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技法强化训练技法强化训练(二二)数形结合思想数形结合思想题组 1利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题1方程|x22x|a21(a0)的解的个数是()A1B.2C.3D.4Ba0，a211.而 y|x22x|的图象如图，y|x22x|的图象与 ya21 的图象总有 2 个交点2已知函数 f(x)|log2|x|12x，则下列结论正确的是()Af(x)有三个零点，且所有零点之积大于1Bf(x)有三个零点，且所有零点之积小于1C.f(x)有四个零点，且所有零点之积大于 1Df(x)有四个零点，且所有零点之积小于 1A在同一坐标系中分别作出 f1(x)|log2|x|与 f2(x)12x的图象，如图所示，由图象知 f1(x)与 f2(x)有三个交点，设三个交点的横坐标从左到右分别是 x1，x2，x3，因为 f12 0， f14 0， 所以12x114， 同理12x21,1x32， 即1x1x2x318，即所有零点之积大于1.3(20 xx广州二模)设函数 f(x)的定义域为 R，f(x)f(x)，f(x)f(2x)，当 x0,1时， f(x)x3， 则函数 g(x)|cos(x)|f(x)在12，52 上的所有零点的和为()A7B.6C.3D.2A函数 g(x)|cos(x)|f(x)在12，52 上的零点为函数 h(x)|cos(x)|与函数f(x)的交点的横坐标因为 f(x)f(x)，f(x)f(2x)，所以函数 f(x)为关于 x1 对称的偶函数，又因为当 x0,1时，f(x)x3，则在平面直角坐标系内画出函数 h(x)|cos(x)|与函数 f(x)在12，52 内的图象，如图所示，由图易得两函数图象共有 7 个交点，不妨设从左到右依次为 x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，则由图易得 x1x20，x3x52，x41，x6x74，所以 x1x2x3x4x5x6x77， 即函数 g(x)|cos(x)|f(x)在12，52 上的零点的和为 7， 故选 A.4(20 xx合肥二模)若函数 f(x)asin x 在，2上有且只有一个零点，则实数 a_.1函数 f(x)asin x 在，2上有且只有一个零点，即方程 asin x0 在，2上只有一解，即函数 ya 与 ysin x，x，2的图象只有一个交点，由图象可得 a1.5已知函数 f(x)x3，xa，x2，xa，若存在实数 b，使函数 g(x)f(x)b 有两个零点，则 a 的取值范围是_(，0)(1，)函数 g(x)有两个零点，即方程f(x)b0 有两个不等实根，则函数 yf(x)和 yb 的图象有两个公共点若 a0，则当 xa 时，f(x)x3，函数单调递增；当 xa 时，f(x)x2，函数先单调递减后单调递增，f(x)的图象如图(1)实线部分所示，其与直线 yb 可能有两个公共点若 0a1，则 a3a2，函数 f(x)在 R 上单调递增，f(x)的图象如图(2)实线部分所示，其与直线 yb 至多有一个公共点若 a1，则 a3a2，函数 f(x)在 R 上不单调，f(x)的图象如图(3)实线部分所示，其与直线 yb 可能有两个公共点综上，a0 或 a1.题组 2利用数形结合思想求解不等式或参数范围6若不等式 logaxsin 2x(a0，a1)对任意 x0，4 都成立，则 a 的取值范围为()A.0，4B.4，1C.4，2D.(0,1)A记 y1logax(a0，a1)，y2sin 2x，原不等式即为 y1y2，由题意作出两个函数的图象，如图所示，知当 y1logax 的图象过点 A4，1时，a4，所以当4a1 时，对任意 x0，4 都有 y1y2.7(20 xx黄冈模拟)函数 f(x)是定义域为x|x0的奇函数，且 f(1)1，f(x)为 f(x)的导函数，当 x0 时，f(x)xf(x)1x，则不等式 xf(x)1ln|x|的解集是()【导学号：85952004】A(，1)(1，)B.(，1)C.(1，)D.(1,1)A令 g(x)xf(x)ln|x|，则 g(x)是偶函数，且当 x0 时，g(x)f(x)xf(x)1x0，g(x)在(0，)上单调递增故不等式 xf(x)1ln|x|g(|x|)g(1)，|x|1，解得 x1 或 x1.故选 A.8若不等式|x2a|12xa1 对 xR 恒成立，则 a 的取值范围是_，12作出 y|x2a|和 y12xa1 的简图，依题意知应有 2a22a，故 a12.9已知函数 f(x)|lg x|，0 x10，12x6，x10.若 a，b，c 互不相等，且 f(a)f(b)f(c)，则 abc 的取值范围是_(10,12)作出 f(x)的大致图象由图象知，要使 f(a)f(b)f(c)，不妨设 abc，则lg alg b12c6.lg alg b0，ab1，abcc.由图知 10c12，abc(10,12)10已知函数 f(x)sin2x3 的相邻两条对称轴之间的距离为4，将函数 f(x)的图象向右平移8个单位后， 再将所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍， 得到 g(x)的图象， 若 g(x)k0 在 x0，2 上有且只有一个实数根， 则 k 的取值范围是_.