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基础送分 提速狂刷练一、选择题1(2017·重庆测试)下列函数为奇函数的是()Ayx33x2 ByCyxsinx Dylog2答案D解析函数yx33x2既不是奇函数，也不是偶函数，排除A；函数y是偶函数，排除B；函数yxsinx是偶函数，排除C；函数ylog2的定义域是(3,3)，且f(x)log2f(x)，是奇函数，D正确故选D.2下列函数中，既是定义域内的偶函数又在(，0)上单调递增的函数是()Af(x)x2 Bf(x)2|x|Cf(x)log2 Df(x)sinx答案C解析函数f(x)x2在(，0)上单调递减，排除A；当x(，0)时，函数f(x)2|x|x在(，0)上单调递减，排除B；当x(，0)时，函数f(x)log2log2(x)在(，0)上单调递增，且函数f(x)在其定义域内是偶函数，C正确；函数f(x)sinx是奇函数，排除D.故选C.3(2017·唐山统考)f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)x3ln (1x)则当x<0时，f(x)()Ax3ln (1x) Bx3ln (1x)Cx3ln (1x) Dx3ln (1x)答案C解析当x<0时，x>0，f(x)(x)3ln (1x)，f(x)是R上的奇函数，当x<0时，f(x)f(x)(x)3ln (1x)，f(x)x3ln (1x)故选C.4已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x2)，当2x3时，f(x)x，则f(105.5)()A0.5 B0.5 C2.5 D2.5答案D解析f(x2)，f(x4)f(x2)2f(x)函数f(x)的周期为4.f(105.5)f(4×272.5)f(2.5)f(2.5)22.53，f(2.5)2.5.f(105.5)2.5.故选D.5(2017·金版创新)已知函数f(x)在xR都有f(x2)f(x)，且当x1,0时，f(x)2x，则f(2017)等于()A. B C1 D1答案B解析由f(x2)f(x)，得f(x4)f(x2)f(x)，所以函数f(x)的周期为4.所以f(2017)f(4×5041)f(1)f(1).故选B.6(2018·青岛模拟)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x1)为偶函数，且f(1)2，则f(4)f(5)的值为()A2 B1 C1 D2答案A解析f(x1)为偶函数，f(x)是R上的奇函数，f(x1)f(x1)，f(x)f(x)，f(0)0，f(x1)f(x1)f(x1)，f(x2)f(x)，f(x4)f(x22)f(x2)f(x)，故4为函数f(x)的周期，则f(4)f(0)0，f(5)f(1)2，f(4)f(5)022.故选A.7(2018·襄阳四校联考)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)x51；当1x1时，f(x)f(x)；当x>0时，f(x1)f(x)，则f(2018)()A2 B1 C0 D2答案D解析因为当x>0时，f(x1)f(x)，所以当x>0时，函数f(x)是周期为1的周期函数，所以f(2018)f(1)，又因为当1x1时，f(x)f(x)，所以f(1)f(1)(1)512.故选D.8已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)f(x1)，若f(2)2，则f(2018)的值为()A2 B0 C2 D±2答案A解析f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)f(x1)，g(x)f(x1)f(x1)g(x)f(x1)即f(x1)f(x1)f(x2)f(x)f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)函数f(x)是周期函数，且周期为4.f(2018)f(2)2.故选A.9(2017·石家庄模拟)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)，则实数a的取值范围为()A(1,4) B(2,0) C(1,0) D(1,2)答案A解析f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，f(5)f(56)f(1)f(1)，f(1)<1，f(5)，<1，即<0，解得1<a<4，故选A.10已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x23x，则函数g(x)f(x)x3的零点所构成的集合为()A1,3 B3，1,1,3C2，1,3 D2，1,3答案D解析当x<0时，f(x)f(x)(x)23xx23x，易求得g(x)当x24x30时，可求得x11，x23；当x24x30时，可求得x32，x42(舍去)故g(x)的零点为1,3，2.故选D.二、填空题11(2018·武昌联考)若函数f(x)在定义域上为奇函数，则实数k_.答案±1解析f(x)，f(x)f(x).由f(x)f(x)0，可得k21，k±1.12设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1)上，f(x)其中aR.若ff，则f(5a)的值是_答案解析f(x)是周期为2的函数，fff，fff，又ff，ff，即a，解得a，则f(5a)f(3)f(41)f(1)1.13(2017·郑州联考)对于函数f(x)，若存在常数a0，使得取定义域内的每一个x值，都有f(x)f(2ax)，则称f(x)为准奇函数给出下列函数：f(x)(x1)2，f(x)，f(x)x3，f(x)cosx，其中所有准奇函数的序号是_答案解析对于函数f(x)，若存在常数a0，使得取定义域内的每一个x值，都有f(x)f(2ax)，则函数f(x)的图象关于(a,0)对称对于，f(x)(x1)2，函数图象无对称中心；对于，f(x)，函数f(x)的图象关于(1,0)对称；对于，f(x)x3，函数f(x)的图象关于(0,0)对称；对于，f(x)cosx，函数f(x)的图象关于(kZ)对称所以所有准奇函数的序号是.14(2018·太原模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足ff(x)，f(2)3，数列an的前n项和为Sn，且a11，Sn2ann(nN*)，则f(a5)f(a6)_.答案3解析奇函数f(x)满足ff(x)，ff(x)，f(x)ff(x3)，f(x)是以3为周期的周期函数，Sn2ann，Sn12an1n1，可得an12an1，结合a11，可得a531，a663，f(a5)f(31)f(2)f(2)3，f(a6)f(63)f(0)0，f(a5)f(a6)3.三、解答题15设函数f(x)在(，)上满足f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)，且在闭区间0,7上，只有f(1)f(3)0.(1)证明：函数f(x)为周期函数；(2)试求方程f(x)0在闭区间2018,2018上的根的个数，并证明你的结论解(1)证明：由f(4x)f(14x)f(x)f(x10)f(x)为周期函数，T10.(2)f(3)f(1)0，f(11)f(13)f(7)f(9)0，故f(x)在0,10和10,0上均有两个解从而可知函数yf(x)在0,2018上有404个解，在2018,0上有403个解，所以函数yf(x)在2018,2018上有807个解16定义在R上的函数f(x)对任意a，bR都有f(ab)f(a)f(b)k(k为常数)(1)判断k为何值时，f(x)为奇函数，并证明；(2)设k1，f(x)是R上的增函数，且f(4)5，若不等式f(mx22mx3)>3对任意xR恒成立，求实数m的取值范围解(1)若f(x)在R上为奇函数，则f(0)0，令ab0，则f(00)f(0)f(0)k，所以k0.证明：由f(ab)f(a)f(b)，令ax，bx，则f(xx)f(x)f(x)，又f(0)0，则有0f(x)f(x)，即f(x)f(x)对任意xR成立，所以f(x)是奇函数(2)因为f(4)f(2)f(2)15，所以f(2)3.所以f(mx22mx3)>3f(2)对任意xR恒成立又f(x)是R上的增函数，所以mx22mx3>2对任意xR恒成立，即mx22mx1>0对任意xR恒成立，当m0时，显然成立；当m0时，由得0<m<1.所以实数m的取值范围是0,1)
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