高考数学复习：第九章 ：第六节数学归纳法演练知能检测

精品资料第六节数学归纳法全盘巩固1用数学归纳法证明不等式1(nN*)成立，其初始值至少应取()A7 B8 C9 D10解析：选B左边12，代入验证可知n的最小值是8.2用数学归纳法证明“1aa2an1(a1)”，在验证n1时，左端计算所得的项为()A1 B1a C1aa2 D1aa2a3解析：选C等式的左端为1aa2an1，当n1时，左端1aa2.3利用数学归纳法证明不等式1的过程中，由nk推导nk1时，不等式的左边增加的式子是_解析：不等式的左边增加的式子是，故填.答案：8已知数列an满足a11，an1an1(nN*)，通过计算a1，a2，a3，a4，可猜想an_.解析：a11，a2a11，a3a21，a4a31.猜想an.答案：9设平面内有n条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)_；当n4时，f(n)_(用n表示)解析：f(3)2，f(4)f(3)3235，f(n)f(3)34(n1)234(n1)(n1)(n2)答案：5(n1)(n2)来源:10用数学归纳法证明下面的等式：12223242(1)n1n2(1)n1.证明：(1)当n1时，左边121，右边(1)01，原等式成立(2)假设nk(kN*，k1)时，等式成立，来源:即有12223242(1)k1k2(1)k1.那么，当nk1时，则有12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k(k1)2(1)kk2(k1)(1)k.nk1时，等式也成立，由(1)(2)知对任意nN*，有12223242(1)n1n2(1)n1.11设数列an满足a13，an1a2nan2，n1,2,3，.(1)求a2，a3，a4的值，并猜想数列an的通项公式(不需证明)；(2)记Sn为数列an的前n项和，试求使得Sn2n成立的最小正整数n，并给出证明解：(1)a25，a37，a49，猜想an2n1.(2)Snn22n，使得Snn22n.n6时，266226，即6448成立；假设nk(k6，kN*)时，2kk22k成立，那么2k122k2(k22k)k22kk22kk22k32k(k1)22(k1)，即nk1时，不等式成立；由可得，对于任意的n6(nN*)都有2nn22n成立12(2014舟山模拟)若不等式对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明结论解：当n1时，即，所以a.(1)当n1时，已证得不等式成立(2)假设当nk(kN*)时，不等式成立，即.则当nk1时，有.因为0，所以当nk1时不等式也成立由(1)(2)知，对一切正整数n，都有来源:，所以a的最大值等于25.冲击名校已知数列an满足a10，a21，当nN*时，an2an1an.求证：数列an的第4m1项(mN*)能被3整除证明：(1)当m1时，a4m1a5a4a3(a3a2)(a2a1)(a2a1)2a2a13a22a1303.即当m1时，第4m1项能被3整除故命题成立(2)假设当mk时，a4k1能被3整除，则当mk1时，a4(k1)1a4k5a4k4a4k32a4k3a4k22(a4k2a4k1)a4k23a4k22a4k1.来源:显然，3a4k2能被3整除，又由假设知a4k1能被3整除所以3a4k22a4k1能被3整除即当mk1时，a4(k1)1也能被3整除命题也成立由(1)和(2)知，对于任意nN*，数列an中的第4m1项能被3整除