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突破点13圆锥曲线中的综合问题(酌情自选)核心知识提炼提炼1 解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握(1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标.提炼2 用代数法求最值与范围问题时从下面几个方面入手(1)若直线和圆锥曲线有两个不同的交点，则可以利用判别式求范围(2)若已知曲线上任意一点、一定点或与定点构成的图形，则利用圆锥曲线的性质(性质中的范围)求解(3)利用隐含或已知的不等关系式直接求范围(4)利用基本不等式求最值与范围(5)利用函数值域的方法求最值与范围.提炼3 与圆锥曲线有关的探索性问题(1)给出问题的一些特殊关系，要求探索出一些规律，并能论证所得规律的正确性通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括出一般规律(2)对于只给出条件，探求“是否存在”类型问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，若推出相符的结论，则存在性得到论证；若推出矛盾，则假设不存在高考真题回访回访1圆锥曲线的定值、定点问题1(20xx全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，点(2，)在C上(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值解 (1)由题意有，1，2分解得a28，b24.3分所以C的方程为14分(2)证明：设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入1，得(2k21)x24kbx2b2806分故xM，yMkxMb8分于是直线OM的斜率kOM，即kOMk.11分所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值12分回访2圆锥曲线中的最值与范围问题2(20xx全国卷)已知A是椭圆E：1的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA.(1)当|AM|AN|时，求AMN的面积；(2)当2|AM|AN|时，证明：k0.由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.又A(2,0)，因此直线AM的方程为yx2.将xy2代入1得7y212y0.解得y0或y，所以y1.因此AMN的面积SAMN24分(2)证明：设直线AM的方程为yk(x2)(k0)，代入1得(34k2)x216k2x16k2120.由x1(2)得x1，故|AM|x12|.由题意，设直线AN的方程为y(x2)，故同理可得|AN|.7分由2|AM|AN|得，即4k36k23k80.9分设f(t)4t36t23t8，则k是f(t)的零点f(t)12t212t33(2t1)20，所以f(t)在(0，)单调递增又f()15260，f(2)60，因此f(t)在(0，)上有唯一的零点，且零点k在(，2)内，所以k212分回访3与圆锥曲线有关的探索性问题3(20xx全国卷)在直角坐标系xOy中，直线l：yt(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y22px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H. (1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由解 (1)如图，由已知得M(0，t)，P1分又N为M关于点P的对称点，故N，故直线ON的方程为yx，将其代入y22px整理得px22t2x0, 解得x10，x2.因此H4分所以N为OH的中点，即26分(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点理由如下：7分直线MH的方程为ytx，即x(yt).9分代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点12分热点题型1圆锥曲线中的定点问题题型分析：主要考查直线、曲线过定点或两直线的交点在定直线上，以解答题为主【例1】(20xx郑州二模)已知动圆M恒过点(0,1)，且与直线y1相切(1)求圆心M的轨迹方程；(2)动直线l过点P(0，2)，且与点M的轨迹交于A，B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点. 【导学号：04024115】解 (1)由题意，得点M与点(0,1)的距离始终等于点M到直线y1的距离，由抛物线定义知圆心M的轨迹为以点(0,1)为焦点，直线y1为准线的抛物线，则1，p2.圆心M的轨迹方程为x24y4分(2)证明：由题知，直线l的斜率存在，设直线l：ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(x2，y2)，联立得x24kx80，6分kAC，则直线AC的方程为yy1(xx1)，8分即yy1(xx1)xx10分x1x28，yxx2，故直线AC恒过定点(0,2)12分方法指津动线过定点问题的两大类型及解法(1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为ykxt，由题设条件将t用k表示为tmk，得yk(xm)，故动直线过定点(m,0)(2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.变式训练1(20xx兰州二模)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1(2,0)，点B(2，)在椭圆C上，直线ykx(k0)与椭圆C交于P，Q两点，直线AP，AQ分别与y轴交于点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由解 (1)设椭圆C的方程为1(ab0)，椭圆的左焦点为F1(2,0)，a2b242分点B(2，)在椭圆C上，1.解得a28，b24.椭圆C的方程为1.5分(2)依题意点A的坐标为(2，0)，设P(x0，y0)(不妨设x00)，则Q(x0，y0)，由得x0，y0，6分直线AP的方程为y(x2)，7分直线AQ的方程为y(x2)，8分M，N，9分|MN|.设MN的中点为E，则点E的坐标为，10分则以MN为直径的圆的方程为x22，即x2y2y4，令y0，得x2或x2，11分即以MN为直径的圆经过两定点H1(2,0)，H2(2,0)12分热点题型2圆锥曲线中的定值问题题型分析：圆锥曲线中的定值问题是近几年高考的热点内容，解决这类问题的关键是引入变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式恒成立，数式变换等寻找不受参数影响的量【例2】(20xx重庆二模)已知椭圆C：1(ab0)上一点P与椭圆右焦点的连线垂直于x轴，直线l：ykxm与椭圆C相交于A，B两点(均不在坐标轴上)(1)求椭圆C的标准方程；(2)设O为坐标原点，若AOB的面积为，试判断直线OA与OB的斜率之积是否为定值？ 