【导学号：85952005】k|12k12或 k1因为 f(x)相邻两条对称轴之间的距离为4， 结合三角函数的图象可知T24，即 T2.又 T222，所以2，f(x)sin4x3 .将 f(x)的图象向右平移8个单位得到 f(x)sin4x8 3 sin4x6 的图象，再将所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍得到 g(x)sin2x6 的图象所以方程为 sin2x6 k0.令 2x6t，因为 x0，2 ，所以6t56.若 g(x)k0 在 x0，2 上有且只有一个实数根，即 ysin t 与 yk 在6，56 上有且只有一个交点如图所示，由正弦函数的图象可知12k12或k1，即12k12或 k1.题组 3利用数形结合解决解析几何问题11已知圆 C：(x3)2(y4)21 和两点 A(m,0)，B(m,0)(m0)若圆 C 上存在点 P，使得APB90，则 m 的最大值为()A7B.6C.5D.4B根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心 C 的坐标为(3,4)半径 r1，且|AB|2m，因为APB90，连接 OP，易知|OP|12|AB|m.要求 m 的最大值， 即求圆 C 上的点 P 到原点 O 的最大距离 因为|OC| 32425，所以|OP|max|OC|r6，即 m 的最大值为 6.12(20 xx衡水模拟)过抛物线 y22px(p0)焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 B，C 两点，l 与抛物线的准线交于点 A，且|AF|6，AF2FB，则|BC|()A.92B.6C.132D.8A如图所示， 直线与抛物线交于 B， C 两点， 与抛物线的准线交于 A 点 AF2FB，F 在 A，B 中间，C 在 A，F 之间，分别过 B，C 作准线的垂线 BB1，CC1，垂足分别为 B1，C1.由抛物线的定义可知|BF|BB1|，|CF|CC1|.AF2FB，|AF|6，|FB|BB1|3.由AFKABB1可知，|FK|BB1|AF|AB|，|FK|2.设|CF|a，则|CC1|a，由ACC1AFK，得|CC1|FK|AC|AF|.a26a6，a32.|BC|BF|FC|33292.13已知 P 是直线 l：3x4y80 上的动点，PA，PB 是圆 x2y22x2y10 的两条切线， A， B 是切点， C 是圆心， 则四边形 PACB 面积的最小值为_2 2从运动的观点看问题， 当动点 P 沿直线 3x4y80 向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形 PAC 的面积 SRtPAC12|PA|AC|12|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大； 当点 P 从左上、 右下两个方向向中间运动时， S四边形PACB变小，显然，当点 P 到达一个最特殊的位置，即 CP 垂直于直线 l 时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时|PC|31418|32423，从而|PA| |PC|2|AC|22 2.所以(S四边形PACB)min212|PA|AC|2 2.14已知过原点的动直线 l 与圆 C1：x2y26x50 相交于不同的两点 A，B.(1)求圆 C1的圆心坐标；(2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程；(3)是否存在实数 k，使得直线 L：yk(x4)与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出 k 的取值范围；若不存在，说明理由解(1)圆 C1的方程 x2y26x50 可化为(x3)2y24，所以圆心坐标为(3,0).2 分(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)，M(x0，y0)，则 x0 x1x22，y0y1y22.由题意可知直线 l 的斜率必存在，设直线 l 的方程为 ytx.将上述方程代入圆 C1的方程，化简得(1t2)x26x50.5 分由题意，可得3620(1t2)0(*)，x1x261t2，所以 x031t2，代入直线 l 的方程，得 y03t1t2.6 分因为 x20y2091t229t21t2291t21t2291t23x0，所以x0322y2094.由(*)解得 t245，又 t20，所以53x03.所以线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程为x322y29453x3.8 分(3)由(2)知，曲线 C 是在区间53，3上的一段圆弧如图，D53，2 53，E53，2 53，F(3,0)，直线 L 过定点 G(4,0)联立直线 L 的方程与曲线 C 的方程，消去 y 整理得(1k2)x2(38k2)x16k20.令判别式0，解得 k34，由求根公式解得交点的横坐标为 xH，I12553，3.11 分由图可知：要使直线 L 与曲线 C 只有一个交点，则 kkDG，kEGkGH，kGI，即 k2 57，2 5734，34 .12 分
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