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温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时分层作业 十一函数与方程一、选择题(每小题5分,共25分)1.若函数f(x)=ax+b有一个零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是 ()A.0,2B.0,C.0,-D.2,-【解析】选C.因为2a+b=0,所以g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1).所以零点为0和-.2.(2018·唐山模拟)f(x)=2sin x-x+1的零点个数为()A.4B.5C.6D.7【解析】选B.令2sin x-x+1=0,则2sin x=x-1,令h(x)=2sin x,g(x)=x-1,则f(x)=2sin x-x+1的零点个数问题转化为两个函数h(x)与g(x)图象的交点个数问题.h(x)=2sin x的最小正周期为T=2,画出两个函数的图象,如图所示.因为h(1)=g(1),h>g,g(3)=2>h(3)=0,g(-1)=-2,所以两个函数图象的交点一共有5个,所以f(x)=2sin x-x+1的零点个数为5.3.若函数f(x)=ax-x-a(a>0且a1)有两个零点,则实数a的取值范围是()A.(2,+)B.C.(1,+)D.(0,1)【解析】选C.函数f(x)=ax-x-a(a>0且a1)有两个零点,就是函数y=ax(a>0且a1)与函数y=x+a(a>0且a1)的图象有两个交点,由图1知,当0<a<1时,两函数的图象只有一个交点,不符合题意;由图2知,当a>1时,因为函数y=ax(a>1)的图象与y轴交于点(0,1),而直线y=x+a与y轴的交点一定在点(0,1)的上方,所以两函数的图象一定有两个交点,所以实数a的取值范围是a>1.4.已知函数f(x)=-log2x,在下列区间中,包含f(x)的零点的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+)【解析】选C.对于函数f(x)=-log2x,因为f(2)=2>0,f(4)=-0.5<0,根据零点的存在性定理知选C.【一题多解】选C.在同一坐标系中作出函数h(x)=与g(x)=log2x的大致图象,如图所示,可得f(x)的零点所在的区间为(2,4).【变式备选】(2018·烟台模拟)函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的大致区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,e)D.(3,4)【解析】选B.因为f(x)在(0,+)上为单调增函数,且f(1)=ln 2-2<0,f(2)=ln 3-1>0,所以函数的零点所在的大致区间是(1,2).5.设函数f(x)=ex+2x-4,g(x)=ln x+2x2-5,若实数a,b分别是f(x),g(x)的零点,则()A.g(a)<0<f(b)B.f(b)<0<g(a)C.0<g(a)<f(b)D.f(b)<g(a)<0【解析】选A.依题意,f(0)=-3<0,f(1)=e-2>0,且函数f(x)是增函数,因此函数f(x)的零点在区间(0,1)内,即0<a<1.g(1)=-3<0,g(2)=ln 2+3>0,函数g(x)的零点在区间(1,2)内,即1<b<2,于是有f(b)>f(1)>0.又函数g(x)在(0,1)内是增函数,因此有g(a)<g(1)<0,g(a)<0<f(b).二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2018·安庆模拟)若函数f(x)=4x-2x-a,x-1,1有零点,则实数a的取值范围是_. 【解析】因为函数f(x)=4x-2x-a,x-1,1有零点,所以方程4x-2x-a=0在-1,1上有解,即方程a=4x-2x在-1,1上有解.方程a=4x-2x可变形为a=-,因为x-1,1,所以2x,所以-.所以实数a的取值范围是.答案:7.(2018·嘉兴模拟)设函数y=x3与y=的图象的交点为(x0,y0),若x0(n,n+1),nN,则x0所在的区间是_. 【解析】设f(x)=x3-,则x0是函数f(x)的零点,在同一坐标系下画出函数y=x3与y= 的图象如图所示.因为f(1)=1-=-1<0,f(2)=8-=7>0,所以f(1)f(2)<0,所以x0(1,2).答案:(1,2)【变式备选】已知函数f(x)=x2+x+a (a<0)在区间(0,1)上有零点,则a的范围为_. 【解析】由题意f(1)·f(0)<0,所以a(2+a)<0.所以-2<a<0.答案:(-2,0)8.(2018·北京模拟)函数f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f(x+2)=f(x).当x0,1时,f(x)=2x.若在区间-2,3上方程ax+2a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根,则实数a的取值范围是_. 【解析】由f(x+2)=f(x)知函数f(x)是以2为周期的周期函数,又f(x)为偶函数,故函数在-2,3上的图象如图所示.直线y=ax+2a过定点(-2,0),在区间-2,3上方程ax+2a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根,等价于直线y=ax+2a与函数y=f(x)的图象有四个不同的公共点,结合图形可得实数a满足不等式3a+2a>2,且a+2a<2,即<a<.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.