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专题二数列建知识网络明内在联系高考点拨数列专题是浙江新高考的必考专题之一，主要考查等差、等比数列的基本量运算及数列求和的能力，该部分即可单独命题，又可与其他专题综合命题，考查方式灵活多样，结合浙江新高考的命题研究，本专题我们按照“等差、等比数列”和“数列求和及综合应用”两条主线展开分析和预测突破点4等差数列、等比数列 (对应学生用书第16页) 核心知识提炼提炼1等差数列、等比数列的运算(1)通项公式等差数列：ana1(n1)d；等比数列：ana1qn1.(2)求和公式等差数列：Snna1d；等比数列：Sn(q1)(3)性质若mnpq，在等差数列中amanapaq；在等比数列中amanapaq.提炼2等差数列、等比数列的判定与证明数列an是等差数列或等比数列的证明方法：(1)证明数列an是等差数列的两种基本方法利用定义，证明an1an(nN*)为同一常数；利用中项性质，即证明2anan1an1(n2)(2)证明an是等比数列的两种基本方法利用定义，证明(nN*)为同一常数；利用等比中项，即证明aan1an1(n2).提炼3数列中项的最值的求法(1)根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数f(n)an，利用求解函数最值的方法(多利用函数的单调性)进行求解，但要注意自变量的取值必须是正整数的限制(2)利用数列的单调性求解，利用不等式an1an(或an1an)求解出n的取值范围，从而确定数列单调性的变化，进而确定相应的最值(3)转化为关于n的不等式组求解，若求数列an的最大项，则可解不等式组若求数列an的最小项，则可解不等式组求出n的取值范围之后，再确定取得最值的项高考真题回访回访1等差数列及其运算1(2017浙江高考)已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则“d0”是“S4S62S5”的() 【导学号：68334059】A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件C法一：数列an是公差为d的等差数列，S44a16d，S55a110d，S66a115d，S4S610a121d,2S510a120d.若d0，则21d20d,10a121d10a120d，即S4S62S5.若S4S62S5，则10a121d10a120d，即21d20d，d0.“d0”是“S4S62S5”的充分必要条件故选C.法二：S4S62S5S4S4a5a62(S4a5)a6a5a5da5d0，“d0”是“S4S62S5”的充分必要条件故选C.2(2015浙江高考)已知an是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则()Aa1d0，dS40Ba1d0，dS40，dS40Da1d0Ba3，a4，a8成等比数列，aa3a8，(a13d)2(a12d)(a17d)，展开整理，得3a1d5d2，即a1dd2.d0，a1d0.Snna1d，S44a16d，dS44a1d6d2d2n2，故bn3n1n2，n3.设数列bn的前n项和为Tn，则T12，T23，10分当n3时，Tn3，13分所以Tn15分 (对应学生用书第17页)热点题型1等差、等比数列的基本运算题型分析：以等差(比)数列为载体，考查基本量的求解，体现方程思想的应用是近几年高考命题的一个热点，题型以客观题为主，难度较小.【例1】(1)已知等比数列an的前n项和为Sn，a1a330，S4120，设bn1log3an，那么数列bn的前15项和为() 【导学号：68334062】A152B135 C80D16(2)(2017台州市高三年级调考)已知数列an的前m(m4)项是公差为2的等差数列，从第m1项起，am1，am，am1，成公比为2的等比数列若a12，则m_，an的前6项和S6_.(1)B(2)428(1)设等比数列an的公比为q，由a1a330，a2a4S4(a1a3)90，所以公比q3，首项a13，所以an3n，bn1log33n1n，则数列bn是等差数列，前15项的和为135，故选B.(2)由题意，得am1a1(m2)d2m6，am2m4，则由2，解得m4，所以数列an的前6项依次为2,0,2,4,8,16，所以S628.方法指津在等差(比)数列问题中最基本的量是首项a1和公差d(公比q)，在解题时往往根据已知条件建立关于这两个量的方程组，从而求出这两个量，那么其他问题也就会迎刃而解.这就是解决等差、等比数列问题的基本量的方法，这其中蕴含着方程思想的运用.