【人教A版】高中数学必修4同步辅导与检测含答案第二章2.32.3.1平面向量基本定理

（人教版）精品数学教学资料第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理平面向量基本定理A 级级基础巩固基础巩固一、选择题一、选择题1设设 e1，e2是平面内所有向量的一组基底是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中则下列四组向量中，不能作为基底的是不能作为基底的是()Ae1e2和和 e1e2B3e14e2和和 6e18e2Ce12e2和和 2e1e2De1和和 e1e2解析：解析：B 中中，因为因为 6e18e22(3e14e2)，所以所以(6e18e2)(3e14e2)，所以所以 3e14e2和和 6e18e2不能作为基底不能作为基底答案：答案：B2在菱形在菱形 ABCD 中中，A3，则则AB与与AC的夹角为的夹角为()A.6B.3C.56D.23解析：解析：由题由题意知意知 AC 平分平分BAD，所以所以AB与与AC的夹角为的夹角为6.答案：答案：A3在在ABC 中中，点点 D 在在 BC 边上边上，且且BD2DC，设设ABa，ACb，则则AD可用基底可用基底 a，b 表示为表示为()A.12(ab)B.23a13bC.13a23bD.13(ab)解析：解析：因为因为BD2DC，所以所以BD23BC.所以所以ADABBDAB23BCAB23(ACAB)13AB23AC13a23b.答案：答案：C4如图如图，在在OAB 中中，P 为线段为线段 AB 上一点上一点，OPxOAyOB，且且BP3PA，则则()Ax23，y13Bx13，y23Cx14，y34Dx34，y14解析解析：由已知由已知BP3PA，得得OPOB3(OAOP)，整理整理，得得OP34OA14OB，故故 x34，y14.答案：答案：D5 已知已知 A， B， D 三点共线三点共线， 且对任一点且对任一点 C， 有有CD43CACB，则则()A.23B.13C13D23解析：解析：因为因为 A，B，D 三点共线三点共线，所以存在实数所以存在实数 t， 使使ADtAB， 则则CDCAt(CBCA)， 即即CDCAt(CBCA)(1t)CAtCB，所以所以1t43，t，解之得解之得13.答案：答案：C二、填空题二、填空题6 若若OP1a， OP2b， P1P2PP2(1)， 则则OP_解析：解析：因为因为OPOP1P1POP1PP2OP1(OP2OP)OP1OP2OP，所以所以(1)OPOP1OP2所以所以OP11OP11OP211a1b答案：答案：11a1b7已知已知|a|1，|b| 2，且且 ab 与与 a 垂直垂直，则则 a 与与 b 的夹角为的夹角为_解析：解析：如图如图，作向量作向量OAa，OBb，则则BAab.由已知由已知，得得OA1，OB 2，OAAB，所以所以OAB 为等腰直角三角形为等腰直角三角形，所以所以AOB45，所以所以 a 与与 b 的夹角为的夹角为 45.答案：答案：458如果如果 3e14e2a，2e13e2b，其中其中 a，b 为已知向量为已知向量，则则e1_，e2_解析：解析：由由a3e14e2，b2e13e2，解得解得e13a4b，e23b2a.答案：答案：3a4b3b2a三、解答题三、解答题9.如图所示如图所示，平面内有三个向量平面内有三个向量OA， OB， OC，其中其中OA与与OB的夹的夹角为角为 120，OA与与OC的夹角为的夹角为 30，且且|OA|OB|1，|OC|2 3，若若OCOAOB(，R)求求的值的值解解：如图所示如图所示，以以 OA，OB 所在射线为邻边所在射线为邻边，OC 为对角线作平为对角线作平行四边形行四边形 ODCE，则则OCODOE.在直角在直角OCD 中中，因为因为|OC|2 3，COD30，OCD90，所以所以|OD|4，|CD|2，故故OD4OA，OE2OB，即即4，2，所以所以6.10.如图所示如图所示，在在OAB 中中，OAa，OBb，M，N 分别是分别是边边OA，OB 上的点上的点，且且OM13a，ON12b，设设AN与与BM相交于点相交于点 P，用用向量向量 a，b 表示表示OP.解：解：因为因为OPOMMP，OPONNP，设设MPmMB， NPnNA， 则则OPOMmMB13amb13a13(1m)amb.OPONnNA12bna12b12(1n)bn a.因为因为 a，b 不共线不共线，所以所以13（1m）n，12（1n）m，n15，m25.所以所以OP15a25b.B 级级能力提升能力提升1如果如果 e1，e2是平面是平面内所有向量的一组基底内所有向量的一组基底，那么下列说法正那么下列说法正确的是确的是()A若实数若实数1，2使使1e12e20，则则120B对空间任意向量对空间任意向量 a 都可以表示为都可以表示为 a1e12e2，其中其中1，2RC1e12e2不一定在平面不一定在平面内，内，1，2RD对于平面对于平面内任意向量内任意向量 a，使使 a1e12e2的实数的实数1，2有无有无数对数对解析解析：B 错错，这样的这样的 a 只能与只能与 e1，e2在同一平面内在同一平面内，不能是空间不能是空间任一向量；任一向量；C 错错，在平面在平面内任意向量都可表示为内任意向量都可表示为1e12e2的形式的形式，故故1e12e2一定在平面一定在平面内；内；D 错错，这样的这样的1，2是唯一的是唯一的，而不是而不是有无数对有无数对答案：答案：A2如图所示如图所示，在在ABC 中中，点点 O 是是 BC 的中点的中点，过点过点 O 的直线的直线分别交直线分别交直线 AB， AC 于不同的两点于不同的两点 M， N， 若若ABmAM， ACnAN，则则 mn 的值为的值为_解析：解析：设设ABa，ACb，则则AO12(ABAC)12a12b，又又AOAMMOAMMNAM(ANAM)(1)AMAN1manb.根据平面向量基本定理得根据平面向量基本定理得1m12，n12，消去消去得得 mn2.答案：答案：23设设 e1，e2是不共线的非零向量是不共线的非零向量，且且 ae12e2，be13e2.(1)证明：证明：a，b 可以作为一组基底；可以作为一组基底；(2)以以 a，b 为基底为基底，求向量求向量 c3e1e2的分解式；的分解式；(3)若若 4e13e2ab，求求，的值的值(1)证明证明：若若 a，b 共线共线，则存在则存在R，使使 ab，则则 e12e2(e13e2)由由 e1，e2不共线得不共线得，1，32，1，23.所以所以不存在不存在，故故 a 与与 b 不共线不共线，可以作为一组基底可以作为一组基底(2)解：解：设设 cmanb(m，nR)，得得3e1e2m(e12e2)n(e13e2)(mn)e1(2m3n)e2.所以所以mn3，2m3n1，m2，n1.所以所以 c2ab.(3)解：解：由由 4e13e2ab，得得4e13e2(e12e2)(e13e2) )( ()e1(23)e2.所以所以4，233，3，1.故所求故所求，的值分别为的值分别为 3 和和 1.