空间向量测试题

空间向量练习1在空间直角坐标系中，点P 12，3关于平面 xoz 对称的点的坐标是A.1， 2，3B.1，2， 3C.1， 2，3D.1，2，3v2,2, 2v1,1, 1， 则2 若 直 线 l 的 一 个 方 向 向 量 a， 平 面 的 一 个 法 向 量 为 b（）A.l B.l lD. A、 C 都有可能3以下四组向量中，互相平行的有（）组（v1,2,1，vv8,4,6 ，v4,2,3 1） ab1, 2,3 （ 2 ） ab（v0,1,v0,3,3v3,2,0v4,3,3 3 ） a1 ， b（ 4 ） a， bA.一 B.二C.三D.四4若 ABCD为平行四边形， 且 A4,1,3 ， B 2,5,1， C3,7,5 ，则顶点 D 的坐标为（）A.1,13,3B.2,3,1C.3,1,5D.7 ,4,12uvuuvvvuvuuv5如上图， 向量 e1 ， e2 ， a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量 a用基底 e1 ， e2 表示为 ()uvuuvuvuuvuvuuvuv uuvA. e1 e2B. 2 e1 e2C. 2 e1 e2D. 2e1 e263vv9v14；已知 A(4 ，6) ， B3,，有下列向量： a14,9 ； b7,； c, 3223v7,9其中，与直线平行的向量 () cABA. B.C. D.7 已知三棱锥，点分别为的中点，且，用，表示 ，则 等于()A.B.)C.D.r2, 1,3r4,2, xrrrr）8已知向量 a,b，使 ab成立的 x 与使 a / /b 成立的 x 分别为（A. 10, 6B. -10 ,6 6C. -6,10 ,6D. 6,-10, 63333rr4,1rr）9若 a =(2， 3) ， b =y ，且 a b ，则 y =（A. 6B. 5C. 7D. 8rr rr2,1,22,2,1）10 已知向量 a,b，以 a、 b 为邻边的平行四边形的面积（A.65B.65C.4 D.8211 如图所示，空间四边形OABC 中，uuuruuuruuurc ，点 M 在 OA 上，且OAa,OBb,OCuuuuruuuruuuurOM2MA ，N 为 BC 中点，则 MN 等于（）A. 1 a2 b1 cB.2 a1 b1 cC.1 a1 b2 c D.2 a2 b1 c23232222333212在空间直角坐标系Oxyz 中，点1,2,2 关于点1,0,1的对称点是（）A.3,2,4B.3,2, 4C.3,2,4D.3,2,4rr1,0,2rrr（）13 已知向量 a 1,1,0,b, 且 kab 与 a 互相垂直，则 kA. 1B.1C.1D.1323214设一球的球心为空间直角坐标系的原点，球面上有两个点，其坐标分别为，则()A.18B. 12C.D.15已知，点 在 轴上，则点的坐标是（）A.rB.C.或D.）16与向量 a （ 0， 2， 4）共线的向量是（A（ 2， 0， 4）B（ 3， 6， 12）C（ 1， 1， 2）D 0,1, 12r1,2,0r2,0,117若向量 a， b，则r r120BrrCrrDrrA cos a,b ab ab ab18若向量 a 、 b 的坐标满足ab(2, 1,2)， ab(4 ,3, 2)，则 a b 等于 A5B5C 7D119已知点 A2,3,6与点B 3,5,4，则 AB 的中点坐标为 _20在如图所示的长方体-1 1 11中，已知1(a,0，)，(0，0) ，则点1 的坐标为 _ABCD A BCDAcC b,B21如图所示的长方体中，则的中点的坐标为 _ ，_22点 P 2,1,3 在坐标平面xOz内的投影点坐标为_；23 已知向量，且与互相垂直，则 的值是 _24已知 a (3, 1,0), b(k,0,1), a, b 的夹角为 60o, 则 k.25若 A(0, 2,19) ， B(1, 1,5) ， C( 2,1, 5) 是平面r(x, y, z) ，内的三点， 设平面的法向量 a888则 x : y : z26已知向量 a(2, 1,2), b( 4,2,m) , 且 ab ，则 m 的值为27在空间坐标系中，已知三点A（ 1， 0， 0）， B（ 0， 1， 0）， C（0， 0，1），则平面 ABC的单位法向量是28若向量 a(4,2, 4), b(6,3,2) ，则2aba b_.229如图，在一个 60的二面角的棱上有两个点A，B，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于 AB的线段，且 AB=4， AC=6， BD=8，则 CD的长为 _。30如图建立空间直角坐标系，已知正方体的棱长为.（ 1）求正方体各顶点的坐标；（ 2）求 的长度 .31（ 2015 秋 ? 