人教版 高中数学 选修22练习：第2章 推理与证明2.1.1

2019人教版精品教学资料·高中选修数学第二章 2.1 2.1.1A级基础巩固一、选择题1平面内的小圆形按照下图中的规律排列，每个图中的圆的个数构成一个数列an，则下列结论正确的是(D)a515；数列an是一个等差数列；数列an是一个等比数列；数列an的递推关系是anan1n(nN*)ABCD解析由于a11，a23，a36，a410，所以有a2a12，a3a23，a4a34.因此必有a5a45，即a515，故正确同时正确，而an显然不是等差数列也不是等比数列，故错误，故选D2(2016·潍坊高二检测)已知a11，a2，a3，a4，则数列an的一个通项公式为an(B)ABCD3平面内平行于同一直线的两条直线平行，由此类比到空间中可以得到(D)A空间中平行于同一直线的两条直线平行B空间中平行于同一平面的两条直线平行C空间中平行于同一直线的两个平面平行D空间中平行于同一平面的两个平面平行4(2016·石家庄高二检测)如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排下去，那么第36颗珠子的颜色是(A)A白色B黑色C白色的可能性较大D黑色的可能性较大5(2016·郑州高二检测)下面使用类比推理，得出的结论正确的是(C)A“若a·3b·3，则ab”类比推出“若a·0b·0，则ab”B“若(ab)cacbc”类比推出“(a·b)cac·bc”C“若(ab)cacbc”类比推出“(c0)”D“(ab)nanbn”类比推出“(ab)nanbn”6(2017·长春三模)设nN，则(A)A BC D解析 个故选A二、填空题7观察下列等式：121，12223，1222326，1222324210，由以上等式推测到一个一般的结论：对于nN*,12223242(1)n1n2(1)n1.解析注意到第n个等式的左边有n项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于123n，注意到右边的结果的符号的规律是：当n为奇数时，符号为正；当n为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(1)n1.8观察下列等式：(11)2×1；(21)(22)22×1×3；(31)(32)(33)23×1×3×5；照此规律，第n个等式可为_(n1)(n2)(nn)2n×1×3××(2n1)_解析观察规律，等号左侧第n个等式共有n项相乘，从n1到nn，等式右端是2n与等差数列2n1前n项的乘积，故第n个等式为(n1)(n2)(nn)2n×1×3××(2n1)三、解答题9(2016·德州高二检测)在平面几何里有射影定理：设ABC的两边ABAC，D是A点在BC上的射影，则AB2BD·BC拓展到空间，在四面体ABCD中，DA平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，类比平面三角形射影定理，写出ABC、BOC、BDC三者面积之间关系.解析将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD与一侧面ABC垂直的四棱锥的侧面ABC的面积，将此直角边AB在斜边上的射影及斜边的长，类比到ABC在底面的射影OBC及底面BCD的面积可得SSOBC·SDBC证明如下：如图，设直线OD与BC相交于点E，AD平面ABE，ADAE，ADBC，又AO平面BCD，AODE，AOBCADAOA，BC平面AED，BCAE，BCDE.SABCBC·AE，SBOCBC·OE，SBCDBC·DE.在RtADE中，由射影定理知AE2OE·DE，SSBOC·SBCD10已知等式sin210°cos240°sin10°cos40°，sin26°cos236°sin6°cos36°.请写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含已知的等式，并证明结论的正确性.解析等式为sin2cos2(30°)sincos(30°).证明如下：sin2cos2(30°)sincos(30°)sin2sin(cos30°·cossin30°·sin)sin2sin2sin2sin2(cos2sin2)sin2sin2sin2cos2sin2sin2sin2sin2(12sin2).B级素养提升一、选择题1观察下列式子：1<，1<，1<，根据以上式子可以猜想：1<(C)ABCD解析本题考查了归纳的思想方法观察可以发现，第n(n2)个不等式左端有n1项，分子为1，分母依次为12、22、32、(n1)2；右端分母为n1，分子成等差数列，首项为3，公差为2，因此第n个不等式为1<，所以当n2015时不等式为：1<.2类比三角形中的性质：(1)两边之和大于第三边(2)中位线长等于底边长的一半(3)三内角平分线交于一点可得四面体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点其中类比推理方法正确的有(C)A(1)B(1)(2)C(1)(2)(3)D都不对解析以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确二、填空题3在以原点为圆心，半径为r的圆上有一点P(x0，y0)，则圆的面积S圆r2，过点P的圆的切线方程为x0xy0yr2.在椭圆1(a>b>0)中，当离心率e趋近于0时，短半轴b就趋近于长半轴a，此时椭圆就趋近于圆类比圆的面积公式得椭圆面积S椭圆_ab_.类比过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程，则过椭圆1(a>b>0)上一点P(x1，y1)的椭圆的切线方程为·x·y1.解析当椭圆的离心率e趋近于0时，椭圆趋近于圆，此时a，b都趋近于圆的半径r，故由圆的面积Sr2·r·r，猜想椭圆面积S椭·a·b，其严格证明可用定积分处理而由切线方程x0·xy0·yr2变形得·x·y1，则过椭圆上一点P(x1，y1)的椭圆的切线方程为·x·y1，其严格证明可用导数求切线处理4(2016·山东文，12)观察下列等式：(sin)2(sin)2×1×2；(sin)2(sin)2(sin)2(sin)2×2×3；(sin)2(sin)2(sin)2(sin)2×3×4；(sin)2(sin)2(sin)2(sin)2×4×5；照此规律，(sin)2(sin)2(sin)2(sin)2n(n1).解析根据已知，归纳可得结果为n(n1)三、解答题5我们知道：121，22(11)2122×11，32(21)2222×21，42(31)2322×31，n2(n1)22(n1)1，左右两边分别相加，得n22×123(n1)n123n.类比上述推理方法写出求122232n2的表达式的过程解析我们记S1(n)123n，S2(n)122232n2，Sk(n)1k2k3knk (kN*)已知131，23(11)3133×123×11，33(21)3233×223×21，43(31)3333×323×31，n3(n1)33(n1)23(n1)1.将左右两边分别相加，得S3(n)S3(n)n33S2(n)n23S1(n)nn.由此知S2(n).6(2016·隆化县高二检测)在RtABC中，ABAC，ADBC于D，求证：，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由.解析如图(1)所示，由射影定理AD2BD·DC，AB2BD·BC，AC2BC·DC，.又BC2AB2AC2，.类比ABAC，ADBC猜想：四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE平面BCD则.如图(2)，连接BE延长交CD于F，连接AF.ABAC，ABAD，AB平面ACD而AF平面ACD，ABAF.在RtABF中，AEBF，.在RtACD中，AFCD，故猜想正确C级能力拔高(2016·烟台高二检测)已知椭圆具有如下性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值试对双曲线1，写出具有类似的性质，并加以证明.解析类似的性质为：若M，N是双曲线1上关于原点对称的两点，点P是双曲线上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值证明如下：设M(m，n)，P(x，y)，则N(m，n)，因为点M(m，n)在双曲线上，所以n2m2b2.同理，y2x2b2.则kPM·kPN··(定值)