巧用向量证明不等式

精品资源巧用向量证明不等式对不等式的证明，若认真分析某些不等式的条件和结论，构造适当的向量，利用向量数量积的性质，可使证明过程变得简捷，下面举例加以说明。例1.已知 a, bWR,求证：j wa2 :b2。证明：设 m=(a, b), n=(1, 1),由 m n =|m|卜n|cos8 (8为 m, n 的夹角)得|m n|2 |m|2 |n|2,即有(a +b)2 2(a2 +b2),故 +b 丫 b c,求证： + 0。a -b b-c c - a证明：设 m = 1,1 I， n = 3a _ b , Jb _c 广 由 a A b A c 和Ja -bVb -c 72222 f 11)(1 +1) 4m n| qm| |n| =+(a c)，,a - b b-c得之a b b-c a - c a - c故 一1 + -1 + -1 0。a - b b-c c - a例 3.求证：ac + bdw%a2 +b2 vc2 +d2。证明：设 m = (a, b), n = (c, d)丁 m n |m|n|,ac bd 三 a2 b2, c2 d 2111例4.已知a, b, c都是正数，且a +b +c = 1,求证：-+1 +1 9 o ab c1 ,由 |m n|2 c,且 十 n 恒成立，则 n的最大值为 。a - b b-c a - c2 .右 x , y u R,求证： (x+y) - + ( 4 x y3 .已知 a, bR, m, n eR*, m2n2 a2m2 +b2n2, 4M=；m2+n2, N=a+b,则 M 与 N的关系是()A. M NB. M 二 NC. M = ND.不能确定欢迎下载