第4章多自由度系统的振动题解

4-1 在题 3-10 中，设 mi=m2=m.,(m1+ m2)gm2g ,m2k1 =匕 +，k21I1I 2I 2m?gm2gk12 一 ?k22_ k2 +I 2I2代入 mt = m2 = m，k=k?=0 ， h =2 = I可求出刚度矩阵K和质量矩阵M一 3mgmg 1"m0 1IIM = I1；K =i1mmgmg-II 一gIi = l2=l，ki=k2=0，求系统的固有频率和主振型。 解：由题3-10的结果由频3mg-mp ImgImgI mgmpI4m2gPil2=0(2 ' 2) g为求系统主振型，先求出mgadjB2mpImgIadjB1的第一列分别将频率值Pi和P2代入,得系统的主振型矩阵为卜$ -1A©1-1 -.1 一(1)A 二634-2题4-2图所示的均匀刚性杆质量为mi，求系统的频率方程。解：设杆的转角二和物块位移x为广义坐标。利用刚 度影响系数法求刚度矩阵k。设V -1,x=：0，画出受力图，并施加物体力偶与力ku , k2i，由平衡条件得到,题4-2图2 2ki 二 kb k?a ，k 21#ki2, k22，由平衡条件得到,ki2 = k2 a ，得作用力方程为k 22-1 - 3a2 k-2o o-.- X .由频率方程K - p 2 M =0，得2kib2 1 2 2 -k?a -一 mia p3- k? a2k?a - m2 p4-3题4-3图所示的系统中，两根长度为I的均匀刚性杆的质量为 mi及m2，求系统设V -0, x =1，画出受力图，并施加物体力偶与力#题4-3图的刚度矩阵和柔度矩阵，并求出当mi=m2=m和 ki=k2=k时系统的固有频率。解：如图取 九亠为广义坐标，分别画受力图 由动量矩定理得到，-33331门=-ki I R I - ki I v2 I4444-3333I II 26 = ki I 為 I - ki I 二2I - k22 444422整理得到，99 2cI li kiI = - bI 2 = 06i6659R (匕 I16912 R - 匕 I162I .川,k 2) r 2 二 04#则刚度矩阵和柔度矩阵分别得,169IL 16169 2I &1621k14k2系统的质量矩阵为lmJ23I2由频率方程=0，9 2 I 161 adj K72m2I 48并代入已知条件得,1k 一 一 ml392kI 21613 kl1692kI167-mI48-4k2I216+9 k, 124k2124 1k2I24k2I2k整理得到 112 p4 -813 p2 - - 324 m2 k2 m，求得P120.65052 pO，P2 二 2.6145用刚度影响系数法求解刚度矩阵。令=1, v2 = 0，分别由两杆的受力图，列平衡方程为#k 2122胡丄'fl212 丿 169 kJ 169k1116同理，令日=1,小=0得到#-92k1l92k1l1k =16169292丄121一k 11k1l+ k2I-16164169k11lxlx k12 k 21 4-4题4-4图所示，滑轮半径为R,绕中心的转动惯量为 并忽略绕滑轮的绳子的弹性及质量，求系统的固有频率及相应 的主振型。解：如图选Xi，X2，X3为广义坐标。利用刚度影响系数法求 刚度矩阵k。设X1 = 1，X2 = X3 = 0，画出受力图，并施加物体kii , k 21 ,由平衡条件得到,题4-4图-33-ink11 = k , k21 =0 , k 31 - - kR67#设 X2 = 1, Xi-x0，画出受力图，并施加物体k12 , k22 , k32，由平衡条件得到,#k12= 0, k22 二 k , k32 二 kRk13 , k23 , k33，由平衡条件得到,设X3 =1, X1 =X2 =0，画出受力图，并施加物体#k 23 二 kR2k33 = 2kR#则刚度矩阵和质量矩阵分别得,由频率方程-0，得2k mp-kRmpkR-kRkR2 2 22 kR - 2 mR p-k0-kR '-m00 10kkR,M =0m0-kRkR22kR10022mRK#解出频率为,P3P1 = 0 , P展开为 2m(k mp2)p2(mp2 2k)R2 = 02k由特征矩阵B =K - p2M的伴随矩阵的第一列,_22 "Ik mp )(2kR 2mR p ) k R(1)adj B 二2 2 2 2 2 2 k R (k - mp )( 2kR - - 2 mR p )2kR (k mp )并分别代入频率值，得系统的主振型矩阵为- 1iiiA =-i i -iii0RR4-5三个单摆用两个弹簧联结，如题 4-5图所示。