高中数学北师大版必修5 第二章 解三角形 单元测试 Word版含解析

,学生用书单独成册)(时间：100 分钟，满分：120 分)一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知锐角三角形的边长分别为 1，3，a，则 a 的取值范围是()A(8，10)B( 8， 10)C( 8，10)D( 10，8)解析：选 B.依题意，三角形为锐角三角形，则1232a2012a2320，解得 8a 10，故选 B.2在ABC 中，sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C，则 A 的取值范围是()A(0，6B6，)C(0，3D3，)解析：选 C. 根据题意，由正弦定理得，a2b2c2bc，即 b2c2a2bc，由余弦定理得，cos Ab2c2a22bcbc2bc12.又 0A，所以 0A3.3在ABC 中，若acos Abcos Bccos C，则ABC 是()A直角三角形B等边三角形C钝角三角形D等腰直角三角形解析：选 B.由正弦定理，原式可化为sin Acos Asin Bcos Bsin Ccos C，所以 tan Atan Btan C.又因为 A，B，C(0，)，所以 ABC.所以ABC 是等边三角形4在ABC 中，A60，a 6，b4，那么满足条件的ABC ()A有一个解B有两个解C无解D不能确定解析：选 C.由正弦定理得 asin Bbsin A4sin 604322 3.又 a 6，且 60，所以 C 是锐角所以 cos C18.因为CBCA52，所以 abcos C52，所以 ab20.又因为 ab9，所以a22abb281，所以 a2b241，所以 c2a2b22abcos C36，所以 c6，故选 C.6在ABC 中，若 A120，AB5，BC7，则sinBsin C的值为()A.85B.58C.53D.35解析：选 D.由余弦定理得 BC2AB2AC22ABACcos A，即 7252AC210ACcos 120，所以 AC3(负值舍去)由正弦定理得sin Bsin CACAB35.7已知圆的半径为 4，a，b，c 为该圆的内接三角形的三边，若 abc16 2，则三角形的面积为()A2 2B8 2C. 2D.22解析：选 C.因为asin Absin Bcsin C2R8，所以 sin Cc8，所以 SABC12absin Cabc1616 216 2.8在ABC 中，AB3，A60，AC4，则边 BC 上的高是()A.6 1313B.6 3913C.3 3913D.12 3913解析：选 B.由余弦定理，得 BC2AB2AC22ABACcos A，因为 AB3，AC4，A60，所以 BC 13，设边 BC 上的高为 h，所以 SABC12BCh12ABACsin A，即12 13h123432，所以 h6 3913.9.某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它由腰长为 1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为()A2sin2cos2Bsin 3cos3C3sin 3cos1D2sincos1解析：选 A.四个等腰三角形的面积之和为 41211sin2sin，再由余弦定理可得正方形的边长为 1212211cos 22cos，故正方形的面积为 22cos，所以所求八边形的面积为 2sin2cos2.10在ABC 中，B30，AB2 3，AC2，则ABC 的面积为()A2 3B. 3C23或 4 3D. 3或 2 3解析：选 D.如图，因为 ADABsin B 32，所以 BDABcos B3，CD AC2AD21，CD AC2AD21.所以 BC312，BC314，故ABC 有两解，SABC12BCAD 3或 SABC12BCAD2 3.二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案填在题中横线上)11已知ABC 的面积 S 3，A3，则ABAC_解析：SABC12ABACsin A，即 312ABAC32，所以 ABAC4，于是ABAC|AB|AC|cos A4122.答案：212在ABC 中，若 b 2a，B2A，则ABC 为_三角形解析：由正弦定理知 sin B 2sin A，又因为 B2A，所以 sin 2A 2sin A，所以 2sin Acos A 2sin A，所以 cos A22，所以 A45，B90.故ABC 为等腰直角三角形答案：等腰直角13某小区的绿化地有一个三角形的花圃区，若该三角形的三个顶点分别用 A，B，C表示，其对边分别为 a，b，c，且满足(2bc)cos Aacos C0，则在 A 处望 B，C 所成的角的大小为_解析：在ABC 中，(2bc)cos Aacos C0，结合正弦定理得 2sin Bcos Asin Ccos Asin Acos C0，即 2sin Bcos Asin(AC)0，即 2sin Bcos Asin B0.又因为 A，B(0，)，所以 sin B0，所以 cos A12，所以 A3，即在 A 处望 B，C 所成的角的大小为3.答案：314在锐角ABC 中，BC1，B2A，则ACcos A的值等于_，AC 的取值范围为_解析：设 AB2.由正弦定理得ACsin 2BCsin，所以AC2cos1ACcos2.