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精品资料3.2.3空间的角的计算课时目标1.掌握异面直线所成角与二面角的概念，能正确运用向量的数量积求角.2.正确运用二面角的概念及两个平面的法向量的夹角与二面角大小的关系求二面角的大小.3.掌握平面的斜线所在方向向量与平面的法向量夹角与线面角的关系1两条异面直线所成的角(1)定义：设a、b是两条异面直线，过空间任一点O作直线aa，bb，则a与b所夹的_叫做a与b所成的角(2)范围：两异面直线所成的角的取值范围是_(3)向量求法：设直线a、b的方向向量为a、b，其夹角为，则有cos |cos |_.2直线与平面所成的角(1)定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的_所成的角(2)范围：直线和平面所成的角的取值范围是_(3)向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为，a与u的夹角为，则有sin |cos |_或cos _.3二面角(1)二面角的取值范围：_.(2)二面角的向量求法：利用向量求二面角的平面角有两种方法：若AB，CD分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小是向量与的夹角(如图所示)即cos .设n1、n2是二面角l的两个面、的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小(如图所示)即二面角l的大小的余弦值为cos 或cos .一、填空题1若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°，则l1与l2这两条异面直线所成的角为_2若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面所成的角为_3.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若B1MN90°，则PMN的大小是_4将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则二面角ABCD的平面角的余弦值是_5已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为_6若两个平面，的法向量分别是n(1,0,1)，(1，1,0)，则这两个平面所成的锐二面角的度数是_7如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是_8已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为_二、解答题9.如图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，求异面直线AM与C1N所成的角的余弦值10.如图所示，三棱柱OABO1A1B1中，平面OBB1O1平面OAB，O1OB60°，AOB90°，且OBOO12，OA，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小能力提升11已知三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABAC，PAACAB，N为AB上一点，且AB4AN，M，S分别为PB，BC的中点(1)证明：CMSN；(2)求SN与平面CMN所成角的大小12.如图所示，底面ABCD是直角梯形，ABC90°，SA平面ABCD，SAABBC1，AD，求平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值1两异面直线所成的角等于两异面直线的方向向量a，b所成的角(或其补角)，所以求解时要加绝对值，cos |cosa，b|.2求直线与平面的夹角的方法与步骤思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量3二面角的求法往往有两种思路一种是几何法，可以在两个半平面内作出垂直于棱的两条线段，找出二面角的平面角，这是几何中的一大难点另一种是向量法，当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出可以根据所求二面角是锐角还是钝角确定二面角大小 32.3空间的角的计算知识梳理1(1)锐角或直角(2)0<(3)2(1)射影(2)0(3)sin 3(1)0，作业设计130°260°390°解析A1B1平面BCC1B1，故A1B1MN.·()···0，MPMN，即PMN90°.4.解析建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，设正方形ABCD的棱长为1，则O(0,0,0)，A，B，C.，.设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，则可取n(1，1,1)由题意知，平面BCD的法向量为，cosn，即二面角ABCD的平面角的余弦值为.5.解析如图建立空间直角坐标系，因为A1D平面ABC，ADBC，设三棱柱的棱长为1，则AD，AA11，A1D，故A1.又A，B，cos，.异面直线AB与CC1所成角的余弦值为.660°解析cosn，.n，120°.故两平面所成的锐二面角为60°.790°解析建立如图所示的坐标系，设正三棱柱的棱长为1，则B，M，B1，因此，设异面直线AB1与BM所成的角为，则cos |cos，|0，90°.8.解析如图，连结A1B，则A1BC D1，故异面直线BE与CD1所成的角即为BE与A1B所成的角设ABa，则A1Ea，A1Ba，BEa.在A1BE中，由余弦定理得，cosA1BE.9解方法一，·()·()·.而|.同理|.设为异面直线AM与C1N所成的角，则cos .方法二以，为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.则A(1,0,0)，M，C1(0,1,1)，N，于是有(1,0,0)，(0,1,1).·0×1×01×，又|，|，cos .10解建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，O1(0,1，)，A(，0,0)，A1(，1，)，B(0,2,0)，(，1，)，(，1，)cos，.异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.11.(1)证明设PA1，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图所示，则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0，)，N(，0,0)，S(1，0)所以(1，1，)，(，0)因为·00，所以CMSN.(2)解(，1,0)，设a(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则即令x2，得a(2,1，2)因为|cosa，|，所以SN与平面CMN所成的角为45°.12解如图所示以A为原点，AB，AD，AS所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，A(0,0,0)所以，(1,1，1)，设平面SDC的法向量为n(x，y，z)，则n，n，所以即令z1，则x1，y2.此时n(1,2,1)而是平面SAB的法向量，则.观察图形可知平面SCD与平面SAB所成角的余弦值为.
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