51平面向量的概念及其线性运算

要点梳理要点梳理1.1.向量的有关概念向量的有关概念 (1)(1)向量：既有向量：既有 又有又有 的量叫做向量，向的量叫做向量，向 量的大小叫做向量的量的大小叫做向量的 （或模）（或模）. . (2) (2)零向量：零向量： 的向量叫做零向量，其方向是的向量叫做零向量，其方向是 的的. . (3) (3)单位向量：长度等于单位向量：长度等于 的向量的向量. .第五章 平面向量5.1 5.1 平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算大小大小方向方向长度长度长度为长度为0 0任意任意1 1个单位个单位基础知识基础知识 自主学习自主学习(4)(4)平行向量：方向平行向量：方向 或或 的的 向量向量. .平行向量平行向量又叫又叫 ，任一组平行向量都可以移到同一条直，任一组平行向量都可以移到同一条直线上线上. .规定：规定：0 0与任一向量与任一向量 . .(5)(5)相等向量：长度相等向量：长度 且方向且方向 的向量的向量. .(6)(6)相反向量：长度相反向量：长度 且方向且方向 的向量的向量. .相同相同相反相反非零非零共线向量共线向量平行平行相等相等相同相同相等相等相同相同2.2.向量的加法和减法向量的加法和减法 （1 1）加法）加法 法则：服从三角形法则、平行四边形法则法则：服从三角形法则、平行四边形法则. . 运算性质：运算性质： a a+ +b b= = ( (交换律）；交换律）； ( (a a+ +b b)+)+c c= = （结合律）；（结合律）； a a+ +0 0= = = = . . (2) (2)减法减法 减法与加法互为逆运算；减法与加法互为逆运算； 法则：服从三角形法则法则：服从三角形法则. .b b+ +a aa a+( (b b+ +c c) )0 0+ +a aa a3.3.实数与向量的积实数与向量的积 （1 1）长度与方向规定如下：）长度与方向规定如下： | | a a|= |= ; ; 当当 时，时， a a与与a a的方向相同；当的方向相同；当 时，时， a a与与a a的方向相反；当的方向相反；当 =0=0时，时， a a= = . . (2) (2)运算律：设运算律：设 、R R，则：，则： ( (a a)= )= ; ;( +( +) )a a= = ; ; ( (a a+ +b b)= )= . .| | |a a| | 0 0 0 00 0( ( ) )a a a a+ +a a a a+ + b b4.4.两个向量共线定理两个向量共线定理 向量向量b b与与a a( (a a0 0) )共线的充要条件是共线的充要条件是 . .有且只有一个实数有且只有一个实数 ，使得使得b b= = a a基础自测基础自测1.1.如图所示，在平行四边形如图所示，在平行四边形ABCDABCD中，下列结论中错中，下列结论中错误的是误的是（） A.A. B. B. C. C. D. = D. =0 0 解析解析 A A显然正确，由平行四边形法则知显然正确，由平行四边形法则知B B正确正确. . ，故，故C C错误错误.D.D中中 = =0 0. .CDCAB ACABADBDADABCBADDBADABDAADCBAD2.2.如图所示，如图所示，D D是是ABCABC的边的边ABAB上的中点，则向量上的中点，则向量 等于等于（） A.A. B. B. C. C. D. D. 解析解析 D D是是ABAB的中点，的中点， CDBABC21BABC21BABC21BABC21BABD21.21BABCBDCBCDA3.3.（20092009北京）北京）已知向量已知向量a a、b b不共线，不共线， c c= =k ka a+ +b b( (k kR R),),d d= =a a- -b b. .如果如果c cd d，那么（，那么（） A.A.k k=1=1且且c c与与d d同向同向 B.B.k k=1=1且且c c与与d d反向反向 C.C.k k=-1=-1且且c c与与d d同向同向 D.D.k k=-1=-1且且c c与与d d反向反向 解析解析 c cd d,c c= = d d, ,即即k ka a+ +b b= = ( (a a- -b b).).又又a a、b b不共不共线，线， k k= = , , =-1,=-1, 1=- 1=- , , k k=-1.=-1.c c=-=-d d,c c与与d d反向反向. .D4.4.