河西区期末）已知（ 1）若，求实数 k 的值D1C1（ 2）若，求实数 k 的值A1B1G32 P 是平面 ABCD外的点，四边形ABCD是平行四边形，AB(2， 1， 4), AD(4，2,0),AP ( 1，2， 1) , 求证 PA 垂直平面 ABCD .FCD33长方体 ABCDA1B1C1 D1 中， AB 2, BC 1,AA11AEBD 1C1A1B 1DCAB（ 1）求直线 AD1与 B1D 所成角；（ 2）求直线 AD1与平面 B1BDD1 所成角的正弦 .35如图四棱锥SABCD中，SDAD，SDCD ，E 是 SC 的中点，O 是底面正方形ABCD的中心，ABSD6 。（）求证：EO /面SAD；（）求直线EO与平面ABCD所成的角。34（本大题12 分）如图，在棱长为的正方体ABCD-A1B1C1D1 中， E、F、 G 分别是CB、 CD、 CC1的中点（ 1）求直线 A1 C 与平面 ABCD所成角的正弦的值；（ 2）求证：平面 A B1D1平面 EFG；（ 3）求证：平面 AA1C面 EFG SEDCOAB36在长方体ABCD-A1B1C1D1 中， AB=2， BC=B1B=1， M、 N 分别是 AD、DC的中点 .D1C1A1NB1DCMAB（ 1）求证： MN37（本小题满分13 分）已知ABCDA1 B1C1 D1 是边长为1 的正方体，求：（）直线AC1 与平面 AA1 B1 B 所成角的正切值；（）二面角BAC1B1 的大小38在边长是2 的正方体ABCD - A1 B1C1D1 中，E, F 分别为 AB, A1C 的中点 .应用空间向量方法求解下列问题.（ 1）求 EF 的长；（ 2）证明： EF / / 平面 AA1 D1 D ；（ 3）证明 : EF 平面 A1CD .（参考答案1 A【解析】在空间直角坐标系中，两点关于平面xoz 对称，竖坐标互为相反数，点的坐标是点P 1，2，3关于平面 xoz 对称的点的坐标是1,2,3，选 A.2 Av【解析】直线 lv2,2,2的一个方向向量 a，平面 的一个法向量为 b 1,1, 1vvvv且 a 2b ，即 a / / b .所以 l.故选 A.3 B【解析】若a与平行，则存在实数使得bab经过验证，只有2a2 ，33,两组满足条件。bba故答案选 B4 A【解析】设 Dx0 , y0 , z0，uuuv24, 51,13 AB2,6,2uuuv3 x0 ,7 y0 , 5 z0 ，DC在平行四边形ABCD 中，uuuvuuuvAB PDC ， 3 x07y05 z0 ，262uuuv32,75,51又 BC5,12,6 ，uuuvADx04, y01,z03 ，uuuvuuuvBC PAD ， x04 y0 1 z03 ，5126联立，解出：x01，y013 ， z03 故选 A5 Cvvx 轴建立平面直角坐标系。设正方形【解析】以向量e1的起点为原点，向量e1所在直线为v1,0vv3,1 。的边长为 1，则 e1, e21,1 , avvv，则3,1x1,0y1,1xy, y ，设 axe1ye2xy3，解得 x2vvv。选 C。 y1y1，所以 a2e1e2点睛： 由平面向量基本定理可知，在确定了平面的基底后，平面内的任一向量都可以用这组基底唯一表示，但并没有给出分解的方法。常用的方法有两种：（ 1）根据向量的线性运算，将已知向量向着基底转化； （ 2）先确定向量和基底的坐标，根据待定系数法建立方程组，通过代数方法求解。6 Cuuuv7,9【解析】由题意可得AB。2由向量共线的条件可以判断向量v vvuuuvvv va, b, c 与向量 AB平行，即向量 a, b , c 与直线 AB平行。选C。7 D【解析】，故选 D.8 Ar【解析】向量r2, 1,34,2, x,a,brrrr82 3?x103x10若 ab, 则 an b0 ，解得 x.rr342x ，解得 x6.若 a / /b ，则213故选 A.9 Crrrr， 3)y，得 21y44 , 解得 y7 .【解析】由 a b ， a =(2， b = 4, 1故选 C.10 Arrr r2212214a b【解析】由题意，cos a,brr222222212， 则a b1 229rr65，所以平行四边形的面积为sin a, b9S 21rrr r3 36565 ，故选 A.ab sin a,b2911 Buuuruuur uuur【解析】由题意，以OA,OB,OC为基底建立空间向量，则uuuuruuuruuuuruuuruuuruuuruuuruuur1uuuruuurrrrMNONOMOB1 BC2 OA2 OAOBOCOB2 a1 b1 c2332322，故选 B.12 A【解析】设所求点为x, y, z，则 x12, y20, z22，解得 x3, y2,z4，故选 A.13 Brr【解析】根据题意，rk1,1,01,0,2k1, k,2，因为rrkabkaba ，所rrr0 ，则1k1k10 20 ，即 k1，故选 B以 kab a214 C【解析】两点的坐标分别是，故选 C.15 C【解析】依题意设，根据，解得，所以选.16 D【解析】试题分析： Q0, 2,440,1,1，所以向量0,2,4与 0,1, 1共线22考点：向量共线17 D【解析】rr1,2,0rr1( 2)2 0 01 2 ，试题分析：因为向量a， b2,0,1 ，所以 a b排除 B；r2202r(2)02 12rra125, | b |25 ，所以 ab ，应选 Dr r1( 2)uur2 r 0012 ， A 错，如果 a / / b 则存在实数rrcos a,b使 ab ，显然| a | b |5不成立，所以答案为D考点：向量的有关运算18 B【解析】试题分析：因为a b ( 2 , 1, 2)，a b (4 , 3 , 2)， 所 以rrrr1 (3) (2) 1205.a(1, 2,0), b (3,1,2), 所以 ab考点：本小题注意考查向量的坐标运算.点评：向量的坐标运算是高考经常考查的内容，难度一般较低，灵活运用公式计算即可.19 1 , 4,52【解析】 AB 中点为23,3 5,4622220 ( a， b， c)【解析】在如图所示的长方体ABCDA B C D中，已知A（ a，0， c）， C（0， b，0），11111可以得知ADa， DCb， DD1c ，又长方体ABCDA1B1C1D1 ，可以得知B1 的坐标为（a，b，c）故答案为（ a，b，c）21【解析】由图可知：.为的中点，由中点坐标公式可得.由两点间距离公式有：故答案为：.222,0,3【解析】设所求的点为Q（ x，y， z），P、 Q两点的横坐标和竖坐标相等，而纵坐标为0，即 x=2， y=0， z=3，得 Q坐标为（ 2,0,3 ）23【解析】由已知，据向量坐标的线性运算可得，两向量互相垂直，则数量积为则有，解得故本题填2242【解析】rrk21r r2k 21cos 60o3kk2试题分析：有已知可得a2, bagb2考点：向量的数量积运算25 2： 3：（ -4 ）【解析】试题分析：由1955uuur7uuur7A 0,2, 8,B 1, 1,8,C 2,1,8得 AB1,3,4, AC2, 1,41,3,7x, y, z0因为为平面的法向量，则有uuurruuurr0 ，即4ABa0, ACa2, 1,7x, y, z04x3y7 z0由向量的数量积的运算法则有4解得 y3 z, x1 z2x y7 z0424所以 x : y : z2z:3z:4z2:3: 4444故正确答案为2 : 3:4考点：空间向量的法向量26 5【解析】试题分析：由题可知：a( 2, 1,2), b( 4,2,m)，且ab，有2( 4)( 1)22m0，即 m=5考点：空间向量垂直的充要条件273 ,3 ,3 .333【解析】试题分析：三点A（1， 0， 0）， B（ 0，1， 0）， C（ 0， 0，1），所以uuuv AB=（ -1 ，1， 0）,uuuvAC =（ -1 ， 0， 1）,令平面ABC的法向量为vn =（ x， y， z），v uuuv0yxnAB可得v uuuv，即z， x=y=znAC0xvx2y2z21，平面 ABC的法向量为 n =（x， y， z）为单位法向量，解得 x=y=z=3, 故平面 ABC的单位法向量是3考点：平面的法向量28 4【解析】3,3,3.333试题分析：因为a(4,2,4), b (6,3,2)，所以rrrr2aba2b= 2(4,2,4)(6,3,2)(4,2,4)2(6,3,2)(2,7,10)(16,4,0) =4.考点：本题主要考查空间向量的坐标运算。点评：简单题，利用空间向量的坐标运算公式，计算要细心。29 2 17【解析】在一个60的二面角的棱上，有两个点A、 B， AC、 BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB 的线段，且 AB=4cm， AC=6cm， BD=8cm，uuuv2uuuvuuuvuuuv 2 uuuv2uuuv2uuuv2uuuv uuuvuuuv uuuvuuuv uuuvCDCAABBDCAABBD2CA AB2CA BD2AB BD361664268cos120068CD2 17故答案为 2 1730（ 1）详见解析；（ 2）.【解析】试题分析：（ 1）根据空间坐标系的定义，易得各点的坐标；（2）要求空间中两点的距离，可直接利用空间两点的距离公式求解出来 .试题解析：（ 1）正方体各顶点的坐标如下：.（ 2）解法一：.