2020数学文高考二轮专题复习与测试:第二部分 专题七第1讲 坐标系与参数方程选修44 Word版含解析

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A 级级基础通关基础通关1(2018江苏卷江苏卷)在极坐标系中,直线在极坐标系中,直线 l 的方程为的方程为sin(6)2,曲线曲线 C 的方程为的方程为4cos ,求直线,求直线 l 被曲线被曲线 C 截得的弦长截得的弦长解:解:因为曲线因为曲线 C 的极坐标方程为的极坐标方程为4cos ,所以曲线所以曲线 C 是圆心为是圆心为(2,0),直径为,直径为 4 的圆的圆因为直线因为直线 l 的极坐标方程为的极坐标方程为sin(6)2,则直线则直线 l 过过 A(4,0),倾斜角为,倾斜角为6,所以所以 A 为直线为直线 l 与圆与圆 C 的一个交点的一个交点设另一个交点为设另一个交点为 B,则,则OAB6.如图,连接如图,连接 OB.因为因为 OA 为直径,从而为直径,从而OBA2,所以所以 AB4cos62 3.因此,直线因此,直线 l 被曲线被曲线 C 截得的弦长为截得的弦长为 2 3.2(2018全国卷全国卷)在直角坐标系在直角坐标系 xOy 中,曲线中,曲线 C 的参数方程为的参数方程为x2cos ,y4sin (为参数为参数),直线,直线 l 的参数方程为的参数方程为x1tcos ,y2tsin (t 为参数为参数)(1)求求 C 和和 l 的直角坐标方程;的直角坐标方程;(2)若曲线若曲线 C 截直线截直线 l 所得线段的中点坐标为所得线段的中点坐标为(1,2),求,求 l 的斜率的斜率解:解:(1)曲线曲线 C 的直角坐标方程为的直角坐标方程为x24y2161.当当 cos 0 时,时,l 的直角坐标方程为的直角坐标方程为 ytan x2tan ,当当 cos 0 时,时,l 的直角坐标方程为的直角坐标方程为 x1.(2)将将 l 的参数方程代入的参数方程代入 C 的直角坐标方程的直角坐标方程, 整理得关于整理得关于 t 的方程的方程(13cos2)t24(2cos sin )t80.因为曲线因为曲线 C 截直线截直线 l 所得线段的中点所得线段的中点(1,2)在在 C 内,内,所以所以有两个解,设为有两个解,设为 t1,t2,则,则 t1t20.又由又由得得 t1t24(2cos sin )13cos2,故故 2cos sin 0,于是直线,于是直线 l 的斜率的斜率 ktan 2.3在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,以原点以原点 O 为极点为极点,x 轴的正半轴为极轴轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位已知直线建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位已知直线 l 的参数的参数方程为方程为x 3t,y1 3t(t 为参数为参数),曲线,曲线 C 的极坐标方程为的极坐标方程为4sin3 .(1)求直线求直线 l 的普通方程与曲线的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程;的直角坐标方程;(2)若直线若直线 l 与曲线与曲线 C 交于交于 M,N 两点,求两点,求MON 的面积的面积解:解:(1)由由x 3t,y1 3t,消去参数消去参数 t 得得3xy4,所以直线所以直线 l 的普通方程为的普通方程为3xy40.由由4sin3 2sin 2 3cos ,得得22sin 2 3cos ,即,即 x2y22 3x2y.所以曲线所以曲线 C 的直角坐标方程是圆的直角坐标方程是圆(x 3)2(y1)24.(2)因为原点因为原点 O 到直线到直线 l 的距离的距离 d|4|( 3)2122.直线直线 l 过圆过圆 C 的圆心的圆心( 3,1),所以,所以|MN|2r4,所以所以MON 的面积的面积 S12|MN|d4.4(2019佛山检测佛山检测)在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中中,直线直线 l 的参数方程的参数方程为为xm2t,y 2t(t 为参数为参数),以坐标原点为极点以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为的极坐标方程为241sin2.(1)求直线求直线 l 的普通方程和曲线的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程;的直角坐标方程;(2)设设 P 为曲线为曲线 C 上的点上的点, PQl, 垂足为垂足为 Q, 若若|PQ|的最小值为的最小值为 2,求求 m 的值的值解:解:(1)因为曲线因为曲线 C 的极坐标方程为的极坐标方程为241sin2,则则22sin24,将将2x2y2,sin y 代入上式并化简得代入上式并化简得x24y221,所以曲线所以曲线 C 的直角坐标方程为的直角坐标方程为x24y221.由由xm2t,y 2t,消去参数消去参数 t 得得 x 2ym,所以直线所以直线 l 的普通方程为的普通方程为 x 2ym0.(2)设设 P(2cos , 2sin ),由点到直线的距离公式得,由点到直线的距离公式得|PQ|2cos 2sin m|3|2 2cos4 m|3,由题意知由题意知 m0,当当 m0 时,时,|PQ|min|2 2m|32,得,得 m2 32 2;当当 m0 时,时,|PQ|min|2 2m|32,得,得 m2 32 2,所,所以以m2 322或或 m2 32 2.5(2017全国卷全国卷)在直角坐标系在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1的极坐标方程为的极坐标方程为cos 4.(1)M 为曲线为曲线 C1上的动点,点上的动点,点 P 在线段在线段 OM 上,且满足上,且满足|OM|OP|16,求点,求点 P 的轨迹的轨迹 C2的直角坐标方程;的直角坐标方程;(2)设点设点 A 的极坐标为的极坐标为2,3 ,点,点 B 在曲线在曲线 C2上,求上,求OAB 面积面积的最大值的最大值解解:(1)设设 P 的极坐标为的极坐标为(,)(0),M 的极坐标为的极坐标为(1,)(10)由题设知由题设知|OP|,|OM|14cos .