提醒：应用等比数列前n项和公式时，务必注意公比q的取值范围. 变式训练1(1)已知在数列an中，a11，an1an3，Sn为an的前n项和，若Sn51，则n_.(2)已知an为等差数列，若a1a5a98，则|an|前9项的和S9_，cos(a3a7)的值为_(1)6(2)24(1)由a11，an1an3，得an1an3，所以数列an是首项为1，公差为3的等差数列由Snn351，即(3n17)(n6)0，解得n6或n(舍)(2)由an为等差数列得a1a5a93a58，解得a5，所以an前9项的和S99a5924.cos(a3a7)cos 2a5cos cos .热点题型2等差、等比数列的基本性质题型分析：该热点常与数列中基本量的运算综合考查，熟知等差(比)数列的基本性质，可以大大提高解题效率.【例2】(1)已知实数列an是等比数列，若a2a5a88，则() 【导学号：68334063】A有最大值B有最小值C有最大值D有最小值(2)设等差数列an的前n项和为Sn，且满足S150，S160，S16160，a90，d0，故Sn最大为S8.又d0，所以an单调递减，因为前8项中Sn递增，所以Sn最大且an取最小正值时有最大值，即最大，故选C.方法指津1若an，bn均是等差数列，Sn是an的前n项和，则mankbn，仍为等差数列，其中m，k为常数2若an，bn均是等比数列，则can(c0)，|an|，anbn，manbn(m为常数)，a，仍为等比数列3公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即a2a1，a3a2，a4a3，成等比数列，且公比为q.4(1)等比数列(q1)中连续k项的和成等比数列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等比数列，其公比为qk.(2)等差数列中连续k项的和成等差数列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等差数列，公差为k2d.5若A2n1，B2n1分别为等差数列an，bn的前2n1项的和，则.变式训练2(1)在等比数列an中，已知a1a38，a5a74，则a9a11a13a15()A1B2C3D2或4(2)已知公比q不为1的等比数列an的首项a1，前n项和为Sn，且a2S2，a3S3，a4S4成等差数列，则q_，S6_.(1)C(2)(1)an为等比数列，a5a7是a1a3与a9a11的等比中项，(a5a7)2(a1a3)(a9a11)，故a9a112.同理a9a11是a5a7与a13a15的等比中项，(a9a11)2(a5a7)(a13a15)故a13a151.a9a11a13a15213.(2)由a2S2q，a3S3qq2，a4S4qq2q3成等差数列，得2qqq2q3，化简得2q23q10，q1，解得q，所以S616.热点题型3等差、等比数列的证明题型分析：该热点常以数列的递推关系为载体，考查学生的推理论证能力.【例3】已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5，求. 【导学号：68334064】解(1)证明：由题意得a1S11a1，故1，a1，故a10.1分由Sn1an，Sn11an1得an1an1an，即an1(1)an.2分由a10，0得an0，所以.3分因此an是首项为，公比为的等比数列，4分于是ann1.6分(2)由(1)得Sn1n.8分由S5得15，即5.13分解得1.15分方法指津判断或证明数列是否为等差或等比数列，一般是依据等差数列、等比数列的定义，或利用等差中项、等比中项进行判断.提醒：利用aan1an1(n2)来证明数列an为等比数列时，要注意数列中的各项均不为0. 变式训练3已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数(1)证明：an2an；(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由解(1)证明：由题设知anan1Sn1，an1an2Sn11，两式相减得an1(an2an)an1，2分由于an10，所以an2an.4分(2)由题设知a11，a1a2S11，可得a21.5分由(1)知，a31.6分令2a2a1a3，解得4.7分故an2an4，由此可得a2n1是首项为1，公差为4的等差数列，a2n14n3.9分a2n是首项为3，公差为4的等差数列，a2n4n1.13分所以an2n1，an1an2，因此存在4，使得数列an为等差数列.15分
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