资源描述
精品资料31.3空间向量基本定理31.4空间向量的坐标表示学习目标1.了解空间向量基本定理及其意义.2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量线性运算的坐标运算知识链接1空间的基底惟一吗？答：不惟一只要三个向量不共面，则这三个向量皆可以组成空间的一个基底2设向量a(x1，y1，z1)与向量b(x2，y2，z2)共线，若x2y2z20，则满足的条件是什么？答：若x2y2z20，则ab的充要条件是.预习导引1空间向量基本定理(1)定理如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组x，y，z，使pxe1ye2ze3.(2)基底与基向量如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示我们把e1，e2，e3称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫做基向量空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底(3)正交基底与单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用i，j，k表示(4)推论设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得xyz.2空间向量的坐标表示空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k分别为x，y，z轴方向上的单位向量，对于空间任一个向量a，若有axiyjzk，则有序实数组(x，y，z)叫向量a在空间直角坐标系中的坐标特别地，若A(x，y，z)，则向量的坐标为(x，y，z)3坐标运算设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab(a1b1，a2b2，a3b3)；ab(a1b1，a2b2，a3b3)；a(a1，a2，a3) (R)ab(a0)b1a1，b2a2，b3a3 (R).要点一空间向量的基底例1若a，b，c是空间的一个基底试判断ab，bc，ca能否作为该空间的一个基底？解假设ab，bc，ca共面，则存在实数、使得ab(bc)(ca)，abba()c.a，b，c为基底a，b，c不共面此方程组无解ab，bc，ca不共面ab，bc，ca可以作为空间的一个基底规律方法空间向量有无数个基底判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断跟踪演练1以下四个命题中正确的是_空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；若a，b，c为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线；任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底答案解析因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故不正确；正确；由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，故正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故不正确要点二用基底表示向量例2如图，四棱锥POABC的底面为一矩形，PO平面OABC，设a，b，c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示，.解连结BO，则()(cba)abc.aa()abc.()ac(cb)abc.a.规律方法(1)空间中的任一向量均可用一组不共面的向量来表示，只要基底选定，这一向量用基底表达的形式是惟一的；(2)用基底来表示空间中的向量是向量解决数学问题的关键，解题时注意三角形法则或平行四边形法则的应用跟踪演练2如图所示，空间四边形OABC中，G、H分别是ABC、OBC的重心，设a，b，c.试用向量a，b，c表示向量.解H为OBC的重心，D为BC的中点，()，从而×()(bc)又，×()()(abc)，(bc)(abc)a.要点三空间向量的坐标表示例3已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的三等分点且PN2NC，AM2MB，PAAB1，求的坐标解PAABAD1，且PA垂直于平面ABCD，ADAB，可设i，j，k.以i，j，k为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系()ik，.规律方法建系时要充分利用图形的线面垂直关系，选择合适的基底，在写向量的坐标时，考虑图形的性质，充分利用向量的线性运算，将向量用基底表示跟踪演练3已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PAAD1，建立适当坐标系，求的坐标解以AD，AB，AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示，则M(0，0)，N(，)(，0，)1有以下命题：单位正交基底中的基向量模为1且互相垂直；O，A，B，C为空间四点，且向量，不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；已知向量a，b，c是空间的一个基底，则向量ab，ab，c，也是空间的一个基底其中正确的命题序号是_答案2已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，若kab与2ab平行，则实数k_.答案2解析计算得kab(k1，k,2)，2ab(3,2，2)，由kab与2ab平行得，解得k2.3已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若，则C的坐标是_答案解析设点C坐标为(x，y，z)，则(x，y，z)又(3，2，4)，x，y，z.4若a，b，c是空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xaybzc0，则x，y，z满足的条件是_答案xyz0解析若x0，则abc，即a与b，c共面由a，b，c是空间向量的一个基底，知a，b，c不共面，故x0，同理yz0.1.空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；基底选定后，任一向量可由基底惟一表示2向量的坐标是在单位正交基底下向量的表示在表示向量时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算一、基础达标1在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是_向量与点B的坐标相同；向量与点A的坐标相同；向量与向量的坐标相同；向量与向量的坐标相同答案解析，与的坐标相同2正方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若0 (R)，则_.答案解析如图，连结A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上易知EF綊A1D，即0，.3.已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，点M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG2GN，用基底向量，表示向量为_答案解析()()().4已知a3，6，6，b1,3,2，若ab，则_.答案2解析由ab，得，解得2.5与a(2，1,2)共线且满足a·z18的向量z_.答案(4,2，4)解析z与a共线，设z(2，2)又a·z4418，2，z(4,2，4)6若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则是ab的_条件答案充分不必要解析设k，易知ab，即条件具有充分性又若b0时，b(0,0,0)，显然有ab，但条件显然不成立，所以条件不具有必要性7.在直三棱柱ABOA1B1O1中，AOB，AO4，BO2，AA14，D为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求、的坐标解()().又|4，|4，|2，(2，1，4)().又|2，|4，|4，A1B(4,2，4)二、能力提升8如图，点M为OA的中点，以，为基底，xyz，则实数对(x，y，z)_.答案(，0，1)解析因为0，所以实数对(x，y，z)(，0，1)9已知a2(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c三向量共面，则的值为_答案解析由共面向量定理知存在实数x，y使得axbyc，即(4，2,6)(x,4x，2x)(7y,5y，y)，即解得10一个向量p在基底a，b，c下的坐标为(1,2,3)，则p在ab，ab，c下的坐标为_答案解析设px(ab)y(ab)zc，则p(xy)a(xy)bzc，又pa2b3c，x，y，z3.p在ab，ab，c下的坐标为.11已知O，A，B，C四点的坐标分别是(0,0,0)，(2，1,2)，(4,5，1)，(2,2,3)，求P点坐标，分别满足：(1)()；(2)()解(2,6，3)，(4,3,1)(1)设P点坐标为(x，y，z)，则(x，y，z)，()(3，2)，所以(3，2)，即P点坐标为(3，2)；(2)设P点坐标为(x，y，z)，则(x2，y1，z2)，()(3，2)，所以解得所以P点坐标为(5，0)12在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABC的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，并写出，的坐标解分别取BC，B1C1的中点D，D1，以D为原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则A，A1，B1，C1，所以(0,0,2)，.三、探究与创新13.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点(1)化简：；(2)设E是棱DD1上的点且，若xyz，试求x、y、z的值解(1)，().(2)().即x，y，z.
展开阅读全文