由锐角ABC 得 0290045.又 01803903060，故 304522cos32，所以 AC2cos( 2， 3)答案：2( 2， 3)15如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点从 A 点测得M 点的仰角MAN60， C 点的仰角CAB45以及MAC75； 从 C 点测得MCA60.已知山高 BC100 m，则山高 MN_m.解析：根据题图知，AC100 2 m.在MAC 中，CMA180756045.由正弦定理得ACsin 45AMsin 60AM100 3 m.在AMN 中，MNAMsin 60，所以 MN100 332150(m)答案：150三、解答题(本大题共 5 小题，共 55 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16(本小题满分 10 分)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，且ACAB4，求ABC 的面积 S.解：由已知得 b2c2a2bc，所以 bcb2c2a22bccos A，所以 cos A12，sin A32.由ACAB4，得 bccos A4，所以 bc8，所以 S12bcsin A2 3.17(本小题满分 10 分)设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 ac6，b2，cos B79.(1)求 a，c 的值；(2)求 sin(AB)的值解：(1)由余弦定理 b2a2c22accos B，得 b2(ac)22ac(1cos B)，又 b2，ac6，cos B79，所以 ac9，解得 a3，c3.(2)在ABC 中，sin B 1cos2B4 29，由正弦定理得 sin Aasin Bb2 23.因为 ac，所以 A 为锐角所以 cos A 1sin2A13.因此 sin(AB)sin Acos Bcos Asin B10 227.18(本小题满分 10 分)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围 1 km 处不能收到手机信号， 检查员抽查青岛市一考点， 在考点正西约 3 km有一条北偏东 60方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时 12 km 的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟，检查员开始收不到信号，并至少持续多少时间该考点才算合格？解：如图，考点为 A，检查开始处为 B，设公路上 C、D 两点到考点的距离为 1 km.在ABC 中，AB 3，AC1，ABC30，由正弦定理，得 sinACBsin 30ACAB32，所以ACB120(ACB60不合题意)，所以BAC30，所以 BCAC1，在ACD 中，ACAD，ACD60，所以ACD 为等边三角形，所以 CD1.因为BC12605(min)，所以在 BC 上需 5 min，CD 上需 5 min.最长需要 5 min 检查员开始收不到信号，并至少持续 5 min 才算合格19(本小题满分 12 分)如图，A，B 是海面上位于东西方向相距 5(3 3)海里的两个观测点，现位于 A 点北偏东 45，B 点北偏西 60的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B点南偏西 60且与 B 点相距 203海里的 C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30 海里/小时，该救援船到达 D 点需要多长时间？解：连接 DC.由题意知 AB5(3 3)海里，DBA906030，DAB904545，则ADB180(4530)105.在DAB 中，由正弦定理得DBsinDABABsinADB，所以 DBABsinDABsinADB5（3 3）sin 45sin 1055（3 3）sin 45sin 45cos 60cos 45sin 605 3（ 31）31210 3(海里)又DBCDBAABC303060，BC20 3(海里)，在DBC 中，由余弦定理得CD2BD2BC22BDBCcosDBC3001 200210 320 312900，得 CD30(海里)，则需要的时间 t30301(小时)所以该救援船到达 D 点需要 1 小时20(本小题满分 13 分)已知锐角三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边长分别为 a，b，c，若 a2bsin A.(1)求 B 的大小；(2)求 cos Asin C 的取值范围解：(1)由 a2bsin A，根据正弦定理得 sin A2sin Bsin A，所以 sin B12，由ABC 为锐角三角形得 B6.(2)cos Asin Ccos Asin(6A)cos Asin(6A)cos A12cos A32sin A 3sin(A3)由ABC 为锐角三角形且 B6知，AC56，因 0C2，0A2，故 056A2，得3A2，23A356，所以12sin(A3)32.所以32 3sin(A3)32 3，故 cos Asin C 的取值范围为(32，32)