令mi=m2=m3=m及ki=k2=k。试用微小的角二、二2和力为坐标，以作用力方程方法求 系统的固有频率及主振型。解：如图选 九亠，内为广义坐标。利用刚度影 响系数法求刚度矩阵K。设TI1二1,二2 -宀=0，画出受力图，并施加物题4-5图体于kii , k2i , k3i，由平衡条件得到,2 2kii 二 kh 亠 mgl ， k2i 一 -kh ， k3i = 0#设-2 =i，K =0，画出受力图，并施加物体 匕2飞22飞32，由平衡条件得到,2k22 二 2kh mgl，k 32#设-3 =i,= -2 = 0，画出受力图，并施加物体ki3 , k23 , k33，由平衡条件得到,2 2ki3 =0， k23 二-kh ， k33 二 kh - mgl#则刚度矩阵和质量矩阵分别得,kh 2 - mgl2K =-kh. 0特征矩阵：2kh22 kh mgl-kh0 1- 2ml0022一 kh,M =0ml02kh + mgl1 100ml 2kh 2 mgl - mp 2| 2B = kh-kh由频率方程K - p2 M(mgl2 2 22kh mgl - mp l2 kh-kh 22kh 亠 mgl2 2-mp l2kh + mgl2 2-ml p-kh 20-kh22kh 222+ mgl - ml p-kh 2=0222 20-khkh 十 mgl - mlp展开为，(kh 2 + mgl-mp 2l2I 2kh2 + mgl - mp 2l2(kh 2 + mgl - mp2l2)-(-kh 叮=0，得 B = 0,kh 2 mgl2 22)(2 2-mp l_ _ kh mgl mp 212kh 2二 kh 2 mgl mp 212 mgl2 2 2 2 2 -ml p )( mgl - ml p )解出频率为Pimgl2 2mp l kh 2 mgl-mpkh 2 I2 2 2 2 2mp l 3kh mgl mp l = 024kh (mgl.22 丄.4-ml p)4kh=03kh2 0 ml由特征矩阵B二K - p2M的伴随矩阵的第一列,6922222224 -(2kh mgl - ml p )(kh - mgl - ml p ) _k h 2 2 2 2adj B =kh (kh + mgl -ml p )24- k h _并分别代入频率值，得系统的主振型矩阵为1-11A =10-2111X1、X2和X3为坐标,4-6题4-6图所示的简支梁的抗弯刚度为EJ,本身质量不计，以微小的平动用位移方程方法求出系统的固有频率及主振型。假设m1 = m2=m3=m。解：如图取广义坐标，用柔度影响系数法 求柔度矩阵。F=1，其余各质量块处不受力，则m!产生的静首先，仅在质量m,处施加竖直单位力挠度是；m2处产生的静挠度是s ； m3处产生的静挠度是。则由材料力学知识, 得到39l：；21768 EJ311l，5 31768 EJ37l768 EJ同理可得到其它柔度矩阵的各列,最后得到柔度矩阵为l3911768 EJ1116111171得到系统的位移方程为%'3-|X2.l广I768 EJ111I12 p11161111X1X2X3由系统的特征矩阵L二M得频率方程L#11口 16皿一人 11口 =07G11。9« 一乙#3其中:ml768 EJP#3#32 2（，一2）（ -32：- 14）=0解出=31 .556 I, / =2，3 =0.444 ：。#3#3由特征矩阵的伴随矩阵的第一列adj L（16- ）（ 9-，） - 121 :- 277。2 11。