）ADEBFC图1图2ADEBFCPNM图3ADEBFCPNM（第25题）8、如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点(1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？（2）若点Q以中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？ （8题图） （9题图）9、如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120，AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BCCD上滑动，且E、F不与BCD重合（1）证明不论E、F在BCCD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BCCD上滑动时，分别探讨四边形AECF和CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值10、如图，在AOB中，AOB=90，OA=OB=6，C为OB上一点，射线CDOB交AB于点D，OC=2点P从点A出发以每秒个单位长度的速度沿AB方向运动，点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿CD方向运动，P、Q两点同时出发，当点P到达到点B时停止运动，点Q也随之停止过点P作PEOA于点E，PFOB于点F，得到矩形PEOF以点Q为直角顶点向下作等腰直角三角形QMN，斜边MNOB，且MN=QC设运动时间为t（单位：秒）（1）求t=1时FC的长度（2）求MN=PF时t的值（3）当QMN和矩形PEOF有重叠部分时，求重叠（阴影）部分图形面积S与t的函数关系式（4）直接写出QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t的值参考答案：1、解：（1）要使四边形PQCD为平行四边形，则PD=CQ，AD=18cm，即18-t=2t，解得：t=6；（2）设经过ts，四边形PQCD是等腰梯形过Q点作QEAD，过D点作DFBC，四边形PQCD是等腰梯形，PQ=DC又ADBC，B=90，AB=EQ=DFEQPFDCFC=EP=BC-AD=21-18=3又AE=BQ=21-2t，EP=t-AE，EP=AP-AE=t-（21-2t）=3得：t=8经过8s，四边形PQCD是等腰梯形2、5；3、解：（1）30，1；60，1.5；（2）当=900时，四边形EDBC是菱形.=ACB=900，BC/ED. CE/AB, 四边形EDBC是平行四边形在RtABC中，ACB=900，B=600,BC=2, A=300.AB=4,AC=2. AO= .在RtAOD中，A=300，AD=2.BD=2. BD=BC. 又四边形EDBC是平行四边形，四边形EDBC是菱形 4、解：（1） ACD=ACB=90 CAD+ACD=90 BCE+ACD=90 CAD=BCE AC=BC ADCCEB ADCCEB CE=AD，CD=BE DE=CE+CD=AD+BE (2) ADC=CEB=ACB=90 ACD=CBE 又AC=BC ACDCBE CE=AD，CD=BE DE=CE-CD=AD-BE(3) 当MN旋转到图3的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE，BE=AD+DE等) ADC=CEB=ACB=90 ACD=CBE， 又AC=BC， ACDCBE， AD=CE，CD=BE， DE=CD-CE=BE-AD. 5、解：（1）正确证明：在上取一点，使，连接，是外角平分线， ， （ASA） （2）正确 证明：在的延长线上取一点使，连接 四边形是正方形， （ASA） 6、解：解：（1）作AEBM于E。则AE=3，AB=5，BE=（AB-AE）=4 MP=t, BP=9-t若AP=AB,9-t=24t=1若PA=PB，BP/(1/2AB)=AB/BP（9-t)=1/2*5*5t=9-5/2(9+5/2舍去）若BA=BP，|9-t|=5t=4 、14综上，t=1、4、9-5/2、14（2）若APB=909-t=4t=5若PAB=90BP/BA=BA/BE(9-t)/5=5/4t=11/4综上，t=5、11/4。7、解：（1）如图1，过点作于点 为的中点， 在中， 即点到的距离为 图1ADEBFCG（2）当点在线段上运动时，的形状不发生改变 ， 同理 如图2，过点作于，图2ADEBFCPNMGH 则在中，的周长= 当点在线段上运动时，的形状发生改变，但恒为等边三角形当时，如图3，作于，则类似， 是等边三角形，此时， 当时，如图4，这时 此时，当时，如图5， 则又 因此点与重合，为直角三角形 此时，综上所述，当或4或时，为等腰三角形 8、解：AQCDBP解：（1）秒， 厘米，厘米，点为的中点， 厘米又厘米， 厘米， 又， ， ， ， 又，则，点，点运动的时间秒， 厘米/秒。（2）设经过秒后点与点第一次相遇， 由题意，得，解得秒点共运动了厘米 ，点、点在边上相遇，经过秒点与点第一次在边上相遇9、解：（1）证明：如图，连接AC，四边形ABCD为菱形，BAD=120，BAE+EAC=60，FAC+EAC=60，BAE=FAC。BAD=120，ABF=60。ABC和ACD为等边三角形。ACF=60，AC=AB。ABE=AFC。在ABE和ACF中，BAE=FAC，AB=AC，ABE=AFC，ABEACF（ASA）。BE=CF。 （2）四边形AECF的面积不变，CEF的面积发生变化。理由如下：由（1）得ABEACF，则SABE=SACF。S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值。作AHBC于H点，则BH=2，。由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短故AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又SCEF=S四边形AECFSAEF，则此时CEF的面积就会最大SCEF=S四边形AECFSAEF。CEF的面积的最大值是。【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。【分析】（1）先求证AB=AC，进而求证ABC、ACD为等边三角形，得ACF =60，AC=AB，从而求证ABEACF，即可求得BE=CF。（2）由ABEACF可得SABE=SACF，故根据S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC即可得四边形AECF的面积是定值。当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，根据SCEF=S四边形AECFSAEF，则CEF的面积就会最大。10、考点：相似形综合题分析：（1）根据等腰直角三角形，可得，OF=EP=t，再将t=1代入求出FC的长度；（2）根据MN=PF，可得关于t的方程6t=2t，解方程即可求解；（3）分三种情况：求出当1t2时；当2t时；当t3时；求出重叠（阴影）部分图形面积S与t的函数关系式；（4）分M在OE上；N在PF上两种情况讨论求得QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t的值解答：解：（1）根据题意，AOB、AEP都是等腰直角三角形，OF=EP=t，当t=1时，FC=1；（2）AP=t，AE=t，PF=OE=6tMN=QC=2t6t=2t解得t=2故当t=2时，MN=PF；（3）当1t2时，S=2t24t+2；当2t时，S=t2+30t32；当t3时，S=2t2+6t；（4）QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t=2或点评：考查了相似形综合题，涉及的知识有等腰直角三角形的性质，图形的面积计算，函数思想，方程思想，分类思想的运用，有一定的难度