解法二：，在中，.31（ 1）；（ 2）【解析】试题分析：（ 1）根据空间向量的坐标运算以及向量的共线定理，列出方程求出（ 2）根据两向量垂直，数量积为0，列出方程求出k 的值k 的值；解：（ 1），；又，解得；（ 2）且，即 7（ k2） 4（5k+3） 16（ 5 k） =0，解得考点：空间向量的数量积运算32【解析】证明：APAB2(1)(1)2(4)(1)0AP垂直于AB,即 AP垂直于 AB.APAD(1)422(1)00AP垂直于AD,即 AP垂直于 AD.PA垂直平面 ABCD .33（ 1）直线 AD1与 B1 D 所成角为90；（ 2）10 。5【解析】试题分析：以 D 为原点建系1分uuuur uuuur（ 1） cos AD1, B1 D 03分直线 AD1与B1D 所成角为 90 5分r（ 2） 平面 B1BDD1的法向量为 n( 2,1,0) 7分r uuuur|10sin | cos n, AD19分5所求角的正弦值为1010 分5考点：立体几何中的角的计算，空间向量的应用。点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法” 。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用空间向量，省去繁琐的证明，也是解决立体几何问题的一个基本思路。注意运用转化与化归思想，将空间问题转化成平面问题。A1 A334（ 1） sin ACA1； （ 2）见解析；（ 3）见解析。AC13【解析】试题分析： (1) 因为 A1 A平面 ABCD,所以A1CA 为 A1 C 与平面 ABCD所成角 ,然后解三角形求出此角即可 .（ 2）证明面面平行根据判定定理只须证明平面平面A B1D1 内两条相交直线AB1 和 D1 B1 分别平行于平面 EFG即可 . 在证明线面平行时又转化为证明线线平行.(3) 易证： BD 平面 AA1C，再证明 EF（ 1）A1C1111平面 ABCD=C，在正方体 ABCD-AB C DA1 A平面 ABCD AC为 A1C 在平面 ABCD的射影 A1CA 为 A1C 与平面 ABCD所成角 . 2 分正方体的棱长为 a AC= 2a ， A1C =3asin ACAA1 A3.4分1AC31（ 2）在正方体 ABCD-A1B1C1D1连接 BD， DD1 B1B ， DD1 = B1 BDD1BB1 为平行四边形 D1B1 DB E， F 分别为 BC， CD的中点 EF BDEF D1 B13 分 EF 平面 GEF， D1 B1平面 GEF D1B1 平面 GEF7 分同理 AB1 平面 GEF D1 B1AB1 = B1平面 A B D 平面 EFG9 分11（ 3）在正方体 ABCD-A1B1C1D1 AA1平面 ABCD EF 平面 ABCD AA1EF10分 ABCD为正方形 AC BD EF BD ACEF.11分AA1ACA EF平面 AA1C EF平面 EFG平面 AA1C面 EFG.12 分.考点：斜线与平面所成的角，线面垂直，面面垂直，面面平行的判定.点评：斜线与平面所成的角就是斜线与它在这个平面内的射影所成的角，因而关键是找到它在这个平面内的射影. 面面垂直（平行）证明要转化为证明线面垂直（平行）再转化为线线垂直（平行）.35（）证明：EO / ASEO / 面SAD ；3分AS面 SAD（）解：SDADSDCDSD面 ABCDADCDD所以SAD 是 SA 与面 ABCD 所成角。3分在SAD 中 ADSD ，所以SAD，4又 EO / AS ，所以 EO与平面 ABCD 所成的角为。4【解析】略2（ 1）连结 AC，M、N 分别为 AD、 DC中点MN52525102122（）过 B作 B EBC于 E，252102222111过 E 作 EF AC1 于 F，连接 B1F； AB平面 B1C1CB， ? AB B1E? B1E? 平面 ABC1? B1E? AC1 B1FE 是二面角B AC1 B1 的平面角在 RTBB C 中， B E=CE=1BC=2，1111212在 RTABC 中， sin BCA=AB311AC13 EF=CE? sin BCA=6，116 tan B FE=B1E31EF B1FE=60，即二面角BAC1 B1 的大小为 60考点：线面角以及二面角的平面角及其求法.38（ 1）2（ 2）根据题意，关键是能根据向量法来得到AD1 PEF 即可。（ 3 ）对于题目中垂直的判定定理来的得到。，则可以根据线面【解析】试题分析：(1) 如图建立空间直角坐标系，分别求得A、 A1、 B、 C、D1、E、 F的坐标，计算 EF 的长度； (2) 由 (1)，AD1 PEF ，由线面平行的判定定理可证；(3)，EF CD，EF A 1D ，由线面平行的判定定理可证 .试题解析： (1) 如图建立空间直角坐标系A12,0, 2 , A2,0,0, B2,2,0 ,C0, 2,0 , D10,0, 2E 2,1,0 , F 1,1,1（ 2）而 EF面ADD 1A1EF / / 平面 AA1D1 D（ 3）又 CD A 1D=DEF平面 A1CD .考点：空间向量法.视频