人教版 高中数学【选修 21】专题04直击轨迹方程问题特色专题训练

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人教版高中数学精品资料一、选择题1【北京通州潞河中学2016-2017高二上学期期中】已知正方形的四个顶点分别为, , , ,点, 分别在线段, 上运动,且,设与交于点,则点的轨迹方程是( ).A. B. C. D. 【答案】A本题选择A选项.点睛:求轨迹方程的常用方法(1)直接法:直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)0.(2)待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程(3)定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程(4)代入(相关点)法:动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而运动,常利用代入法求动点P(x,y)的轨迹方程2【云南省昆明一中2018届高三第二次月考】已知点, ,动点满足,则点的轨迹为( )A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线【答案】B【解析】点的坐标为,则,化简可得,所以点的轨迹为圆,选B3【四川省宜宾市南溪区第二中学校2016-2017学年高二上学期第8周周考】设A为圆(x1)2y21上的动点,PA是圆的切线且|PA|1,则P点的轨迹方程是()A. (x1)2y24 B. (x1)2y22 C. y22x D. y22x【答案】B【解析】设圆(x1)2y21圆心为C,则P点的轨迹方程是(x1)2y22,选B.点睛:求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法:直接法:直接根据题目提供的条件列出方程定义法:根据圆、直线等定义列方程几何法:利用圆的几何性质列方程代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等4【四川省达州市高级中学高2015级零诊】若方程C: (是常数)则下列结论正确的是( )A. ,方程C表示椭圆 B. ,方程C表示双曲线C. ,方程C表示椭圆 D. ,方程C表示抛物线【答案】B不论 取何值,方程C: 中没有一次项 方程不能表示抛物线,故D项不正确综上所述,可得B为正确答案故选B5【江西师大附中2017-2018学年上学期高二10月月考】动圆M与圆外切,与圆内切,则动圆圆心M的轨迹方程是( )A. B. C. D. 【答案】B点睛:求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法:直接法:直接根据题目提供的条件列出方程定义法:根据圆、直线等定义列方程几何法:利用圆的几何性质列方程代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等二、解答题6【2017-2018学年贵州省遵义市航天高级中学高三(上)10月月考】已知点P是圆F1:(x1)2+y2=8上任意一点,点F2与点F1关于原点对称,线段PF2的垂直平分线分别与PF1,PF2交于M,N两点(1)求点M的轨迹C的方程;(2)过点G(0, )的动直线l与点的轨迹C交于A,B两点,在y轴上是否存在定点Q,使以AB为直径的圆恒过这个点?