（9口一 入）2 121 a _7a （16a 九）分别代入特征#3#31.0001.414。1 .0001.000 1.000值，得到主振型为A = 1.4140.0001.000 -1.000m1=m2=m3=m4=m4-7如题4-7图所示，用三个弹簧连接的四个质量块可以沿水平方向平动，假设和k1=k2=k3=k，试用作用力方程计算系统的固有频率及主振型。i*1 1*1i1（JH!巧J* -*jif .题4-7图解：如图选择广义坐标。求质量矩阵及利用刚度影响系数法求刚度矩阵为-_k-k00 1fm0001-k2k-k00m00K =0-k2k-k，M =00m000一 kk _1I000m由频率方程K - p 2 M =0，得2k mp-k00-k22kmp-k00-k22k mp-k00-k2k - mp0因此可得到频率方程解出p0,p2_22k，p3-2k，mmP42 =（2 W）巴m26443p p m 6 k p m 1 0k22 2p m 43k m 073解出频率为p1 = Q , P2(2 - 2 ) ， p3k由特征矩阵B二K - p2 M ,B =特征矩阵的伴随矩阵的第一列，（2k _ mpadj（i）)(k - mp3-6k3加。mp4 = J(2+為上m-kQQ 12 pm-kQ-k2k 一 p2m-kQ-kk - p2m2k (2k2-mp )-2 2 -1k (k mp ) |2k2)2 一k(2k - mp )(k - mp ) - k2 2k (k mp )3k-3k3 k4263、+ 5kp m -pm242p m +kp m2 -kkPi =Q代入，即得2P2代入，得1、31k归一化得A=31k3lk丿3A（1），Z -k3'r -1、(1)k3(2)1 一石归一化得A =-(1 -T2)k3-(1 - J2)3 k< 1 A（2）k、r 1 2kA (3) =-k归一化得A（3）=-1代入，得m-k-1<k丿i 1丿2P3P4(2<2) k 代入,r -k、r -1、(1 +72 )k八(4)1 +72归一化得A =-(1 +V2)k-(1 +丫2)< k < 1 丿A（4）得系统的主振型矩阵为7Q各阶主振型如下图所示:1 -12 -11-1-1J 11 +込-1-41 1 11(a)=02#=02#4-8题4-8图表示一座带有刚性梁和弹性立柱的三层楼建筑。假设m1=m2=m3=m.h1=h2=h3=h, EJ1=3EJ, EJ2=2EJ, EJ3=EJ。用微小的水平平动X1、X2和X3为坐标，用位移方程方法求出系统的固有频率和 正则振型矩阵。解：由材料力学知，当悬臂梁自由端无转角时，其梁的等12 EI效刚度为k =-J，由此可将题4-11图等效为（a）图，其中12 EJ!12 EJ 212EJ3匕=2厂，k2=2厂，k3=20h2h3广义坐标如图（a）示。利用柔度影响系数法求柔度矩阵。即，对图（a）中的施加单位力，其余不受力，此时第一个弹簧变形为丄，第二和第k1三个弹簧变形为零。由此可得个坐标位移为,同理求出其余各列。最后得到柔度矩阵为144 EJ2222 25 55 1111m00系统的质量矩阵为M =0m000m得到系统的位移方程为fx/32221-00nh1 -JX22550m0X2$144 EJ-2511 一00mj由系统的特征矩阵L = M .丄I，得频率方程L =0，即P解出固有频率为Pi9.979 & p2V mh.55.07EJ3mhEJ3mh值,-（5口 一上）（11。一人）一2510（2由特征矩阵的伴随矩阵的第一列adj L =210a 20（11。_ 扎），210 a - 2a. （5a - 入）"1.0001 .0001.0001得到主振型为A =2.2951 .377-0.645。13.929-1.0370.1220 _"21.6508 m0 0 03.92430mpT=A MA分别代入特征主质量振型为M2 ct -九2 a2a2 a5a - Z5a=02ot5a11o（入3其中Gmh ，人1，展开频率方程为144 EJp-18 aZ2+ 54 a 2 Z336 0（二 0解出=14.43，二=2.62，3 = 0.954。