高考数学兵法10招6调虎离山命题转换

数学高考10招（6） 调虎离山 命题转换在深潭里，龙可以呼风唤雨，推波助澜；在崇山峻岭之中，虎可以“威震群山”，可是：“龙入浅水遭虾戏；虎落平阳被犬欺”，因此，人要与龙虎斗，就应设法使其脱离可以发威的环境.引伸到数学解题上，常有这种情形，一种题在题设的环境中显得十分难解，这是因为“虎”在群山，我们的办法则是使“虎”落平阳.（一）空间问题平面化数学难题也是“虎”，当“虎”在空间时，确实威风八面，让人不敢仰视。这时，何不让这只虎落平阳：将三维问题降到二维，甚至一维，处理起来不就方便多了吗？【例1】多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余4个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：3； 4； 5； 6；7.以上结论正确的为 【解析】这个正方体的下底正方形有3个顶点到平面的距离分别是0，1，2，根据对称原则，第4个顶点到平面的距离应为（1+2-0）=3；上底正方形有1个顶点到平面的距离为4，且这个顶点所在侧棱的另一个顶点恰在平面内，故其余3个顶点到平面的距离为：1+4=5；2+4=6；3+4=7.这就是说：点P到平面的距离可能是3； 5； 6；7.【点评】本解正是将空间问题向平面问题转换.【例2】 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中AB=6，AD=4，AA1=3分别过BC，A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为，若V1V2V3=141，则截面A1EFD1的面积为 （ ）A.8 B.4 C.4 D.16【解答】 这三个部分都是直棱柱，它们的高都等于4（即AD=4）,因而它们的体积比等于相应底的比，即有：SEBEA：=1：4：1.即AE·AA1BE·AA1B1E1·AA1=141. AEBEB1E1=141.设AE=B1E1=2x,则BE=4x.2x+4x=6,x=1.于是AE=2,已知AA1=3,A1E=.S=A1E·EF=4,选C.【点评】本例先由体积比转化为面积比，再由面积比转化为线段比，而线段（AB）之长为已知，再求目标面积也就是轻而易举的事了.（二）环境陌生转移法【例3】某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行.那么安排这6项工程的不同排法种数是（用数字作答） 【解析】原题等价于：设有A、B、C、D、E、F共6个人站成一排，其中A、B、C只有一种顺序，而D在C后且与C相邻，有多少种不同的站法？解法：视CD为一人，则5个人的全排列数为，其中A、B、CD的6种排列顺序中，只能按A、B、CD的先后顺序排列，故总排列数为120×.【点评】咋一见题，题的环境好陌生.沉不住气的考生，就不禁心慌意乱，越发“丈二和尚，摸不着头脑”.可是，你不能考虑转换麽？如本题那样，将题的数学精髓抽出来，放到我们熟悉的环境中去，那么我们再去控“虎”，也就得心应手了.（三）代数问题几何化【例4】 设x,y,zR+,且a=,b=,c=,则在结论a+b>c;a+c>b;b+c>a中 （ ）A.一定都成立 B.一定都不成立例4图C.至多有一个成立 D.有且仅有两个成立【思考】 在“根式运算”这样的崇山峻岭之中，a,b,c都是一个个张牙舞爪的老虎，想降伏它们又何其难也，可是不能让他们远离“根式”这座高山么？式子、说到底不就是三角形的边角关系么？【解析】 构造如图所示的三棱锥PABC，使得PA=x,PB=y,PC=z,且PA、PB、PC两两夹角均为60°,则由余弦定理：a=,b=,c=,ABC中a+b>c,b+c>a,c+a>b,选A.【点评】 在惊叹这种解法之奇妙的同时，你可能会问：你怎么这样会想？我怎么想不到呢？答曰：经验来自积累，聪明源于勤奋.如果平时每做一道题，特别是那些经典定理、公式求解的题，你都争取在头脑中留下一定痕迹，这样日积月累，必要时你也同样能够豁然开朗，运用自如.（四）代数问题三角法【例5】 函数y=的值域是 ( )A(0,+) B. C. D.(0,)【思考】 一般想法是：平方、移项，孤立根式，再平方，可以化无理式为有理式，可是以后怎么办呢？面对一个不低于四次的含双变量的方程，其难度不敢想像.“山重水复”，得考虑转换，去寻找“柳暗花明”.【解】 由0x1.设x=sin2,0,则1x=cos2,那么y=sin+cos=sin(+).当=0或时，ymin=1;当=时.ymax=.于是y1,选B.【点评】 虽是经转换以后的函数简洁明快，可以使人拍案叫绝.但须特别注意：转换后的函数y=sin(x+在内没有单调性，最大值不能在其右端点取得.（五）整排问题用“隔板”【例6】 方程x1+x2+x50=100的正整数解的个数为 （ ）A. B. C. D.【思考】含有50个未知数的一次方程，企图用直接方法去写出该方程的所有整数解是难以想象的.那样数不清，理还乱.困在多元方程的群山之中是没有出路的，唯一办法是实施命题转换.【解】 设想有100个完全相同的球摆成一排，这100个球之间有99个空档，选49块隔板任意插入可将这些球按序分成50堆，则每种插入方法都得到一组50个正整数，也就相当于得到原方程的一个解.因此，原方程共有个解，选B【点评】 设法构造符合题意的情景模型，使得一个原本难以捉摸的数学难题变得如此易于操作，不能不惊叹“转换”手段的巨大威力.（六）合理使用“坐标法”【例9】 如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中， O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1，AD中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于 （ ）A. B. C. D.例7题解图（2）【解析】建立如图的空间直角坐标系，有O(1,1,0),E(0,2,1),F(1,0,0),D1(0,0,2),那么：=(1,1,1),=(1,0,2),·=1+0+2=3,而|=,|=.cos=.选B.【点评】 在空间几何中，求空间角的大小一直是考试中的重难点，是崇山峻岭，可是一当转移坐标中去，却时常是一马平川.【小结】 “调虎离山”的思想，实质是转换的思想，如上所见：数可以转化为形（例1，例4）.抽象可以转化为具体（例5），繁难可以转换为简单（例7，8），代数问题可以转化为三角问题（例6，8，9）.空间问题可以转换为平面问题（例2，7）.其他转换方式还有：高维转向低维，无限转化为有限，可以说转换的思想是一切数学运算，变形的根本思想，而转换的共同方向是化繁为简.化难为易，化未知为已知，从而最终达到解题或证题的目的.