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由【答案】(1) (2)在y轴上存在定点Q(0,1),使以AB为直径的圆恒过这个点【解析】试题分析:(1)由圆的方程求出F1、F2的坐标,结合题意可得点M的轨迹C为以F1,F2为焦点的椭圆,并求得a,c的值,再由隐含条件求得b,则椭圆方程可求;(2)直线l的方程可设为 ,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线方程与椭圆方程,化为关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系求出A,B横坐标的和与积,假设在y轴上是否存在定点Q(0,m),使以AB为直径的圆恒过这个点,可得 ,即 利用向量的坐标运算即可求得m值,即定点Q得坐标(2)直线l的方程可设为,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立 可得9(1+2k2)x2+12kx16=0则+= , = ,假设在y轴上是否存在定点Q(0,m),使以AB为直径的圆恒过这个点,则,即 , = + = + ,解得m=1因此,在y轴上存在定点Q(0,1),使以AB为直径的圆恒过这个点点睛:本题考查椭圆的简单性质,考查直线与椭圆位置关系的应用,考查计算能力,第一问中求轨迹问题主要是采用了定义法,除此以外还有直接法,相关点法,消参法等.7【山西实验中学、南海桂城中学2018届高三上学期联考】设点的坐标分别为,直线相交于点,且它们的斜率之积.(1)求点的轨迹方程;(2)在点的轨迹上有一点且点在轴的上方, ,求的范围.【答案】(1);(2).【解析】试题分析:(1)设点的坐标为,表示出两直线的斜率,利用斜率之积等于建立方程,化简即可求出轨迹方程;(2)点的坐标为,利用斜率公式及夹角公式,可得的关系,再结合点在椭圆上消元后根据椭圆的范围建立不等关系,即可解出的范围.化简,得点的轨迹方程为方法一:设点的坐标为,过点作垂直于轴,垂足为,因为点的坐标为在点的轨迹上,所以所以解得.方法二:设点的坐标为,点的坐标分别为直线的斜率,直线的斜率由得所以(1)又由于点的坐标为为在点的轨迹上,所以得,代入(1)得.因为, ,.所以解得.又由于点的坐标为为在点的轨迹上,所以代入(1)得, , ,.所以解得.方法四:设点的坐标为,点的坐标分别为直线的斜率,直线的斜率由得所以(1)方法五设点的坐标为,点的坐标分别为直线的斜率,直线的斜率由得 .所以解得.点睛:本题主要考查了轨迹方程及直线与椭圆的位置关系,是高考的必考点,属于难题求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程,求出即可,注意的应用;涉及直线与圆锥曲线相交时,未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程,要特别注意直线斜率是否存在的问题,避免不分类讨论造成遗漏,然后要联立方程组,得一元二次方程,利用根与系数关系写出,再根据具体问题应用上式,其中要注意判别式条件的约束作用8【北京昌平一中2016-2017学年高二上学期期中】已知点的坐标为,圆的方程为,动点在圆上运动,点为延长线上一点,且(1)求点的轨迹方程(2)过点作圆的两条切线, ,分别与圆相切于点, ,求直线的方程,并判断直线与点所在曲线的位置关系【答案】(1)(2),相交试题解析:(1)设,点的坐标为,动点在圆上运动,点为延长线上一点,且,则点为, 的中点,所以得代入圆的方程(2)过点作圆的两条切线, ,分别与圆相切于点, ,则 ,则,设圆以为圆心,以为半径,则EF为圆与圆的公共弦,联立, ,作差得直线EF方程, ,相交点睛:本题主要考查了直线与圆的方程的应用,第一问求轨迹的方程是相关点法,设所求点的坐标为,找出所求点与已知点的等量关系,借助已知点所满足的方程求出所求,此外还有定义法,直接法,参数法.9【云南省德宏州芒市第一中学2017-2018学年高二上学期期中】已知圆C: 为坐标原点,动点在圆外,过作圆的切线,设切点为M.若点P运动到(1,3)处,求此时切线;求满足条件的点P的轨迹方程.【答案】(1) 或;(2)【解析】试题分析:(1)对切线的斜率是否存在分类讨论,用点斜式求得直线方程;(2)设出P点的坐标,代入两点间距离公式,化简即可得轨迹方程.(2)设,则,由得: ,化简得: 点睛:本题主要考查直线与圆相切,点斜式求直线方程,分类讨论,轨迹方程的求法等,属于中档题.注意解决本类问题时,要使用直线和圆相切的性质,设直线时注意分类讨论,分析斜率存在与不存在两种情形,严防漏解,求轨迹方程时一般先设出动点坐标,再根据条件建立关于的关系,化简即可求出轨迹方程.10【北京市西城鲁迅中学2016-2017学年高二上学期期中】两点,曲线上的动点满足()求曲线的方程()曲线上是否存在点,使得?