人教版 高中数学 选修22预习导航：1.5　定积分的概念第2课时

2019人教版精品教学资料高中选修数学预习导航课程目标学习脉络1了解定积分的概念2理解定积分的几何意义3掌握定积分的基本性质.1定积分的概念一般地，如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1x2xixnb将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，n)，作和式(i)xf(i)，当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作f(x)dxf(i)，这里a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式思考1在定积分的定义中，对区间a，b的分法是否是任意的？i的取法是否是任意的？提示：定积分定义中，对于区间a，b的分法是任意的，不一定是等分，只要保证每一个小区间的长度都趋向于0就可以，采用等分的方式是为了便于作和另外，关于i的取法也是任意的，实际用定积分定义计算定积分时为了方便，常把i都取为每个小区间的左(或右)端点思考2定积分f(x)dx中，定积分的值与积分变量、积分区间有关系吗？提示：定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即f(x)dxf(u)duf(t)dt(称为积分形式的不变性)，另外定积分f(x)dx与积分区间a，b息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上限与下限不同，所得的值也就不同，例如(x21)dx与(x21)dx的值就不同2定积分的几何意义如果在区间a，b上函数f(x)连续且恒有f(x)0，那么定积分f(x)dx表示由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积思考3在区间a，b上函数f(x)0时，f(x)dx表示的含义是什么？提示：如果在区间a，b上，函数f(x)0，那么曲边梯形位于x轴的下方，如图所示由于xi0，f(i)0，故f(i)xi0，从而定积分f(x)dx0，这时它等于图中所示曲边梯形面积S的相反数，即f(x)dxS或Sf(x)dx.3定积分的基本性质(1)kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)；(2)f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx；(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)