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天天练19平面向量的数量积及其应用一、选择题1(20xx·遂宁一模)给出下列命题：0；0·0；若a与b共线，则a·b|a|b|；(a·b)·ca·(b·c)其中正确命题的个数是()A1B2C3 D4答案：A解析：，0，该命题正确；数量积是一个实数，不是向量，该命题错误；a与b共线，当方向相反时，a·b|a|b|，该命题错误；当c与a不共线，且a·b0，b·c0时，(a·b)·ca·(b·c)，该命题错误故正确命题的个数为1.故选A.2已知向量a(1,3)，b(2，5)若向量c满足c(ab)，且b(ac)，则c()A. B.C. D.答案：A解析：设出c的坐标，利用平面向量的垂直关系和平行关系得出两个方程，联立两个方程求解即可设c(x，y)，由c(ab)，得c·(ab)(x，y)·(3，2)3x2y0，又b(2，5)，ac(1x,3y)，且b(ac)，所以2(3y)(5)×(1x)0.联立，解得x，y，所以c.故选A.3(20xx·安徽蚌埠一模)已知非零向量m，n满足3|m|2|n|，m，n60°.若n(tmn)，则实数t的值为()A3 B3C2 D2答案：B解析：非零向量m，n满足3|m|2|n|，m，n60°，cosm，n.又n(tmn)，n·(tmn)tm·nn2t|m|n|×|n|2|n|2|n|20，解得t3.故选B.4(20xx·广东五校协作体一模)已知向量a(，1)，b(2,1)若|ab|ab|，则实数的值为()A1 B2C1 D2答案：A解析：根据题意，对于向量a，b，若|ab|ab|，则|ab|2|ab|2，变形可得a22a·bb2a22a·bb2，即a·b0.又由向量a(，1)，b(2,1)，得(2)10，解得1.故选A.5(20xx·上饶二模)已知向量，的夹角为60°，|2，若2，则ABC为()A等腰三角形 B等边三角形C直角三角形 D等腰直角三角形答案：C解析：根据题意，由2，可得2，则|2|4，由，可得|2|222·OA24，故|2，由(2)，得|2|222·212，可得|2.在ABC中，由|4，|2，|2，可得|2|2|2，则ABC为直角三角形故选C.6(20xx·泰安质检)已知非零向量a，b满足|a|b|ab|，则a与2ab夹角的余弦值为()A. B.C. D.答案：D解析：不妨设|a|b|ab|1，则|ab|2a2b22a·b22a·b1，所以a·b，所以a·(2ab)2a2a·b，又|a|1，|2ab|，所以a与2ab夹角的余弦值为.7如图所示，AB是圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB6，MN4，则·()A13 B7C5 D3答案：C解析：连接AP，BP，则，所以·()·()···|2··|2·|21×615.8(20xx·洛阳二模)已知直线xyk0(k>0)与圆x2y24交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有|，则k的取值范围是()A(，) B，)C，2) D，2)答案：C解析：设AB的中点为D，则ODAB，因为|，所以|2|，所以|2|，所以|212|2.因为|2|24，所以|21，因为直线xyk0(k>0)与圆x2y24交于不同的两点A，B，所以|2<4，所以1|2<4，所以12<4，因为k>0，所以k<2，所以k的取值范围是，2)二、填空题9若a(2,1)，b(3,4)，则向量a在向量b方向上的投影为_答案：2解析：因为a(2,1)，b(3,4)，所以a·b2×31×410，|b|5，则向量a在向量b方向上的投影为2.10在ABC中，若(2)，(2)，则ABC的形状为_答案：等边三角形解析：(2)(2)·0，即·2·0.(2)，即(2)·0，即·2·0，所以··2·，即|，而cosA，所以A60°，所以ABC为等边三角形11(河北衡水四调)在ABC中，AB3，AC5.若O为ABC的外接圆的圆心，则·_.答案：8解析：设BC的中点为D，连接OD，AD，则，所以·()··()·()(22)×(5232)8.三、解答题12(20xx·河南第一次段考)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a(1，2)(1)若|c|2，且ca，求c的坐标；(2)若|b|1，且ab与a2b垂直，求a与b的夹角的余弦值解析：(1)设c(x，y)，则由ca和|c|2可得解得或c(2,4)或c(2，4)(2)ab与a2b垂直，(ab)·(a2b)0，即a2a·b2b20，a·b3，cos.
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