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由【答案】(1) (2) 存在和【解析】试题分析:(1)根据椭圆定义判断并确定基本量,写出其标准方程(2)设点坐标,利用向量数量积得点坐标关系式,再与椭圆方程联立解方程组可得点的坐标()假设存在点,存在和,满足条件11【云南省昆明一中2018届高三一模】已知动点满足: .(1)求动点的轨迹的方程;(2)设过点的直线与曲线交于两点,点关于轴的对称点为(点与点不重合),证明:直线恒过定点,并求该定点的坐标.【答案】(1);(2)直线过定点 ,证明见解析.试题解析:(1)由已知,动点到点, 的距离之和为,且,所以动点的轨迹为椭圆,而, ,所以,所以,动点的轨迹的方程: . (2)设, ,则,由已知得直线的斜率存在,设斜率为,则直线的方程为: 由得,所以, , 直线的方程为: ,所以,令,则,所以直线与轴交于定点.12【湖北省沙市中学2017-2018学年高二上学期第三次双周考】已知A,B分别是直线yx和yx上的两个动点,线段AB的长为,D是AB的中点(1)求动点D的轨迹C的方程;(2)若过点(1,0)的直线l与曲线C交于不同两点P、Q,当|PQ|3时,求直线l的方程。【答案】(1)x2y23.(2).【解析】试题分析:(1)设A(a,a),B(b,b),根据AB的长为2得(ab)2(ab)212,再根据D是AB的中点得ab=2y,a+b=2x,代入化简可得点D的轨迹C的方程(2)设直线点斜式方程,根据垂径定理列式解斜率,最后讨论斜率不存在时是否满足题意。 (2) 当直线l与x轴垂直时,P(1,),Q(1,),此时|PQ|2,不符合题意;当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为yk(x1),由于|PQ|3,所以圆心C到直线l的距离为,由,解得k.故直线l的方程为y(x1).13【2018届云南省名校月考(一)】已知分别是椭圆的左、右焦点,动点在上,连结并延长至点,使得,设点的轨迹为.(1)求的方程;(2)设为坐标原点,点,连结交于点,若直线的斜率与直线的斜率存在且不为零,证明: 这两条直线的斜率之比为定值.【答案】(1);(2)2试题解析:(1)设椭圆的长轴为,短轴长为,焦距为,则,所以.因为,所以,又点在上,故,所以.设,则,化简得.所以.14【云南省昆明一中2018届高三第二次月考】已知点在圆上, 的坐标分别为, ,线段的垂直平分线交线段于点(1)求点的轨迹的方程;(2)设圆与点的轨迹交于不同的四个点,求四边形的面积的最大值及相应的四个点的坐标.【答案】(1)(2)矩形的面积的最大值为,此时,四个点的坐标为: , , , 【解析】试题分析:(1)由线段垂直平分线性质得,再根据椭圆定义确定轨迹,最后根据基本量求方程(2)由题意得四边形为矩形,各点关于对称轴对称,因此可设点坐标,表示四边形的面积,再根据基本不等式求最值,最后求对应点坐标试题解析:解:()由已知得: ,而,所以点的轨迹是以, 为焦点,长轴长的椭圆,设,所以点的轨迹的方程: 15【河北省定州中学2017-2018学年高二上学期第一次月考】如图,设 与定点 的距离和它到直线 的距离的比是常数, (1)求点 的轨迹曲线的方程: (2)过定点的直线 交曲线于 两点,以 三点( 为坐标原点)为顶点作平行四边形 ,若点刚好在曲线上,求直线 的方程【答案】(1) ;(2) ;【解析】试题分析:()设点M的坐标为M(x,y),结合点到直线距离公式可得,整理可得曲线C的方程为.()很明显直线斜率不存在时不满足题意,当直线斜率存在时,联立直线与椭圆方程,结合韦达定理得到关于斜率的方程,解方程可得,则直线 的方程是.()当直线l 2的斜率不存在时,显然不适合题意;当直线l 2的斜率存在时,设直线l 2的方程:联立方程:,得,设,则,即P,又点P刚好在曲线C上,解得:.所以直线l 2的方程为:16【四川省宜宾市南溪区第二中学校2016-2017学年高二12月月考】已知动点到定点的距离与到直线的距离之比为.