下列各命题中，真命题的个数为下列各命题中，真命题的个数为（） 若若| |a a|=|=|b b| |，则，则a a= =b b或或a a=-=-b b； 若若 ，则，则A A、B B、C C、D D是一个平行四边形的是一个平行四边形的四个顶点；四个顶点； 若若a a= =b b, ,b b= =c c，则，则a a= =c c; ; 若若a ab b, ,b bc c, ,则则a ac c. . A.4 A.4B.3B.3C.2C.2D.1D.1DCAB 解析解析 由由| |a a|=|=|b b| |可知向量可知向量a a, ,b b模长相等但不能确定模长相等但不能确定向量的方向，如在正方形向量的方向，如在正方形ABCDABCD中，中，| |=| | |=| |，但，但 与与 既不相等也不互为相反向量，故此命题错误既不相等也不互为相反向量，故此命题错误. .由由 可得可得| |=| | |=| |且且 ，由于由于 可能是可能是A A，B B，C C，D D在同一条直线上，在同一条直线上，故此命题不正确故此命题不正确. .正确正确. .不正确不正确. .当当b b= =0 0时，时， a ac c不一定成立不一定成立. .答案答案 D DABADABADDCAB ABDCABDCABDCA题型分类题型分类 深度剖析深度剖析答案答案知能迁移知能迁移1 1 下列结论中，不正确的是下列结论中，不正确的是（） A.A.向量向量 ， 共线与向量共线与向量 同义同义 B.B.若向量若向量 ，则向量，则向量 与与 共线共线 C.C.若向量若向量 = = ，则向量，则向量 = = D. D.只要向量只要向量a a，b b满足满足| |a a|=|=|b b| |，就有，就有a a= =b b 解析解析 根据平行向量（或共线向量）定义知根据平行向量（或共线向量）定义知A A、B B均均正确；根据向量相等的概念知正确；根据向量相等的概念知C C正确；正确；D D不正确不正确. .DABCDABCDABCDABDCABCDABDC题型二题型二 平面向量的线性运算平面向量的线性运算【例例2 2】在在ABCABC中，中，D D、E E分别为分别为 BCBC、ACAC边上的中点，边上的中点，G G为为BEBE上上 一点，且一点，且GBGB=2=2GEGE，设，设 = =a a， = =b b，试用，试用a a、b b表示表示 ， . . 解解ACABADAG;2121)(21ACABAD)(3132BCBAABBEABBGABAGa ab b.31313131ACAB)(3132ABACABa ab b （1 1）解题的关键在于搞清构成三角形）解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化化. . （2 2）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是：是：观察各向量的位置；观察各向量的位置；寻找相应的三角形或寻找相应的三角形或多边形；多边形；运用法则找关系；运用法则找关系；化简结果化简结果. .探究提高探究提高知能迁移知能迁移2 2 （20092009山东）山东）设设P P是是ABCABC所在平面内所在平面内 的一点，的一点， ，则，则 （） A.A. B. B. C. C. D. D. 解析解析 因为因为 ，所以点，所以点P P为线段为线段ACAC的的中点，即中点，即 ，如图，如图. .BPBABC2 PBPAAPPCCPPBCPPBPABPBABC2APPCB0 00 00 00 00 0题型三题型三 共线向量问题共线向量问题【例例3 3】 （1212分）设两个非零向量分）设两个非零向量a a与与b b不共线，不共线， (1)(1)若若 = =a a+ +b b， =2=2a a+8+8b b， =3=3（a a- -b b）. . 求证：求证：A A、B B、D D三点共线；（三点共线；（2 2）试确定实数）试确定实数k k，使，使k ka a+ +b b和和a a+ +k kb b共线共线. . （1 1）由已知求）由已知求 判断判断 与与 的关系的关系判断判断A A、B B、D D的关系的关系. . （2 2）应用共线向量的充要条件）应用共线向量的充要条件列方程组列方程组 解方程组得解方程组得k k值值. .ABBCCD思维启迪思维启迪ABBDBD（1 1）证明证明 = =a a+ +b b, =2, =2a a+8+8b b, , =3 =3（a a- -b b），）， =2 =2a a+8+8b b+3+3（a a- -b b）=2=2a a+8+8b b+3+3a a-3-3b b=5=5（a a+ +b b）=5 . 