数学中考：第五讲 第1课时 二次函数与三角形的综合

+数学中考教学资料数学中考教学资料 20192019 年编年编+ 第五讲 二次函数综合型问题 第 1 课时 二次函数与三角形的综合 (60 分) 1(20 分)2016 杭州已知函数 y1ax2bx，y2axb()ab0 .在同一平面直角坐标系中， (1)若函数 y1的图象过点(1，0)，函数 y2的图象过点(1，2)，求 a，b 的值； (2)若函数 y2的图象经过 y1的顶点， 求证：2ab0； 当 1x32时，比较 y1，y2的大小 解：(1)由题意，得ab0，ab2，解得a1，b1， a1，b1； (2)证明：函数 y1的图象的顶点坐标为b2a，b24a， ab2abb24a，即 bb22a， ab0，b2a， 2ab0； b2a， y1ax()x2 ，y2a()x2 ， y1y2a()x2()x1 ， 1x32， x20，()x2()x1 0 时，a()x2()x1 0，即 y1y2； 当 a0，即 y1y2. 2(20 分)2017 苏州如图 511，二次函数 yx2bxc 的图象与 x 轴交于A，B 两点，与 y 轴交于点 C，OBOC.点 D 在函数图象上，CDx 轴，且CD2，直线 l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点 (1)求 b，c 的值； (2)如图，连结 BE，线段 OC 上的点 F 关于直线 l 的对称点 F恰好在线段BE 上，求点 F 的坐标； 图 511 (3)如图，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N.试问：抛物线上是否存在点Q，使得PQN与APM的面积相等，且线段 NQ 的长度最小？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，说明理由 【解析】 (1)根据二次函数的对称轴公式，将抛物线上的点代入，即可求出 c的值； (2)求 F 的对称点，代入直线 BE，即可； (3)构造新的二次函数，利用其性质求极值 解：(1)CDx 轴，CD2，抛物线对称轴为直线 l：x1. b21，b2，OBOC，C(0，c) 点 B 的坐标为(c，0)，0c22cc， 解得 c3 或 c0(舍去)，c3. (2)设点 F 的坐标为(0，m)，对称轴为直线 l：x1， 点 F 关于直线的对称点 F的坐标为(2，m) 直线 BE 经过点 B(3，0)，E(1，4)， 用待定系数法可得直线 BE 的表达式为 y2x6. 点 F在 BE 上，m2262，即点 F 的坐标为(0，2) (3)存在点 Q 满足题意设点 P 坐标为(n，0)， 则 PAn1，PBPM3n，PNn22n3.作 QR PN，垂足为 R， SAPMSPQN，12(n1)(3n)12(n22n3)QR， QR1.点 Q 在直线 PN 的左侧时，Q 点的坐标为(n1，n24n)，R 点的坐标为(n，n24n)，N 点的坐标为(n，n22n3)在 RtQRN 中，NQ21(2n3)2，n32 时，NQ 取最小值 此时 Q 点的坐标为12，154. 点 Q在直线 PN 的右侧时，Q点坐标为(n1，n24)同理，NQ21(2n1)2，n12时，NQ 取最小值此时 Q 点的坐标为32，154. 综上所述：满足题意的点 Q 的坐标为12，154和32，154. 3(20 分)如图 512 所示，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax22ax3a(a0)与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，经过点 A 的直线 l：ykxb 与 y 轴负半轴交于点 C，与抛物线的另一个交点为 D，且 CD4AC. (1)求 A，B 两点的坐标及抛物线的对称轴； (2)求直线 l 的函数表达式(其中 k，b 用含 a 的式子表示)； (3)点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点，若ACE 的面积的最大值为54，求 a的值； (4)设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由 图 512 备用图 解：(1)当 y0 时，ax22ax3a0，解得 x11，x23， A(1，0)，B(3，0)，对称轴为 x1321； (2)直线 l：ykxb 过点 A(1，0)，kb， l：ykxk， 又抛物线与直线 l 交于点 A，ax2(2ak)x3ak0， CD4AC，D 的横坐标为 4， 3ka4，则 ka，直线 l 的函数表达式为 yaxa； (3)如答图，过点E作EFy轴，交直线l 于点F，设E(x，ax22ax3a)，则 F(x，axa)， EFax22ax3a(axa)ax23ax4a， S ACES AEFS CEF 12ax322258a， a0，当 x32时，S ACE去最大值54，即258a54，解得 a25； (4)以 A，D，P，Q 为顶点的四边形能成为矩形，令 ax22ax3aaxa，解得 x11，x24， D(4，5a)，抛物线的对称轴为 x1，设 P(1，m)， 如答图，若 AD 是矩形 ADPQ 的一条边，则易得 Q(4，21a)，m21a5a26a， AD2PD2AP2，52(5a)232(26a5a)222(26a)2， a77，P1，26 77； 第 3 题答图 第 3 题答图 如答图，若 AD 是矩形 APDQ 的一条对角线，则易得 Q(2，3a)，m5a(3a)8a，P(1，8a)， AP2PD2AD2，(11)2(8a)2(14)2(8a5a)252(5a)2， a12，P(1，4) 综上所述，P 的坐标为1，26 77或(1，4) (20 分) 4(20 分)2016 湖州如图 513，已知二次函数 yx2bxc(b，c 