=0273=02#1.4303 m=02#=02#正则振型的第i列为，由此得到正则振型振型为N10.21490.4927-0.50490.8361 0.6848-0.5390J3.84320.52780.1017=02#柔度矩阵还可以这样解出:F1 =1, F2 = F3 =0 时:=0275=02#：如丄一，M224 EJ1324 EJ 1、1F2 =1, F1=F3 = 0时：.3,324 EJ124 EJ224h13-EJ1F3 =1, Fi=F2 = 0 时:3h124EJ1243-EJ13h124 EJ 1h23+24 EJ23h2+ ,24 EJ2-333h124 EJ13h224 EJ2+ 242h3-EJ3=02#=02#3h13h1=02#=02#24 EJ13hi24 EJ13hi24 E J14-9在题4-924 EJ 13h224 EJ 13hr3h224 EJ 124 EJ 224 EJ 1+24 EJ 224 EJ 1324 EJ 23hr24 EJ 1324 EJ 22h3+24 EJ3图所示的系统中，各个质量只能沿铅垂方向运动，假设 m1 = m2= m3= m，k1=k2=k3=k4 =k5=k6=k，试求系统的固有频率及振型矩阵。解:如图选择广义坐标。求质量矩阵及利用刚度影响系数法 求刚度矩阵为m 003k-k-k3k-k3k由频率方程K - p 2 M =0，得题4-9图=02#k23k mp-kkk3k mp=02#=02#解出频率为=02#P1P3由特征矩阵B =K _ p2M的伴随矩阵的第一列,(3k(1)adj Bmp )k-k(3k -2mp )-k(3k -2mp )2 22 k2将P1k代入得系统的第一阶主振型为A (1)A满足如下关系:(1) T)MAp2M )A (2) =0展开以上二式得，Af +A22)a32)=0。取 a22)=°， A1(2)-1，可得到a32) =1。即有A(2) - -1A满足如下关系:)T MA(3)小0 ，(A (2)T MA(3) =0(K(3)(3)(3)c" (3)(3)!A2A30 ， - A1A3-0)=-2。即得(A一2展开以上二式得，Aa33)=1，可得到a2-p； M )A (3) =0，联立得aT” (3)(3)A3o 取 At1 ，A (3)主振型矩阵为4-10试计算题4-5的系统对初始条件oT的响应。解：在习题4-5中已求得系统的主振型矩阵和质量矩阵分别为=0277-111-ml200 110-2，M =0ml 201111 1002mlA主质量振型为3TM p =A MA2=ml题4-5图正则振型的第i列为A N)(i)，由此得到正则振型振型为0,3初始条件为02mlot6(0) = A N M 天二(0) = A Tn M -o= 0正则坐标的响应为其中P1g，P24-11试计算题应。J2l ： COS P1t，二 N2 =0，-111a> =31u.COS Ptt + 32ILl11-1(3)cos p3t2-A (N2N2 - A N3Sn3，展开得到g 3kh 2g TA，, 2l ml2mI: cos3Pat4-7的系统对初始条件X。= 0 0 0 o T和Xov r的响79#解：在习题4-7中已求得系统的主振型矩阵和质量矩阵分别为#A1A2Af ) AC )=1-111 - .2-1_(1 _、2)-111-111 +逅(1 + 血)1(4)#(4)#-11一1_m00011 J2-11十爲0 m001逅-1-1_1 _丫2M =0 0m0J1110 00m-4.000000 1主质量振型为MTp = A MA=m0 0.41400004.0000-00013.657 _A正则振型的第i列为a N)0.5000由此得到正则振型振型为 0.65730.5000-0.2706 0.2706-0.50000.65330.2706-0.5000-0.65330.65330.50000.27060.50000.50000.5000(4)#正则坐标初始条件为(4)#(4)#-T'0.5000-0.65330.5000-0.2706Xn (0) = An MX。