高考数学 复习 直线与圆、圆与圆的位置关系

（四）直线与圆、圆与圆的位置关系一、知识归纳：（一）直线和圆的位置关系1直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式来讨论位置关系.0，直线和圆相交；=0，直线和圆相切；0，直线和圆相离.方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较.dR，直线和圆相交；d=R，直线和圆相切；dR，直线和圆相离.2直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.3直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.（二）圆与圆的位置关系设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，。；二、学习要点：1.有关直线和圆的位置关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定.2.当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；与圆相交时，弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形.3.有关圆的问题，注意圆心、半径及平面几何知识的应用.4.在确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时，经常要用到距离，因此，两点间的距离公式、点到直线的距离公式等应熟练掌握，灵活运用.三、例题分析：例1、已知一个圆和轴相切，在直线上截得的弦长为，且圆心在直线上，求圆的方程。例2从点发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，求光线所在直线的方程.例3、已知mR，直线l：和圆C：。（1）求直线l斜率的取值范围；（2）直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？例4已知圆A的圆心在曲线上，圆A与y轴相切，又与另一圆 相外切，求圆A的方程. PMNO1O2例5如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程四、练习题（一）选择题1设，则直线与圆的位置关系为A相切 B相交 C相切或相离 D相交或相切2已知直线ax+by+c=0（abc0）与圆x2+y2=1相切，则三条边长分别为a、b、c的三角形A是锐角三角形 B是直角三角形 C是钝角三角形 D不存在3设直线过点，其斜率为1, 且与圆相切,则的值为A B2 C2 D44“”是“直线与圆相切”的A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5.若直线始终平分圆的周长,则 的最小值为 A B C D7圆与圆的位置关系是：A外切 B内切 C相交 D外离8在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有A1条 B2条 C3条 D4条9若圆（x3）2（y+5）2r2上有且只有两个点到直线4x3y=2的距离等于1，则半径r的范围是A.（4，6） B.4，6） C.（4，6 D.4，610一动圆与圆x2+y2=1和x2+y28x+12=0都相切，则动圆圆心轨迹为A.圆 B椭圆 C双曲线一支 D抛物线（二）填空题：11设为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为 _ .12已知圆和直线. 若圆与直线没有公共点，则的取值范围是 .13设直线与圆相交于、两点，且弦 的长为，则_14过点（1，）的直线l将圆(x2)2y24分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k （三）解答题：15圆内有一点，AB为经过点P且倾斜角为的弦。（1）当时，求弦AB的长；（2）当弦AB被点P平分时求直线AB的方程。16已知圆： （1）求圆心的坐标及半径的大小；（2）若不过原点的直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，求直线的方程；（3）从圆外一点向圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且，求点的轨迹方程。17已知直线与圆交于两点，为坐标原点，求的值。18 在平面直角坐标系中，已知圆和圆.（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。19已知实数x、y满足方程x2+y24x+1=0.求（1）的最大值和最小值；（2）yx的最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值.（四）直线与圆、圆与圆的位置关系参考答案三、例题分析：例1.解：设所求圆的方程为：，则有解方程组得或，则所求圆的方程为或例2解：圆（x2）2（y2）21关于x轴的对称方程是（x2）2（y2）21.设l方程为y3k（x3），由于对称圆心（2，2）到l的距离为圆的半径1，从而可得，化简得：，解得k1，k2故所求l的方程是3x4y30或4x3y30.例3、（1）直线的方程可化为，此时斜率因为，所以，当且仅当时等号成立所以，斜率k的取值范围是；（2）不能.由（知的方程为，其中；圆的圆心为，半径；圆心到直线的距离由，得，即，从而，若与圆相交，则圆截直线所得的弦所对的圆心角小于，所以不能将圆分割成弧长的比值为的两端弧；（4）解析：两圆为，则，两圆相交。选B例4解：设圆A的方程为则有解得或则圆A的方程为或例5解：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系， 则O1（-2，0），O2（2，0），由已知：,即，PMNO1O2Oyx 因为两圆的半径都为1,所以有：，设P（x,y） 则（x+2）2+y2-1=2(x-2)2+y2-1， 即 综上所述，所求轨迹方程（或）四、练习题一、选择题 110 CBB4C 6BBA10解析：1解析圆心到直线的距离为d=，圆半径为. ，直线与圆的位置关系是相切或相离. 选C2解析：由题意得=1，即c2=a2+b2，由a、b、c构成的三角形为直角三角形. 选B3解析：设直线过点(0，a)，其斜率为1， 且与圆x2+y2=2相切，设直线方程为，圆心(0，0)道直线的距离等于半径， ， a 的值2，选B 8解析：分别以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求. 选B9数形结合法解. 选A二、填空题：11 1_ . 12 (0, ) . 13_0_14 k 11解析：圆心（0，0）到直线3x4y10=0的距离d=2.再由dr=21=1，知最小距离为1. 答案：112解：由题意知，圆心(-5,0) 到直线 l:3x+y+5=0 的距离 d 必须大于圆的半径 因为d，所以0r从而应填(0, )13解析：设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则圆心(1，2)到直线的距离等于1，0 14 (数形结合)由图形可知点A在圆的内部, 圆心为O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线,所以三、解答题：15解：（1）直线AB的方程是：，则圆心到直线的距离是由勾股定理（2）当弦AB被点P平分时，有，则由直线方程的点斜式，可得直线AB的方程为：16解：（1）圆的方程可化为：，则圆心坐标为，半径（2）依题意，可设直线的方程为，则由，得或，即直线的方程为或（3）因为与圆相切，切点为，则有，又 故，即 化简得：，这就是点的轨迹方程17解：设，由得，则故，即18【解析】 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分16分。(1)设直线的方程为：，即由垂径定理，得：圆心到直线的距离，结合点到直线距离公式，得： 化简得：求直线的方程为：或，即或(2) 设点P坐标为，直线、的方程分别为：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ，即：因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：圆心到直线与直线的距离相等。 故有：，化简得：关于的方程有无穷多解，有： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解之得：点P坐标为或。19解：（1）方程x2+y24x+1=0表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆.设=k，即y=kx，由圆心（2，0）到y=kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.由=，解得k2=3. 所以kmax=，kmin=.（也可由平面几何知识，有OC=2，OP=，POC=60，直线OP的倾斜角为60，直线OP的倾斜角为120解之）（2）设yx=b，则y=x+b，仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时，纵轴截距b取最小值.由点到直线的距离公式，得=，即b=2， 故（yx）min=2.（3）x2+y2是圆上点与原点距离之平方，故连结OC，与圆交于B点，并延长交圆于C，则（x2+y2）max=OC=2+， （x2+y2）min=OB=2.