为常数)的图象经过点 A(3，1)，点C(0，4)，顶点为 M，过点 A 作 ABx 轴，交 y 轴于点D，交该二次函数图象于点 B，连结 BC. (1)求该二次函数的表达式及点 M 的坐标； (2)若将该二次函数图象向下平移 m(m0)个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC 的内部(不包括ABC 的边界)，求 m 的取值范围； (3)点P是直线AC上的动点，若点P，C，M所构成的三角形与BCD相似，请直接写出所有点 P 的坐标 【解析】(1)将点 A，C 的坐标代入函数表达式，即可求出 b，c 的值，通过配方法得到点 M 的坐标； (2)点M是沿着对称轴直线x1向下平移的，可先求出直线AC的表达式，将x1 代入求出点 M 在向下平移时与 AC，AB相交时 y 的值，即可得到 m 的取值范围； (3)由题意，可得MCP90，若PCM 与BCD 相似，则要进行分类讨论，分成PCMBDC 和PCMCDB 两种，然后利用边的对应比值求出点 P 坐标 解：(1)把点 A(3，1)，C(0，4)分别代入二次函数 yx2bxc，得93bc1，c4，解得b2，c4， 二次函数的表达式为 yx22x4， 配方得 y(x1)25，点 M 的坐标为(1，5)； 图 513 (2)设直线 AC 的表达式为 ykxn，把点 A(3，1)，C(0，4)代入，得 3kn1，n4，解得k1，n4， 直线 AC 的表达式为 yx4. 如答图，对称轴直线 x1 与ABC 两边分别交于点 E，F. 把x1代入直线AC的表达式yx4，解得y3，则点E坐标为(1，3)，点 F 坐标为(1，1)， 15m3，解得 2m4； 第 4 题答图 (3)如答图，连结MC，作MGy轴并延长交AC于点N，则点G坐标为(0，5) MG1，GC541， MC MG2GG2 1212 2， 把 y5 代入 yx4，解得 x1， 则点 N 坐标为(1，5)，NGGC，GMGC， NCGGCM45，NCM90， 由此可知，若点 P 在 AC 上，则MCP90，则点 D 与点 C 必为相似三角形对应点， ()若有PCMBDC，则有MCCPCDBD， BD1，CD3，CPMCBDCD21323， CDDA3，DCA45， 若点 P 在 y 轴右侧，作 PHy 轴， PCH45，CP23，PH23 213， 把 x13代入 yx4，解得 y113，P113，113； 同理可得，若点 P 在 y 轴左侧，则把 x13代入 yx4，解得 y133， P213，133； ()若有PCMCDB，则有MCCPBDDC， CP2313 2，PH3 2 23， 若点 P 在 y 轴右侧，把 x3 代入 yx4，解得 y1； 若点 P 在 y 轴左侧，把 x3 代入 yx4，解得 y7. P3(3，1)，P4(3，7) 所有符合题意的点 P 坐标有4个，分别为 P113，113，P213，133，P3(3，1)，P4(3，7) (20 分) 5(20 分)2017 攀枝花如图 514，抛物线 yx2bxc 与 x 轴交于 A，B 两点，B 点坐标为(3，0)，与 y 轴交于点 C(0，3) (1)求抛物线的表达式； (2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线yxm与直线BC交于点E，与 y 轴交于点 F，求 PEEF 的最大值； (3)点 D 为抛物线对称轴上一点； 当BCD 是以 BC 为直角边的直角三角形时，求点 D 的坐标； 若BCD 是锐角三角形，求点 D 的纵坐标的取值范围 图 514 备用图 解：(1)由题意得323bc0，c3. 解得b4，c3. 抛物线的表达式为 yx24x3. (2)方法 1：如答图，过 P 作 PGCF 交 CB 于 G， 由题意知BCOCFE45，F(0，m)，C(0，3)， CFE 和GPE 均为等腰直角三角形， EF22CF22(3m)，PE22PG， 设 xPt(1t3)，则 PE22PG22(t3tm)22(m2t3)， t24t3tm， PEEF22(m2t3)22(3m) 22(2t2m6) 2(tm3) 2(t24t) 2(t2)24 2， 当 t2 时，PEEF 最大值 4 2. 第 5 题答图 第 5 题答图 方法 2：(几何法)由题意知直线 BC 的表达式为 yx3，OCOB3， OCB45 .同理可知OFE45 ，CEF 为等腰直角三角形， 如答图，以 BC 为对称轴将 FCE 对称得到 FCE，作 PHCF于 H 点，则 PFEFPF 2PH. 又PHyCyP3yP. 当 yP最小时，PFEF 取最大值， 抛物线的顶点坐标为(2，1)，当 yP1 时，(PFEF)max 2 (31)4 2. (3) 由(1)知对称轴为 x2，设 D(2，n)，如答图.当 BCD 是以 BC 为直角边的直角三角形时，D在C上方D1位置时由勾股定理得CD2BC2BD2， 即(20)2(n3)2(3 2)2(32)2(0n)2，解得 n5； 当 BCD 是以 BC 为直角边的直角三角形时，D 在 C 下方 D2位置时，由勾股定理，得 BD2BC2CD2， 即(23)2(n0)2(3 2)2(20)2(n3)2，解得 n1. 当 BCD 是以 BC 为直角边的直角三角形时，D 点坐标为(2，5)或(2，1) 第 5 题答图 第 5 题答图 如答图，以 BC 的中点 T(3，3)， 为圆心12BC 为半径作T，与对称轴 x2 交于 D3和 D4，由直径所对的圆周角是直角得CD3BCD4B90 ， 设 D(2，m)，由 DT12BC3 22，得322232m23 222， 解得 m3 172， D32，3172，D42，3172， 又由得 D1(2，5)，D2(2，1)， 若 BCD 是锐角三角形，则点 D 在线段 D1D3或 D2D4上(不与端点重合)，故点 D 的纵坐标的取值范围是1yD 3172或 3172 yD 5.