=仆0.5000-0.5000-0.27060.65330.50000.5000 10000l010.27060.6533010000-0.50000.5000001000-0.65330.27060001 _0 一10 一110“1100T X N (0)_ AN M X00.50000.50000.50000.5000-0.6533-0.27060.27060.65330.5000-0.5000-0.50000.5000-0.27060.6533-0.65330.270600(0)M0x 0x N (0) = A N Mxx N=A N°=0,0v正则坐标的响应为xN . mvt ,Xn 2 = 0，Xn 3sin patP3Xn4 = 0其中频率为最终得到响应(1)N x n 1(2)N x N 2(3)N x N 3，展开得到(4)81U_1 1X2X3vt1v-1+cos P3t212 Ps-11I1X4Vdn p/2P3X = An Xn i - An Xn 2 ' An Xn3 ' An Xn4v1(t sin2P3(t 1 sinP3P3t)Pst)V (t - sinPst)4-12试确定题4-8中三层楼建筑框架由于作用于第三层楼水平方向的静载荷P忽然去除所引起的响应。解：在习题4-8中已求得系统的正则振型矩阵和质量矩阵分别为"0.21490.50490.8361Im 00 0.49270.68480.5390，M =0 m 00.84320.52780.1017i0 0m11A-31FVIFtEJiTO 题4-8图当作用于第三层楼水平方向的静载荷 于受到了初始条件的激励，P忽然去除时，相当2 15，x o = |oil0_i3Phx o ''44 EJ正则坐标初始条件为"12.168 |o-1.379T，x N (0) = A N M x0 =0. 0.099 _1Ph 3、m0144 EJ正则坐标的响应为Ph 、mX N '144 EJ12.168 cos Pit 一1.379 cos P2t 0.099 cos p3t由 x =A N)x N1-A (n2)x N2 - A N3)x N3，展开得到83Ph144 EJ其中p1979EJmh 3.55 .07VEJmh3EJmh 32.616 cos pj 0.702 cos p2t 0.083 cos p3t5.999 cos pj 0.938 cos p2t 0.053 cos p3t10.258 cos 卩勺t + 0.727 cos p2t + 0.010 cos p3t0#0#4-13假定一个水平向右作用的斜坡力Rt施加与题4-5中中间摆的质量上，试确定系统的响应。解：在习题4-10中已求得系统的正则振型矩阵和质量矩阵分别为-21一 6ml20ml0题4-5图00ml 2200由题意，施加的作用力为=2Rtl将作用力变换到正则坐标:TRt=A N fml.302，6由方程（2-28）得到对于斜坡力的卷积积分,i个正则坐标的响应:NiqNi (t2 pi1sin pit) pi用正则坐标表示的位移矢量1t - sinP101t sinP3由二二A NN，展开得到1(t-P111卩1七)2P31P1sin(t-P3sinP3t)11212 (t -sinP1t)+ 2(t-sinP3t)P1P1P3P31111(t-sinPJ)2(t-sinP3t)kp1P1P3P3R3ml其中4-14试确定题4-7的系统对作用于质量mi和质量m4上的阶跃力Fi=F4=F的响应。085解：在习题4-11中已求得系统的正则振型矩阵和质量矩阵分别为-0.5000 0.65730.5000-0.2706 m000 110.5000 0.2706-0.50000.65330m00A N = ，M =NJm0.50000.2706-0.5000-0.653300m0I0.50000.65330.50000.27061I000m由题意，施加的作用力为将作用力变换到正则坐标:用正则坐标表示的位移矢量2L212P30(1 一 COS P3t)0#由X =A N X N，展开得到丫42t+F4X =2mt42t+412 (1 - cos2 P312 (1 -cos2 P312 (1 - cos2 P312 (1 - cos2 P3P3t)P3t)P3t)P3t)4-15在题4-8的三层楼建筑中，假定地面的水平运动加速度xs二a sin ，t，试求各层楼板相对于地面的稳态水平强迫振动。