用频率作为概率的估计值

用频率估计概率寸：敦与目标【知识与技能】理解每次试验可能的结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，利 用统计频率的方法估计概率.【过程与方法】经历利用频率估计概率的学习，使学生明白在同样条件下，大量重复试验时，根据 一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率【情感态度】通过研究如何用统计频率求一些现实生活中的概率问题，培养使用数学的良好意 识，激发学习兴趣，体验数学的应用价值.【教学重点】对利用频率估计概率的理解和应用.【教学难点】利用频率估计概率的理解.敦学迎耀一、情境导入，初步认识问题1400个同学中，一定有2个同学的生日相同（可以不同年）吗？那么300个同学中一定有2个同学的生日相同吗？有人说：“50个同学中，就很可能有2个同学的生日相同.”这话正确吗？调查全班同学，看看有无2个同学的生日相同.问题2要想知道一个鱼缸里有12条鱼，只要数一数就可以了 .但要估计一个鱼塘里 有多少条鱼，该怎么办呢？【教学说明】在前面我们学习了能列举所有可能的结果，并且每种结果的可能性相 等的随机事件的概率的求法.那么这里的两个问题情境中，很容易让学生想到这些事件的 结果不容易完全列举出来，而且每种结果出现的可能性也不一定是相同的.从而引发学生 的求知欲，对于这类事件的概率该怎样求解呢，引入课题 .二、思考探究，获取新知1 .利用频率估计概率试验：把全班同学分成10组，每组同学掷一枚硬币50次，整理同学们获得的试验 数据，并记录在下表中：抛掷次数）1“正面向上” 的频数用“正面向上”的频率空 U50100150200250300350400450500填表方法：第1组的数据填在第1行；第1, 2组的数据之和填在第2行，10 个组的数据之和填在第10行.如果在抛掷n次硬币时，出现 m次“正面向上”，则随机事件“正面向上”出现 的频率为m/n.【教学说明】分组是为了减少劳动强度加快试验速度，当然如果条件允许，组数分 得越多，获得的数据就会越多，就更容易观察出规律.让学生再次经历数据的收集，整理 描述与分析的过程，进一步发展学生的统计意识，发现数据中隐藏的规律.请同学们根据试验所得数据想一想：“正面向上”的频率有什么规律？历史上，有些人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验，试验结果如下：试验者抛掷 次数乂“正面向上” 次数in.正面句上”频率四 n棣莫弗204810610.518布丰404020480. 5069费勒1000049790r 4979皮尔逊1200060190. 501G皮尔逊24000120120. 5005思考 随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率变化趋势有何规律？在学生讨论的基础上，教师帮助归纳，使学生认识到每次试验中随机事件发生的频 率具有不确定性，同时发现随机事件发生的频率也有规律性，在试验次数较少时，“正 面向上”的频率起伏较大，而随着试验次数逐渐增加，一般地，频率会趋于稳定，“正 面向上”的频率越来越接近 0.5,也就是说，在0.5左右摆动的幅度越来越小.我们就用 0.5这个常数表示“正面向上”发生的可能性的大小 .【归纳结论】一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率m/n稳定于某个 常数P,那么事件A发生的概率P (A) =P思考对一个随机事件A,用频率估计的概率P (A)可能小于0吗？可能大于1吗？答：都不可能，它们的值仍满足 0&P (A) < 1.2 .利用频率估计概率的应用问题1某林业部门要考查某种幼树在一定条件下的移植成活率，应采用什么具体做法？幼树移植成活率是实际问题中的一种概率， 这种实际问题中的移植试验不属于各种 结果可能性相等的类型.因而要考查成活率只能用频率去估计.在同样的条件下，大量地对这种幼树进行移植，并统计成活情况，计算成活的频率， 若随着移植棵树n的越来越大，频率m/n越来越稳定于某个常数则这个常数就可以作 为成活率的近似值.上述问题可设计如下模拟统计表，补出表中空缺并完成表后填空.移植息数H成活数m成活的频率担 n108Q. 8050472702350.870400369750662150013350.8909000807314000126280. 