人教版 高中数学 选修22习题 第2章 推理与证明2.1.1

2019年编人教版高中数学选修2-2 第二章 2.1 2.1.1一、选择题1平面内的小圆形按照下图中的规律排列，每个图中的圆的个数构成一个数列an，则下列结论正确的是()a515；数列an是一个等差数列；数列an是一个等比数列；数列an的递推关系是anan1n(nN*)ABCD答案D解析由于a11，a23，a36，a410，所以有a2a12，a3a23，a4a34.因此必有a5a45，即a515，故正确同时正确，而an显然不是等差数列也不是等比数列，故错误，故选D.2用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A6n2B8n2C6n2D8n2答案C解析从可以看出，从第个图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n2.3平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值a，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为()A.a B.a C.a D.a答案B解析将正三角形一边上的高a类比到正四面体一个面上的高a，由正三角形“分割成以三条边为底的三个三角形面积的和等于正三角形的面积”，方法类比为“将四面体分割成以各面为底的三棱锥体积之和等于四面体的体积”证明4类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论：垂直于同一条直线的两条直线互相平行；垂直于同一个平面的两条直线互相平行；垂直于同一条直线的两个平面互相平行；垂直于同一平面的两个平面互相平行，则其中正确的结论是()ABCD答案B解析根据立体几何中线面之间的位置关系知，是正确的结论5(2016湖州高二检测)设ABC的三边长分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r；类比这个结论可知：四面体PABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体PABC的体积为V，则r()A.BC.D答案C解析将ABC的三条边长a、b、c类比到四面体PABC的四个面面积S1、S2、S3、S4，将三角形面积公式中系数，类比到三棱锥体积公式中系数，从而可知选C.证明如下：以四面体各面为底，内切球心O为顶点的各三棱锥体积的和为V，VS1rS2rS3rS4r，r.6把正整数按图所示的规律排序，则从2015到2017的箭头方向依次为()答案C解析1和5的位置相同，图中排序每四个一组循环，而2013除以4的余数为1，2013的位置和1的位置相同，2014的位置和2的位置相同，2015的位置和3的位置相同，2016的位置和4的位置相同，故选C.二、填空题7观察下列等式：121，12223，1222326，1222324210，由以上等式推测到一个一般的结论：对于nN*,12223242(1)n1n2_.答案(1)n1解析注意到第n个等式的左边有n项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于123n，注意到右边的结果的符号的规律是：当n为奇数时，符号为正；当n为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(1)n1.8观察下列等式：(11)21；(21)(22)2213；(31)(32)(33)23135；照此规律，第n个等式可为_答案(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)解析观察规律，等号左侧第n个等式共有n项相乘，从n1到nn，等式右端是2n与等差数列2n1前n项的乘积，故第n个等式为(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)9(2016德州高二检测)在平面几何里有射影定理：设ABC的两边ABAC，D是A点在BC上的射影，则AB2BDBC.拓展到空间，在四面体ABCD中，DA平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，类比平面三角形射影定理，ABC、BOC、BDC三者面积之间关系为_.答案SSOBCSDBC解析将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD与一侧面ABC垂直的四棱锥的侧面ABC的面积，将此直角边AB在斜边上的射影及斜边的长，类比到ABC在底面的射影OBC及底面BCD的面积可得SSOBCSDBC.证明如下：如图，设直线OD与BC相交于点E，AD平面ABE，ADAE，ADBC，又AO平面BCD，AODE，AOBC.ADAOA，BC平面AED，BCAE，BCDE.SABCBCAE，SBOCBCOE，SBCDBCDE.在RtADE中，由射影定理知AE2OEDE，SSBOCSBCD.三、解答题10已知等式sin210cos240sin10cos40，sin26cos236sin6cos36.请写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含已知的等式，并证明结论的正确性.解析等式为sin2cos2(30)sincos(30).证明如下：sin2cos2(30)sincos(30)sin2sin(cos30cossin30sin)sin2sin2sin2sin2(cos2sin2)sin2sin2sin2cos2sin2sin2sin2sin2(12sin2).一、选择题1观察下列式子：1，1，1，根据以上式子可以猜想：1()A.BC.D答案C解析本题考查了归纳的思想方法观察可以发现，第n(n2)个不等式左端有n1项，分子为1，分母依次为12、22、32、(n1)2；右端分母为n1，分子成等差数列，首项为3，公差为2，因此第n个不等式为1，所以当n2015时不等式为：1b0)中，当离心率e趋近于0时，短半轴b就趋近于长半轴a，此时椭圆就趋近于圆类比圆的面积公式得椭圆面积S椭圆_.类比过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程，则过椭圆1(ab0)上一点P(x1，y1)的椭圆的切线方程为_.答案abxy1解析当椭圆的离心率e趋近于0时，椭圆趋近于圆，此时a，b都趋近于圆的半径r，故由圆的面积Sr2rr，猜想椭圆面积S椭ab，其严格证明可用定积分处理而由切线方程x0xy0yr2变形得xy1，则过椭圆上一点P(x1，y1)的椭圆的切线方程为xy1，其严格证明可用导数求切线处理4(2016山东文，12)观察下列等式：(sin)2(sin)212；(sin)2(sin)2(sin)2(sin)223；(sin)2(sin)2(sin)2(sin)234；(sin)2(sin)2(sin)2(sin)245；照此规律，(sin)2(sin)2(sin)2(sin)2_.答案n(n1)解析根据已知，归纳可得结果为n(n1)三、解答题5我们知道：121，22(11)212211，32(21)222221，42(31)232231，n2(n1)22(n1)1，左右两边分别相加，得n22123(n1)n123n.类比上述推理方法写出求122232n2的表达式的过程解析我们记S1(n)123n，S2(n)122232n2，Sk(n)1k2k3knk (kN*)已知131，23(11)313312311，33(21)323322321，43(31)333332331，n3(n1)33(n1)23(n1)1.将左右两边分别相加，得S3(n)S3(n)n33S2(n)n23S1(n)nn.由此知S2(n).6(2016隆化县高二检测)在RtABC中，ABAC，ADBC于D，求证：，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由.解析如图(1)所示，由射影定理AD2BDDC，AB2BDBC，AC2BCDC，.又BC2AB2AC2，.类比ABAC，ADBC猜想：四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE平面BCD.则.如图(2)，连接BE延长交CD于F，连接AF.ABAC，ABAD，AB平面ACD.而AF平面ACD，ABAF.在RtABF中，AEBF，.在RtACD中，AFCD，故猜想正确