解：在习题4-12中已求得系统的正则振型矩阵和质量矩阵分 别为"0.2149-0.50490.83611_m000.4927-0.6848-0.5390，M =0m00.84320.52780.1017一00m1=.m由题意，施加的作用力为-masin t-masin ，tsin t将作用力变换到正则坐标:1.5510 ma sin ，tNS 0.6604 ma sin t用正则坐标表示的位移矢量一0.3988 ma sin 国 t1.5510-ma si n t0.66040.39882 2 3p-2 3p87由X A N x *Nr ,展开得到0.3335=_ a sin t 0.76421.30800.3334 Pi0.4511 Pi-4 -0.3484PiP22P2罠2P22P22P332P3P32P30.3334-0.21500.0407P31其中：i, (i =1,2,3) ; p1CO 21-()Pi；9.979 JJ_ ,p2mh.55.07EJ3 mh151EJ3mh的滑块用两个刚度分别为k1及k2的弹簧连接在基础上，滑块上有质 量为m1、摆长为l的单摆，假设 m1=m2=m及k1=k2=k，4-16质量为m1基础作水平方向的简谐振动X=a s i n t ，其中，试求：（1）单摆的最大摆角-max ； （ 2）系统的共振频率。解：如图所示选择广义坐标。利用质量影响系数法求质量矩阵,设x =1 - 0，画惯性力及mu , m?1由平衡条件得到,m11 = 2m， m21 = ml。设x =0,二=1，画惯性力及m12 , m22利用刚度影响系数法求刚度矩阵由平衡条件得到,2m12 = ml ， m22 = ml 。设 x = 1, d =0 ，画出受力图,并施加物块力k11 ' k 21列平衡方程，得到画出受力图,k11 = 2 k ，k21 = 0并施加物块力k125 k22列平衡方程，得到k12- 0 ， k22= mgl#得作用力方程为#!m mlml ml 20mgl2ka0sin CO t#isin国t为稳态响应，代入上式得, Q丿89#展开为0 1mgl-.22mmlml2 mlBj f2ka )B2I0丿#2(2 k -2m )Bt - ml，B2 = 2ka2 2 2ml B1 (mgl ml JB?二 0#代入可得到B22a。稳态运动时有d(t)二日max2al由频率方程#=022k - 2 p m2mlp-mlp2mglp ml#2)2 =0，解出频率为展开为(2 k 2mp 2)( mgl ml 2 p2) (mlp#g、2，P2g m-(g>2 k 22 ( )2m#7k一 k-2k"kk0题4-17图. 2k03k0K =系统的质量矩阵为，M4m0即为共振频率。4-17题4-17图示的系统中，各个质量只能沿铅垂方向运动，假设在质量4m上作用 有铅垂力P。COS .t，试求：各个质量的强迫振动振幅;统的共振频率。解：如图选择广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度 矩阵为，#由频率方程K - p2M =0，得27 k - 4mpk-2k-kk mp0-2k0 = 023k -2mp解得,p. 0.590 k ,mP2 ="211 , b mP3 = . 