两个重要极限PPT课件

上页下页结束返回首页铃一、准则一、准则 I 及第一个重要极限及第一个重要极限二、准则二、准则 II 及第二个重要极限及第二个重要极限1.6 两个重要极限两个重要极限上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页一、准则一、准则 I 及第一个重要极限及第一个重要极限 如果数列xn、yn及zn满足下列条件 (1)ynxnzn(n=1 2 3 ) 准则准则 I （夹逼定理）（夹逼定理）准则准则 I 如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件 (1) g(x)f(x)h(x) (2)lim g(x)=A lim h(x)=A 那么lim f(x)存在 且lim f(x)=A (2)aynn=lim aznn=lim 下页那么数列xn 的极限存在 且nlimxn=a 那么数列xn 的极限存在 且nlimxn=a 上页下页铃结束返回首页第一个重要极限第一个重要极限 显然 BC AB AD(因此 sin x x tan x DB1OCAx1sinlim0=xxx 简要证明简要证明 参看附图 设圆心角AOB=x (2 0 x) 从而 1sincosxxx (此不等式当 x0 时也成立) 因为1coslim0=xx 根据准则 I 1sinlim0=xxx 下页上页下页铃结束返回首页应注意的问题应注意的问题 这是因为 令u=a(x) 则u 0 于是 第一个重要极限第一个重要极限1sinlim0=xxx 在极限)()(sinlimxxaa中 只要a(x)是无穷小 就有 1)()(sinlim=xxaa )()(sinlimxxaa1sinlim0=uuu 下页上页下页铃结束返回首页1sinlim0=xxx 1)()(sinlim=xxaa(a(x)0) 例例1 例例 1 求xxxtanlim0 解解 xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0=1cos1limsinlim00=xxxxx 解解 xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0=1cos1limsinlim00=xxxxxxxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0=1cos1limsinlim00=xxxxxxxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0=1cos1limsinlim00=xxxxx 解解 例例2 例例 2 求20cos1limxxx 解解 20cos1limxxx2112122sinlim21220=xxx20cos1limxxx=220220)21(2sinlim212sin2limxxxxx=2112122sinlim21220=xxx 下页220sin12lim22xxx=上页下页铃结束返回首页1sinlim0=xxx 1)()(sinlim=xxaa(a(x)0) 例例3 解解 解解 例例4 )0, 0.(sinsinlim0nmnxmxx求nxnxnxmxmxmxnxmxxxsinsinlimsinsinlim00=.nm=.sintanlim30 xxxx求2030cos1tanlimsintanlimxxxxxxxxx=200cos1limtanlimxxxxxx=21=下页上页下页铃结束返回首页1sinlim0=xxx 1)()(sinlim=xxaa(a(x)0) 例例5 解解 .arcsinlim0 xxx求,arcsinxy =令,sinyx =则, 0,0yx时当yyxxyxsinlimarcsinlim00=1=下页上页下页铃结束返回首页1sinlim0=xxx 1)()(sinlim=xxaa(a(x)0) 例例6 解解 首页.5tan3sinlimxxx求, tx=令, 0, tx时当53=)55tan()33sin(lim5tan3sinlim0ttxxtx=ttt5tan3sinlim0=535tan533sinlim0ttttt=上页下页铃结束返回首页二、准则二、准则 II 及第二个重要极限及第二个重要极限单调数列单调数列 如果数列xn满足条件x1x2x3 xnxn1 就称数列xn是单调增加的 如果数列x n满足条件x1x2x3 xnxn1 就称数列xn是单调减少的 单调增加和单调减少数列统称为单调数列 下页上页下页铃结束返回首页准则准则II 单调有界数列必有极限 前面曾证明 收敛的数列一定有界 但有界的数列不一定收敛 现在准则II表明 如果数列不仅有界 并且是单调的 那么这个数列一定是收敛的 说明说明下页上页下页铃结束返回首页 可以证明数列xn是单调有界的 根据准则II 数列xn必有极限 这个极限我们用e来表示 即 第二个重要极限第二个重要极限 e是个无理数 它的值是e=2 718281828459045 指数函数y=ex及对数函数y=ln x 中的底就是常数e 设nnnx)11 ( = ennn=)11 (lim 我们还可以证明exxx=)11 (lim 下页上页下页铃结束返回首页第二个重要极限第二个重要极限应注意的问题应注意的问题exxx=)11 (lim 在极限)(1)(1limxxaa中 只要a(x)是无穷小 就有 exx=)(1)(1limaa 这是因为 令)(1xua= 则 u 于是 )(1)(1limxxaaeuuu=)11 (lim 下页上页下页铃结束返回首页 例例7 解解 原式原式)0.()1 (limkkxkxx为自然数，求ke=kkxxxk)1 (lim=下页exxx=)11 (lim exx=)(1)(1limaa(a(x)0) kkxxxk)1(lim= 例例8 解解 原式原式.)13(lim1xxxx求4e=2441)141 (lim=xxx2441)141 (lim)141(lim=xxxxx上页下页铃结束返回首页 例例9 解解 原式原式.)1 (lim30 xxx求3= e)3(10)(1 lim=xxxexxx=)11 (lim exx=)(1)(1limaa(a(x)0) 例例10 解解 原式原式.)cos1 (limsec22xxx求2e=2cos12)cos1 (lim=xxx结束