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第6讲对数与对数函数一、填空题1已知函数f(x)则f_.解析因为flog22，所以ff(2)32.答案2函数yln(1x)的图象大致为_解析由1x>0，知x<1，排除、；设t1x(x<1)，因为t1x为减函数，而yln t为增函数，所以yln(1x)为减函数，故选.答案3若实数x满足log3 x1sin ，则|x1|x9|的值为_解析log3 x1sin 0,2，x31sin 1,9，|x1|x9|x19x8.答案84已知函数f(x)若f(32a2)f(a)，则实数a的取值范围为_解析画图象可得f(x)是(，)上连续的单调减函数，于是由f(32a2)f(a)，得32a2a，即2a2a30，解得a或a1.答案(1，)5已知函数f(x)lg x若f(ab)1，则f(a2)f(b2)_.解析 f(x)lg x，f(ab)1，lg(ab)1，f(a2)f(b2)lg a2lg b22lg a2 lg b2lg(ab)2.答案 26已知2a5b，则_.解析 2a5b，alog2，blog5，利用换底公式可得：log2log5log102.答案 27设a>0且a1，函数f(x)alg(x22x3)有最大值，则不等式loga(x25x7)>0的解集为_解析 函数ylg(x22x3)有最小值，f(x)alg(x22x3)有最大值，0<a<1.由loga(x25x7)>0，得0<x25x7<1，解得2<x<3.不等式loga(x25x7)>0的解集为(2,3)答案 (2,3)8定义在R上的奇函数f(x)，当x(0，)时，f(x)log2x，则不等式f(x)<1的解集是_解析 由已知条件可知，当x(，0)时，f(x)log2(x)当x(0，)时，f(x)<1，即为log2x<1，解得0<x<；当x(，0)时，f(x)<1，即为log2(x)<1，解得x<2.所以f(x)<1的解集为(，2).答案 (，2)9函数f(x)log(x22x3)的单调递增区间是_解析设tx22x3，则ylogt.由t0解得x1或x3，故函数的定义域为(，1)(3，)tx22x3(x1)24在(，1)上为减函数，在(3，)上为增函数而函数ylogt为关于t的减函数，所以函数f(x)的单调增区间为(，1)答案(，1)10已知表中的对数值有且只有一个是错误的.x35689lg x2abac11abc3(1ac)2(2ab)试将错误的对数值加以改正为_解析由2ablg 3，得lg 92lg 32(2ab)，从而lg 3和lg 9正确，假设lg 5ac1错误，由得所以lg 51lg 2ac.因此lg 5ac1错误，正确结论是lg 5ac.答案lg 5ac二、解答题11已知函数f(x)loga(3ax)(a0，且a1)(1)当x0,2时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由解(1)由题设知3ax>0对一切x0,2恒成立，又a>0且a1，故g(x)3ax在0,2上为减函数，从而g(2)32a>0，所以a<，所以a的取值范围为(0,1).(2)假设存在这样的实数a，由题设知f(1)1，即loga(3a)1，得a，此时f(x)log，当x2时，f(x)没有意义，故这样的实数a不存在12已知函数f(x)32log2x，g(x)log2x.(1)当x1,4时，求函数h(x)f(x)1·g(x)的值域；(2)如果对任意的x1,4，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围解 (1)h(x)(42log2x)·log2x2(log2x1)22，因为x1,4，所以log2x0,2，故函数h(x)的值域为0,2(2)由f(x2)·f()>k·g(x)得(34log2x)(3log2x)>k·log2x，令tlog2x，因为x1,4，所以tlog2x0,2，所以(34t)(3t)>k·t对一切t0,2恒成立，当t0时，kR；当t(0,2时，k<恒成立，即k<4t15，因为4t12，当且仅当4t，即t时取等号，所以4t15的最小值为3，综上，k(，3)13已知函数f(x)loga(x1)(a>1)，若函数yg(x)图象上任意一点P关于原点对称的点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象(1)写出函数g(x)的解析式；(2)当x0,1)时总有f(x)g(x)m成立，求m的取值范围解 (1)设P(x，y)为g(x)图象上任意一点，则Q(x，y)是点P关于原点的对称点，Q(x，y)在f(x)的图象上，yloga(x1)，即yg(x)loga(1x)(2)f(x)g(x)m，即logam.设F(x)loga，x0,1)，由题意知，只要F(x)minm即可F(x)在0,1)上是增函数，F(x)minF(0)0.故m0即为所求14已知函数f(x)xlog2.(1)求ff的值；(2)当x(a，a，其中a(0,1)，a是常数时，函数f(x)是否存在最小值？若存在，求出f(x)的最小值；若不存在，请说明理由解(1)由f(x)f(x)log2log2log210.ff0.(2)f(x)的定义域为(1,1)，f(x)xlog2(1)，当x1<x2且x1，x2(1,1)时，f(x)为减函数，当a(0,1)，x(a，a时f(x)单调递减，当xa时，f(x)minalog2.5
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