【导学号：04024116】解 (1)由题意知解得3分椭圆C的标准方程为16分(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(4k23)x28kmx4m2120，5分由(8km)216(4k23)(m23)0，得m24k236分x1x2，x1x2，SOAB|m|x1x2|m|，8分化简得4k232m20，满足0，从而有4k2m2m23(*)，9分kOAkOB，由(*)式，得1，kOAkOB，即直线OA与OB的斜率之积为定值12分方法指津求解定值问题的两大途径1由特例得出一个值(此值一般就是定值)2先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值变式训练2已知椭圆C：1过A(2,0)，B(0,1)两点(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值解 (1)由题意得a2，b1，椭圆C的方程为y214分又c，离心率e6分(2)证明：设P(x0，y0)(x00，y00)，则x4y4.7分又A(2,0)，B(0,1)，直线PA的方程为y(x2)令x0，得yM，从而|BM|1yM18分直线PB的方程为yx1.令y0，得xN，从而|AN|2xN210分四边形ABNM的面积S|AN|BM|2.从而四边形ABNM的面积为定值12分热点题型3圆锥曲线中的最值、范围问题题型分析：圆锥曲线中的最值、范围问题是高考重点考查的内容，解决此类问题常用的方法是几何法和代数法【例3】(20xx东北三省四市模拟)已知椭圆C：y21(a0)，F1，F2分别是其左、右焦点，以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点(1)求椭圆C的方程；(2)设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，点P横坐标的取值范围是，求线段AB长的取值范围解 (1)因为以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点，所以bc1，a，所以椭圆C的方程为y214分(2)根据题意，直线A，B的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为yk(x1)，与y21联立，消去y并整理得(12k2)x24k2x2k220，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，则x1x2，x1x2，y1y2k(x11)k(x21)k(x1x22)，即M.则直线AB的垂直平分线为y，令y0，得xP，因为xP，即0，所以0k2，|AB|.1，|AB|12分方法指津与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法1数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解2构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解3构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域变式训练3(20xx长沙二模)已知平面内一动点M与两定点B1(0，1)和B2(0,1)连线的斜率之积等于.(1)求动点M的轨迹E的方程；(2)设直线l：yxm(m0)与轨迹E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，当m变化时，求PAB面积的最大值. 【导学号：04024117】解 (1)设M的坐标为(x，y)，1分依题意得，2分化简得动点M的轨迹E的方程为y21(x0)4分(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)联立化简得3x24mx2m220(x0)，有两个不同的交点，由根与系数的关系得x1x2，x1x2，6分(4m)212(2m22)0，即m且m1,0,1.7分设A，B的中点为C(xC，yC)，则xC，yCxCm，C，线段AB的垂直平分线方程为y，令y0，得P点坐标为8分则点P到AB的距离d，9分由弦长公式得|AB|，10分SPAB，11分当且仅当m2，即m(，)时，等号成立，PAB面积的最大值为12分热点题型4圆锥曲线中的探索性问题题型分析：探索性问题一般分为探究条件和探究结论两种类型，若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在若探究结论，则应先写出结论的表达式，再针对表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论【例4】(20xx湘中名校联考)如图131，曲线C由上半椭圆C1：1(ab0，y0)和部分抛物线C2：yx21(y0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，是否存在直线l，使得以PQ为直径的圆恰好过点A？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由图131解 (1)在C1，C2的方程中，令y0，可得b1，且A(1,0)，B(1,0)是上半椭圆C1的左、右顶点由e及a2c2b21可得a2，a2，b12分(2)存在由(1)知，上半椭圆C1的方程为x21(y0).3分由题易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为yk(x1)(k0)代入C1的方程，整理得(k24)x22k2xk240.(*)5分设点P的坐标为(xP，yP)，直线l过点B，x1是方程(*)的一个根由求根公式，得xP，从而yP，点P的坐标为.7分同理，由得点Q的坐标为(k1，k22k)(k，4)，k(1，k2).9分连接AP、AQ(图略)，依题意可知APAQ，0，即k4(k2)0，k0，k4(k2)0，解得k.11分经检验，k符合题意，故直线l的方程为y(x1)12分方法指津探索性问题求解的思路及策略1思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在2策略：(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件变式训练4(20xx呼和浩特一模)已知椭圆1(ab0)的离心率e，直线ybx2与圆x2y22相切(1)求椭圆的方程；(2)已知定点E(1,0)，若直线ykx2(k0)与椭圆相交于C，D两点，试判断是否存在实数k，使得以CD为直径的圆过定点E？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由. 【导学号：04024118】解 (1)直线l：ybx2与圆x2y22相切，b12分椭圆的离心率e，e22，a23，4分所求椭圆的方程是y21.5分(2)直线ykx2代入椭圆方程，消去y可得(13k2)x212kx90，36k2360，k1或k1.7分设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则有x1x2，x1x2.若以CD为直径的圆过点E，则ECED.(x11，y1)，(x21，y2)，(x11)(x21)y1y20.9分(1k2)x1x2(2k1)(x1x2)50，10分(1k2)(2k1)50.解得k1.存在实数k使得以CD为直径的圆过定点E12分
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