判断函数f(x)=4x+x2-x3在区间-1,1上零点的个数,并说明理由.【解析】因为f(-1)=-4+1+=-<0,f(1)=4+1-=>0,所以f(x)在区间-1,1上有零点.又f(x)=4+2x-2x2=-2,当-1x1时,0f(x),所以f(x)在-1,1上是单调递增函数.所以f(x)在-1,1上有且只有一个零点.10.已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,(1)求m的值.(2)求函数的零点.【解析】 (1)因为f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根.设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0.当=0时,即m2-4=0,所以m=±2,当m=-2时,t=1;当m=2时,t=-1(不合题意,舍去).所以2x=1,x=0符合题意.当>0时,即m>2或m<-2,t2+mt+1=0有两正或两负根,即f(x)有两个零点或没有零点.所以这种情况不符合题意.综上可知:当m=-2时,f(x)有唯一零点.(2)由(1)可知,该函数的零点为0.1.(5分)已知实数a,b满足2a=3,3b=2,则函数f(x)=ax+x-b的零点所在的区间是()A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)【解析】选B.因为2a=3,3b=2,所以a>1,0<b<1,又f(x)=ax+x-b,所以f(-1)=-1-b<0,f(0)=1-b>0,从而由零点存在性定理可知f(x)在区间(-1,0)上存在零点.2.(5分)(2018·台州模拟)已知函数y=f(x)是周期为2的周期函数,且当x-1,1时,f(x)=2|x|-1,则函数F(x)=f(x)-|lg x|的零点个数是()A.9 B.10C.11 D.18【解题指南】函数F(x)的零点个数就是函数y=f(x)与y=|lg x|图象交点的个数,作出函数图象,结合图象确定零点的个数.【解析】选B.由F(x)=0得f(x)=|lg x|,所以函数F(x)=f(x)-|lg x|的零点个数就是函数y=f(x)与y=|lg x|图象交点的个数.作出函数图象,如图所示:当0<x10时,有10个交点;当x>10时,|lg x|>1,所以此时函数y=f(x)与y=|lg x|图象无交点.故函数F(x)=f(x)-|lg x|的零点个数是10.3.(5分)已知以T=4为周期的函数f(x)= 若方程f(x)=mx恰有5个实数解,则正实数m的取值范围为_. 【解题指南】作出函数f(x)在一个周期-1,3上的图象,根据周期性拓展函数图象,再作出函数y=mx的图象,数形结合找出两个函数图象有5个公共点时实数m满足的不等式解之即可.【解析】因为当x-1,1时,将函数y=化为方程x2+y2=1(y0),其图象为半圆如图所示,同时在坐标系中作出当x(1,3的图象,再根据周期性作出函数其他部分的图象如图,由图易知直线y=mx与第二个半圆(x-4)2+y2=1(y0)相交,而与第二段折线无公共点时,方程恰有5个实数解, 将y=mx代入(x-4)2+y2=1得(1+m2)x2-8x+15=0, 令=64-60(1+m2)>0,得m2<.又当x=6时,6m>1,m>,所以m.答案: 【方法技巧】数形结合思想在函数零点问题中的应用(1)数形结合思想的本质是转化,即把数的问题转化为形的问题直观解决,或者把形的问题转化为数的问题加以解决.(2)在函数与方程问题中利用数形结合思想可以把函数的零点、方程的根等问题转化为两个函数图象的交点问题加以解决.4.(12分)设函数f(x)=ax2+bx+b-1(a0).(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的零点.(2)若对任意bR,函数f(x)恒有两个不同零点,求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-2x-3,令f(x)=0,得x=3或x=-1.所以函数f(x)的零点为3或-1.(2)依题意,f(x)=ax2+bx+b-1=0有两个不同实根,所以b2-4a(b-1)>0恒成立,即对于任意bR,b2-4ab+4a>0恒成立,所以有(-4a)2-4×(4a)<0a2-a<0,解得0<a<1,因此实数a的取值范围是(0,1).5.(13分)已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(kR)为偶函数. (1)求k的值.(2)若方程f(x)=log4(a·2x-a)有且只有一个根,求实数a的取值范围.【解析】(1)因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),即log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx,即(2k+1)x=0,所以k=-.(2)依题意有log4(4x+1)-x=log4(a·2x-a),即令t=2x,则(1-a)t2+at+1=0(),只需其有一正根即可满足题意.当a=1,t=-1时,不合题意.()式有一正一负根t1,t2,即得a>1,经验证正根满足at-a>0,所以a>1.()式有相等两根,即=0a=±2-2,此时t=,若a=2(-1),则有t=<0,此时方程(1-a)t2+at+1=0无正根,故a=2(-1)舍去;若a=-2(+1),则有t=>0,且a·2x-a=a(t-1)=a=>0,因此a=-2(+1).综上所述,a>1或a=-2-2.关闭Word文档返回原板块
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