(1)求点的轨迹的方程; (2)过点的直线与曲线交于两点,且为线段中点,求直线的方程.【答案】(1)(2)【解析】试题分析:(1)按照题目意思点到点的距离与点到线的距离成比例列出轨迹方程(2)因为知道中点,可以采用点差法求得直线方程。试题解析: 到定点的距离与到直线的距离之比为 (3分)点的轨迹的方程为.注:此题如果直接当成椭圆的标准方程来计算酌情扣分.又 , ,直线的方程为解法二:设,中点不在轴上,.设联立 直线的方程为点睛:当题目的条件里给出了“某条直线与曲线相交两点,一点为中点”并给出点坐标时,往往可以运用点差法求出直线斜率,然后再求出直线方程。将问题转化为其几何意义,先求斜率再求直线方程。17【江西科技学院附属中学2017-2018学年上学期高二第一次月考】已知, ,动点满足.设动点的轨迹为.(1)求动点的轨迹方程;(2)设直线交轨迹于两点,是否存在以线段为直径的圆经过?若存在,求出实数的值;若不存在,说明理由.【答案】(1)见解析(2).【解析】试题分析:(1)先将条件化简即得动点M的轨迹方程,并说明轨迹C是图形:轨迹C是以(-2,0)为圆心,2为半径的圆;(2)对于存在性问题,可先假设存在,即存在以线段PQ为直径的圆经过A,再利用PAQA,求出m的长,若出现矛盾,则说明假设不成立,即不存在;否则存在18【湖北省黄冈中学2017届高三下学期高考三模】如图,在平面直角坐标系中,已知圆: ,点,点(),以为圆心, 为半径作圆,交圆于点,且的平分线交线段于点.(1)当变化时,点始终在某圆锥曲线上运动,求曲线的方程;(2)已知直线 过点 ,且与曲线交于两点,记面积为, 面积为,求的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】试题分析:(I)推导出QABQPB,从而QC+QA=4,由椭圆的定义可知,Q点的轨迹是以C,A为焦点, 的椭圆,由此能求出点Q的轨迹方程(II)设直线l:x=my-1,设M(x1,y1),N(x2,y2),推导出,由得,由此利用根的判别式、韦达定理,结合已知条件求出的取值范围.(2)由题可知,设直线 : ,不妨设 , , .19【四川省宜宾市南溪区第二中学校2016-2017学年高二上学期期末】已知点是平面直角坐标系中的动点,在中,.() 求点的轨迹的方程及求的周长的取值范围;() 直线与轨迹的另一交点为,求的取值范围.【答案】(1) 点的轨迹方程为. 的周长的取值范围 (2) 【解析】试题分析:()利用直接法求点 的轨迹的方程;利用特殊位置,即可求 的周长的取值范围;()直线 与轨迹的另一交点为 , ,利用韦达定理,即可求的取值范围试题解析:()由已知有,点的轨迹方程为. 在中,则的周长的周长的取值范围.【点睛】本题考查轨迹方程,考查直线与圆的位置关系的运用,对学生的思维能力和计算能力要求较高20【广东省汕头市金山中学2018届高三上学期期中】在平面直角坐标系中,设点 (1,0),直线: ,点在直线上移动, 是线段与轴的交点, 异于点R的点Q满足: , .(1)求动点的轨迹的方程;(2) 记的轨迹的方程为,过点作两条互相垂直的曲线的弦. ,设. 的中点分别为问直线是否经过某个定点?如果是,求出该定点,如果不是,说明理由【答案】() ;()以直线恒过定点 【解析】试题分析: (1)由已知条件知,点R是线段FP的中点,RQ是线段FP的垂直平分线,点Q的轨迹E是以F为焦点,l为准线的抛物线,写出抛物线标准方程(2)设出直线AB的方程,把A、B坐标代入抛物线方程,再利用中点公式求出点M的坐标,同理可得N的坐标,求出直线MN的斜率,得到直线MN的方程并化简,可看出直线MN过定点其方程为: () 设, ,由ABCD,且AB、CD与抛物线均有两个不同的交点,故直线AB、CD斜率均存在,设直线AB的方程为 则(1)(2)得,即, 代入方程,解得所以点的坐标为同理可得: 的坐标为 直线的斜率为,方程为,整理得, 显然,不论为何值, 均满足方程,所以直线恒过定点
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