由由|OM|OP|16 得得C2的极坐标方程为的极坐标方程为4cos (0)因此因此 C2的直角坐标方程为的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点设点 B 的极坐标为的极坐标为(B,)(B0)由题设知由题设知|OA|2,B4cos ,于是,于是OAB 的面积的面积S12|OA|BsinAOB4cos |sin3|2|sin23 32|2 3.当当12时,时,S 取得最大值取得最大值 2 3.所以所以OAB 面积的最大值为面积的最大值为 2 3.6 (2018全国卷全国卷)在直角坐标系在直角坐标系 xOy 中中, 曲线曲线 C1的方程为的方程为 yk|x|2.以坐标原点为极点,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的的极坐标方程为极坐标方程为22cos 30.(1)求求 C2的直角坐标方程;的直角坐标方程;(2)若若 C1与与 C2有且仅有三个公共点,求有且仅有三个公共点,求 C1的方程的方程解:解:(1)由由 xcos ,ysin 得得 C2的直角坐标方程为的直角坐标方程为(x1)2y24.(2)由由(1)知知 C2是圆心为是圆心为 A(1,0),半径为,半径为 2 的圆的圆由题设知由题设知,C1是过点是过点 B(0,2)且关于且关于 y 轴对称的两条射线轴对称的两条射线记记 y 轴轴右边的射线为右边的射线为 l1,y 轴左边的射线为轴左边的射线为 l2.由于点由于点 B 在圆在圆 C2的外面的外面,故故 C1与与 C2有且仅有三个公共点等价有且仅有三个公共点等价于于l1与与 C2只有一个公共点且只有一个公共点且 l2与与 C2有两个公共点,或有两个公共点,或 l2与与 C2只有一个只有一个公共点且公共点且 l1与与 C2有两个公共点有两个公共点当当 l1与与 C2只有一个公共点时,只有一个公共点时,A 到到 l1所在直线的距离为所在直线的距离为 2,所以,所以|k2|k212,解得,解得 k43或或 k0.经检验,当经检验,当 k0 时,时,l1与与 C2没有公共点;没有公共点;当当 k43时,时,l1与与 C2只有一个公共点,只有一个公共点,l2与与 C2有两个公共点有两个公共点当当 l2与与 C2只有一个公共点时只有一个公共点时,点点 A 到到 l2所在直线的距离为所在直线的距离为 2,所所以以|k2|k212,故,故 k0 或或 k43.经检验,当经检验,当 k0 时,时,l1与与 C2没有公共点;没有公共点;当当 k43时,时,l2与与 C2没有公共点没有公共点综上,所求综上,所求 C1的方程为的方程为 y43|x|2.B 级级能力提升能力提升7 在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中中, 以以 O 为极点为极点, x 轴的正半轴为极轴轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为的极坐标方程为2sin 2acos (a0);直;直线线 l 的参数方程为的参数方程为x222t,y22t(t 为参数为参数) 直线直线 l 与曲线与曲线 C 分别交分别交于于M,N 两点两点(1)写出曲线写出曲线 C 的直角坐标方程和直线的直角坐标方程和直线 l 的普通方程;的普通方程;(2)若点若点 P 的极坐标为的极坐标为(2,),|PM|PN|5 2,求,求 a 的值的值解:解:(1)由由2sin 2acos (a0),得,得22sin 2acos (a0),所以曲线所以曲线 C 的直角坐标方程为的直角坐标方程为 x2y22y2ax,即即(xa)2(y1)2a21.由直线由直线 l 的参数方程得直线的参数方程得直线 l 的普通方程为的普通方程为 yx2.(2)将直线将直线 l 的参数方程的参数方程x222t,y22t.代入代入 x2y22y2ax,化简得,化简得 t2(3 2 2a)t4a40.(3 2 2a)24(4a4)0,解得,解得 a1.t1t23 2 2a,t1t24a4.又因为又因为 a0,所以,所以 t10,t20.因为点因为点 P 的直角坐标为的直角坐标为(2,0),且在直线,且在直线 l 上,上,所以所以|PM|PN|t1|t2|3 2 2a5 2,解得解得 a2,此时满足,此时满足 a0,且,且 a1,故,故 a2.8(2019珠海检测珠海检测)在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中,曲线中,曲线 C1的参数方的参数方程为程为xt,y4t2(t 为参数为参数),以原点以原点 O 为极点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线坐标系,曲线 C2的极坐标方程为的极坐标方程为2msin cos .(1)求求 C1的普通方程和的普通方程和 C2的直角坐标方程;的直角坐标方程;(2)若若 C1与与 C2交于交于 P,Q 两点,求两点,求1kOP1kOQ的值的值解:解:(1)由由xt,y4t2(t 为参数为参数),消去参数,消去参数 t,得,得 x214y,则则 C1的普通方程为的普通方程为 x214y.由由2msin cos ,得,得 msin cos 2,将将 xcos ,ysin 代入,得代入,得 myx20,即即 C2的直角坐标方程为的直角坐标方程为 xmy20.(2)由由xt,y4t2(t 为参数为参数),可得,可得yx4t(x0),故故 4t 的几何意义是抛物线的几何意义是抛物线 x214y 上的点上的点(原点除外原点除外)与原点连线的与原点连线的斜率斜率由由(1)知知,当当 m0 时时,C2:x2,则则 C1与与 C2只有一个交点只有一个交点,故故 m0.把把xt,y4t2(t 为参数为参数)代入代入 xmy20,得得 4mt2t20,设此方程的两根分别为,设此方程的两根分别为 t1,t2,则则 t1t214m,t1t212m,所以所以1kOP1kOQ14t114t2t1t24t1t214m412m18.
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