4=5 . 4分分 、 共线，共线，又又它们有公共点它们有公共点B B，A A、B B、D D三点共线三点共线. 6. 6分分ABBCCDCDBCBDABABBD（2 2）解解 k ka a+ +b b与与a a+ +k kb b共线，共线，存在实数存在实数 ，使，使k ka a+ +b b= = ( (a a+ +k kb b),),即即k ka a+ +b b= = a a+ + k kb b. .（k k- - ）a a=( =( k k-1)-1)b b. 9. 9分分a a、b b是不共线的两个非零向量，是不共线的两个非零向量，k k- = - = k k-1=0,-1=0,k k2 2-1=0.-1=0.k k= =1. 121. 12分分 探究提高探究提高 （1 1）向量共线的充要条件中要注意当）向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想想. . （2 2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线量共线且有公共点时，才能得出三点共线. .知能迁移知能迁移3 3 设两个非零向量设两个非零向量e e1 1和和e e2 2不共线不共线. . (1) (1)如果如果 = =e e1 1- -e e2 2, =3, =3e e1 1+2+2e e2 2, =-8, =-8e e1 1-2-2e e2 2, ,求证求证: : A A、C C、D D三点共线；三点共线； （2 2）如果）如果 = =e e1 1+ +e e2 2, =2, =2e e1 1-3-3e e2 2, =2, =2e e1 1- -k ke e2 2, ,且且A A、 C C、D D三点共线，求三点共线，求k k的值的值. . （1 1）证明证明 = =e e1 1- -e e2 2, =3, =3e e1 1+2+2e e2 2, =-8, =-8e e1 1-2-2e e2 2, , =4 =4e e1 1+ +e e2 2= (-8= (-8e e1 1-2-2e e2 2)= , )= , 与与 共线，又共线，又 与与 有公共点有公共点C C， A A、C C、D D三点共线三点共线. .ABBCCDABBCABBCCDBCABAC21CDACCDCDACCD21（2 2）解解 = =（e e1 1+ +e e2 2）+ +（2 2e e1 1-3-3e e2 2）=3=3e e1 1-2-2e e2 2，A A、C C、D D三点共线，三点共线， 与与 共线，共线，从而存在实数从而存在实数 使得使得 = = ，即即3 3e e1 1-2-2e e2 2= (2= (2e e1 1- -k ke e2 2),),由平面向量的基本定理，由平面向量的基本定理， 3=23=2 -2=- -2=- k k, ,解之得解之得 = ,= ,k k= .= .BCABAC2334ACCD得得ACCD方法与技巧方法与技巧1.1.将向量用其他向量（特别是基向量）线性表示，是将向量用其他向量（特别是基向量）线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础. .2.2.首尾相连的若干向量之和等于以最初的起点为起点，首尾相连的若干向量之和等于以最初的起点为起点，最后的终点为终点的向量；若这两点重合，则和为最后的终点为终点的向量；若这两点重合，则和为零向量零向量. .3.3.通过向量的共线可以证明三点共线及多点共线，但通过向量的共线可以证明三点共线及多点共线，但要注意到向量的平行与直线的平行的区别要注意到向量的平行与直线的平行的区别. . 思想方法思想方法 感悟提高感悟提高失误与防范失误与防范1.1.0 0与实数与实数0 0有区别，有区别，0 0的模为数的模为数0 0，它不是没有方向，它不是没有方向，而是方向不定而是方向不定. .0 0可以看成与任意向量平行可以看成与任意向量平行. .2.2.由由a ab b, ,b bc c不能得到不能得到a ac c. .取不共线的向量取不共线的向量a a与与c c，显然有显然有a a0 0, ,c c0 0. .3.3.注意向量加法的三角形法则与向量减法的三角形法注意向量加法的三角形法则与向量减法的三角形法则的根本区别与联系则的根本区别与联系. . 返回返回