2.449m由特征矩阵B =K - p2M的伴随矩阵的第一列,_(k(i)adj B 二并分别代入频率值，得系统的主振型矩阵为2 2 - -mp )(3k - 2mp )2k (3k 2mp )22k ( - mp )1.0001.0001.000A =2.4394.7420.6901.1043.4621.087刁 2 .386 m00 1050 .452 m0006.839 m主质量振型为 M P = A T MA1正则振型的第i列为A N)A，由此得到正则振型振型为Jm iN10.2820.693-0.3140.141-0.6690.4880.382-0.264-0.41591#正则坐标表示的微分方程- 2p100 1X N +02P20x n = q n002P3由题意，施加的作用力为将作用力变换到正则坐标:TPo0.284q n = A N f = <0.141C0SK>t <m 0.382#用正则坐标表示的位移矢量#X NPo0.284 Pn0.141 為,0.382COS co t#中1 'B2 cos cot<B* 3 J即:、/ 、-k-2 kB!P02k -co m0B2=0203k -灼 2m y厲丿1°7k -CO24m_k-2 k其中- At , (i = 1,2,3)。Pi 一尬由X二A N X N，展开得到0.081 斷,+0.020 曳1 +0.146 031 、 PX= 0.197 貝,一0.094 021 0.101 P31 coscot m (0.089 优,+0.069 21 -0.159 P31 可用直接方法求解：列出运动方程,z4m00、广7k-k-2k、'b、0m0x；+-kk0X2=0COS cot1°02 m丿<-2k03k 中1 '设其稳态响应为：X2=B2COS ot3lB3 J所以原方程化为:中1、2 .B2 ( Y) cos cot +K 厲j#所以:B12 2Po(k 仙 m)(3k -2m们) 2 2 2 2 2 2 2(7 k -4m ' )(k m)(3 k - 2m ' ) - k (3 k - 2m) -4 k (k m)2pok(3 k 2灼 m) 2 2 2 2 2 2 2(7 k -4m，)(km)(3 k - 2m) - k (3 k - 2m，) -4k (k m)22 pok (k _<0 m)9322 . m426令 a,Z =1434a -41a -8akBiPo则:B2PokB3Pok2 2(1 a )(3 -2a )Z2(3 -2a )Z22(1 -a )Z1 4-18在题4-18图的有阻尼系统中，c . 3km，左端的质量块受阶跃力 P的作用,2初始条件为零，求系统响应。解：(1)写出无阻尼受迫振动方程m-kX1 '2 k _|乜2I0题4-18图(2)求固有频率和正则振型由频率方程K - p2M =0，得2k2-mp-k22kmp#2#2由特征矩阵B二K - p2M的伴随矩阵的第一列,(1)adj B-mp 2k#2#2并分别代入频率值，得系统的主振型矩阵为主质量振型为 M P = A TMA = 2m正则振型的第i列为a N)1.M iA (i)'I_1由此得到正则振型振型为#(3) 正则坐标表示的微分方程(4) 弓|入振型阻尼比-门3c则有，C N二 f 02m02得2 = %3 km2.21 1.m |1- 1Xn P_C02P2，求主阻尼矩阵C p所以Cn142 1P1 ，2 m(5) 引入振型阻尼比的正则坐标表示的微分方程：；1 '-1 P+ I N 2L 0由题意，施加的作用力为(p、 !I0丿=A T CAJ一08c=2 m2 2 P2，将作用力变换到正则坐标:(6)用正则坐标表示的响应其中pdi-Pi J -1 'iX N1k口 -X N 2:P13k1 -2ipi(7)用物理坐标表示的响应2Pl0 I I X N 12p2 _|1Xn 2 丿-1 P1teP1-sin( Pd1tP d 1-;：i) 2卩2上e p 2-sin( Pd2tJP d2，i = 1,2。由x = A N X N，展开得到X1 = Xn1 Xn2， X1 二 Xn1 - Xn24-19试说明两自由度系统复模态 Hj(s)的图像。4-20试论述模态分析的本质问题是一种坐标变换，而H(s), H(j .), h(t)之间的变换又是数学变换，试论述两类变换的意义。9523k mpk-kB32222222(7 k -4m )(km)(3 k -2m)一k (3k -2m ) -4k (k m)#