902从表中可以发现，幼树移植成活的频率在左右摆动，且随着统计数据的增加，这种 规律愈加明显，所以估计幼树移植成活的频率为：.答案：（1）表中空出依次填：0.940, 0.923, 0.883, 0.897（2） 0.9, 0.9问题2某水果公司以2元/千克价格购进10000千克的水果，且希望这些水果能获 得税前利润5000元，那么在出售这些水果（已去掉损坏的水果）时，每千克大约定价 为多少元较合适？解：要定出合适的价格，必须考虑该水果的“完好率”或“损坏率”，如考查“损 坏率”就需要从水果中随即抽取若干，进行损坏数量的统计，并把结果记录下来，为此 可仿照上述问题制定如下表格：水果总质 量水千克损坏质 量（抵）千克损坏率（总） H505. 500. 11010010. 50口. 10515015.15%日工20019. 42109725024. 25口.09730030. 9335035. 32>10140039. 245 09345044. 57，口 9g500P 51. 540, 103从表格可看出，水果损坏率在某个常数（例如 0.1）左右摆动，并且随统计量的增 加，这种规律逐渐明显，那么可以把水果损坏的概率估计为这个常数，如果估计这个概 率为0.1,则水果完好的概率为0.9.在10000千克水果中完好水果的质量为 10000X 0.9=9000 （千克）设每千克水果的销售价为x元，则有：9000X-2 X 10000=5000x= 2.8出售这批水果的定价大约为2.8元/千克，可获利5000元.思考为简单起见，能否直接把上表中 500千克对应的损坏率作为损坏的概率?答：可以.【教学说明】用频率估计概率时，一般是通过观察所计算的各频率数值的变化趋势，即观察各数值主要集中在哪个常数的附近，这个常数就是所求概率的估计值.三、运用新知，深化理解1.小新抛一枚质地均匀的硬币，连续抛三次，硬币落地均正面朝上，如果她第四次抛硬币，那么硬币正面朝上的概率为()1 1QA.y B.? C.l2 .一只不透明的袋子中装有 4个小球，分别标有数字2、3、4、x,这些球除数字外都 相同，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出 1个球，并计算摸出的这2个小球上的数(1)如果试验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为 7”的频率将稳定在它的 概率附近，试估计出现“和为7”的概率；(2)根据(1),若x是不等于2、3、4的自然数x,试求x的值.【教学说明】第1题较简单，可由学生自主完成，第 2题稍难，由师生共同完成.【答案】1.A3 . (1)随着试验次数的增加，出现“和为7”的频率稳定在0.33附近摆动，因此可以知道当试验继续进行下去它的频率会稳定在0.33附近，故可估计“和为7”的概率为0.33. （2）甲、乙两人同时从袋中各摸出一个球所有可能的结果是（2, 3）、（2, 4）、（2,x）、（3,4）、（3,x）、（4, x）共6个，由于（3,4）这一结果的和为7,再根据“和为7”的概率为0.33=1/3，所以其中（2, x）、（3,x）、（4, x）这三个结果中一定 还有一个和为7,当2+x=7,则x=5，当3+x=7,则x=4,当4+x=7,x=3,显然后两种均不符 合题意，故x=5.四、师生互动，课堂小结1 .你知道什么时候用频率来估计概率吗？2 .你会用频率估计概率来解决实际问题吗？【教学说明】教师先提出上述问题，让学生相互交流，再选派几名同学进行回顾总 结，师生再共同完善.小课后作业1 .布置作业：从教材“习题25.3”中选取.2 .完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分 .读教学反屈1 .猜想试验、分析讨论、合作探究的学习方式十分有益于学生对概率意义的理解， 使之明确频率与概率的联系，也使本节课教学重难点得以突破.当然，学生随机观念的养 成是循序渐进的、长期的.这节课教师应把握教学难度，注意关注学生接受情况 .2 .一般地，当试验的可能结果是有限个而且各种结果发生的可能性相等时，可以用P（A尸m/n的方式得出概率.当试验的所有可能的结果是无限个，或各种可能结果发生的 可能性不相等时，常常是通过统计频率来估计概率的.