直线与抛物线的关系

电海中学中学数学组电海中学中学数学组 李宏明李宏明直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系一、课前准备一、课前准备问题导学问题导学问题问题1、直线与双曲线的位置关系有哪些？是如何研究的？、直线与双曲线的位置关系有哪些？是如何研究的？直线与双曲线位置关系直线与双曲线位置关系 相交相交相切相切相离相离有两个公共点有两个公共点有一个公共点有一个公共点只有一个公共点只有一个公共点没有公共点没有公共点直线与渐进线平行直线与渐进线平行注意：注意：直线与双曲线只有一个公共直线与双曲线只有一个公共点，情况有两种。点，情况有两种。问题问题2、直线和抛物线的位置关系有几种？如何判断、直线和抛物线的位置关系有几种？如何判断？一、课前准备一、课前准备问题导学问题导学问题问题1 、直线和抛物线的位置关系有哪几种、直线和抛物线的位置关系有哪几种? (从从“形形”角度研究角度研究)L1OyxL2L3L4（一）相交（一）相交:（二）相切（二）相切:（三）相离（三）相离:二、基础学习交流二、基础学习交流(小组讨论小组讨论) 2、一、一 个公共点个公共点直线和抛物线的对称轴平行或重合直线和抛物线的对称轴平行或重合直线和抛物线有且只有直线和抛物线有且只有一个公共点一个公共点,且直线和且直线和抛物线的对称轴不平行抛物线的对称轴不平行也不重合也不重合.直线和抛物线没有公共点直线和抛物线没有公共点.1、有两个公共点、有两个公共点问题问题2 求过定点求过定点P（0，1）且与抛物线）且与抛物线 只有一个公共点，这样的直线只有一个公共点，这样的直线l有（有（ ）2xy2A1条条 B2条条C3条条 D4条条答案：答案：COyxP(0,1)三、重难点探究（合作探究）三、重难点探究（合作探究） 直线与抛物线位置关系直线与抛物线位置关系(从从“数数”角度研究角度研究).2x(k1yl 的方程为的方程为解：由题意，设直线解：由题意，设直线 x4y)2x(k1y2由方程组由方程组0) 12(442kyky可得. 10) 1 (yk时，由方程得当.41,412xxyy得代入把) 1 ,41(点与抛物线只有一个公共这时，直线l).12(160)2(2kkk时，方程的判别式为当0120120kk，即由.21, 1kk或解得个公共点。即直线与抛物线只有一，时，方程组只有一个解，或即当211kk分析分析:讨论直线讨论直线l的方程与抛物线的方程组成的方程组的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况，由方程组解的情况判断直线的解的情况，由方程组解的情况判断直线l与抛物线与抛物线的位置关系。的位置关系。0120220kk，即由.211k解得公共点。即直线与抛物线有两个时，方程组有两个解，且即当0,211kk0120320kk，即由.211kk，或解得共点。即直线与抛物线没有公，时，方程组没有实数解或即当211kk个公共点。即直线与抛物线只有一时，或，或综上所述，当0211kkk公共点。即直线与抛物线有两个时，且当0,211kk共点。即直线与抛物线没有公时，或当211kk 四、总结提升四、总结提升直线与抛物线位置关系判断方法：直线与抛物线位置关系判断方法：1.联立方程组，并化为关于联立方程组，并化为关于x或或y的一元方程；的一元方程；2.考察二次项的系数是否为考察二次项的系数是否为0，若为若为0，则直线与抛物线的对称轴平行，则直线与抛物线的对称轴平行， 直线与抛物线有且仅有一个交点；直线与抛物线有且仅有一个交点；若不为若不为0，则考察判别式，则考察判别式3.考察判别式考察判别式0 直线与抛物线相交；直线与抛物线相交；答案答案: D2ykx2,y8x得得 (kx+2)2-8x=0.整理得整理得 k2x2+(4k-8)x+4=0.当当k=0时时,方程变为方程变为-8x+4=0,只有一解只有一解,这时直线与抛物线只有一个公共点这时直线与抛物线只有一个公共点;当当k0时时,由由=0得得(4k-8)2-16k2=0,解得解得k=1.综上综上,k=0或或1.解析解析: 联立联立五、课堂检测五、课堂检测 2 、在抛物线、在抛物线 上求一点，使它到直线上求一点，使它到直线2x-y-4=0的距离最小。的距离最小。2xy解解: 观察图象可知观察图象可知,平移直线至与抛物线平移直线至与抛物线 相切相切,则切点即为所求则切点即为所求. 设切线方程为设切线方程为 2x-y+C=0，2xy联立联立 得得 0C2xx2)(又由（又由（ ）得）得 x=1x=1，y=1.y=1.故所求点的坐标是（故所求点的坐标是（1 1，1 1）.点评：此处用到了数形结合的方法点评：此处用到了数形结合的方法.由由 得得 C=-10C)(42)(2Oyx5| 4y2x|d另解另解:设设P(x,y)为抛物线为抛物线 上任意一点，上任意一点，则则P到直线到直线2x-y-4=0的距离的距离2xy 此时此时 y=1，53dmin当且仅当当且仅当 x=1 时时， ，所求点的坐标为所求点的坐标为P(1,1).点评：此处用到了函数思想方法点评：此处用到了函数思想方法.5|31)(x|22xy 5|4x2x|d2又又 P(x,y)在抛物线在抛物线 上上2xy 3、已知抛物线已知抛物线C：y2=2px（p0）过点）过点A（1，-2）。）。（I）求抛物线）求抛物线C的方程，并求其准线方程；的方程，并求其准线方程；（）是否存在平行于）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线为坐标原点）的直线l，使得直线使得直线l与抛物线与抛物线C有公共点，且直线有公共点，且直线OA与与l的距离的距离等等于于 55？若存在，求出直线若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。的方程；若不存在，说明理由。解：（解：（I I）将（）将（1 1，-2-2）代入）代入 ，得，得 所以所以p=2p=2故所求的抛物线故所求的抛物线C C的方程为的方程为 ，其准线方程为，其准线方程为x=-1.x=-1. px2y2 1p2)2(2 x4y2 假设存在符合题意的直线假设存在符合题意的直线l，其方程为，其方程为y=-2x+t由由得因为直线因为直线l与抛物线与抛物线C有公共点，所以有公共点，所以=4+8t0，解得解得t另一方面，由直线另一方面，由直线OA与与l的距离的距离可得可得解得解得 t =1所以符合题意的直线所以符合题意的直线l存在，其方程为存在，其方程为2x+y-1=0。（）由题意，得直线）由题意，得直线OA的方程为的方程为y=-2x，因为因为0t2y2y2 55d 555td ,21t t=1所以所以直线与抛物线直线与抛物线的位置关系的位置关系相交相交相切相切相离相离有两个公共点有两个公共点(0)有一个公共点（与对称轴平行或重合）有一个公共点（与对称轴平行或重合）只有一个公共点只有一个公共点(= =0)没有公共点没有公共点( 0)