第03讲三角形中的变换

精品资源第 03 讲三角形中的变换（一）知识归纳：在三角形中有下述重要的公式与定理：设 ABC 中，角 A 、 B、 C 的对边为 a、 b、 c，【内角和定理】A+B+C= 【正弦定理】abc2R （ R 为外接圆半径）sin Asin Bsin C【余弦定理】a2b2c22bc cos A或 cos Ab2c2a 22bc【面积公式】1ab sin Cabcr s（其中 r 为内切圆半径，s1 (a b)S4R2c ）2（二）学习要点：1边角互换：三角形中的变换问题，除了需要运用三角式变换的所有方法、技巧外，还经常需要考虑对条件或结论中的“边”与“角”进行互换，即运用“正弦定理、余理定理或面积公式”将边换成角，或将角换成边.2结合图形：有些问题还应考虑结合图形并运用“正弦定理、余弦定理或面积公式”建立关系式 .【例 1】在 ABC 中，求证：证法一 （考虑“角换边” ）ac cos Bsin B .bc cos Asin A左边 = 2R sin A2R sin C cos Bsin( BC)sin C cos B2R sin B2R sin C cos Asin(CA)sin C cos A(sin B cosCcos B sin C )sin C cos Bsin B cosCsin B右边；=cosC sin A)sin C cos AcosC sin Asin A(sin C cos A证法二 （考虑“角换边” ）a c c 2a 2b 2a2b 2c2bsin B左边 =2ca2a右边 .b c b2c 2a 2b2a 2c2asin A2bc2b评析 证法一将等式转化为三角式，并进行三角式变换；而证法二是将等式转化为代数式，并进行代数式变换；在解决问题题应估计这两种方法的难易程度，准确作出决策.欢迎下载精品资源【例 2】解答下列述问题：（） ABC 中，若 tan Bcos(C B)，试确定 ABC 的形状 .sin(Csin AB)sin Bcos(CB)sin BcosC cos B sin C sin B解析 sin(CB)sin(CB)cos B2 sin C cos Bcos B2sin B sin CcosC cos Bsin C sin Bcos(BC ) 00 B C, BC, ABC 为直角三角形 .23（）在 ABC 中，已知（ a+b+c ） (a+b c)=3ab， sin Asin B，试判断三角形的形状 . 4解析 由（ a+b+c ） (a+bc)=3 ab(a b) 2c 23aba 2b 2c2ab,a 2b2c21 cosC2ab0° <C<180 °， C=60°， A+C=120 °，2 cos(A+B)= 1cos A cos Bsin Asin B1 , sinAsinB=3 ,224 cosAcosB= 1 , +得 cos(A B)=1 ，AB, A B=0,4 A=C=B=60 °，故 ABC 为正三角形 .评分 判断三角形的形状是三角形变换中的典型问题，解决这类问题的主要过程是对条件进行化简，但应注意，化简的每步过程必须等价变换，否则可能会使得三角形形状的情况增加或减少 .【例 3】解答下列问题：（）在 ABC 中，已知最大内角 A 是最小内角 C 的两倍，三边的长 a， b， c 是三个连续的正整数，求各边的长 .解析 最小边为c， b=c+1，a=c+2 ， A=2C ， B=180 °（ A+C ）=180° 3C， c 2ccosCc 2 ，sin 2Csin C2c(c1) 2(c2) 2c2而 cosC2(c1)(c 2) ,由、得 c2c 26c523 4 0(c1)(c4) 0,c=4，b=5， a=6.cc 23ccc2欢迎下载精品资源（）在 ABC 中，已知 b=1 ，c=2，角 A 的平分线 t a23 , 求 a 及三内角的大小 .3ABC，1sinA 1b t aA 1 bcsinA，解析 如图， SABD +SACD =Sc ta22sin222 4 3234cos Acos A3A60 ,33222ab2c22cosA3,222 abc， C=90°，bc综上， a3, A=60 °， B=30 °， C=90 °.评析 在例 3 中，问题都与图形有关，应根据图形的特点正确选择公式、定理建立起边、角关系 .【例 4】解答题述问题：（）在 ABC 中，已知 sin Acos2 Csin C cos2 A3 sin B,222（ 1）求证： a，b， c 成等差数列；（ 2）求角 B 的取值范围 .解析 （ 1）sin A 1 cosCsin C 1cos A3 sin B222sin Asin Csin( AC )3 sin Bsin Asin C2 sin B ac 2b, a、 b、 c 成等差数列；（ 2） cosBa 2c2( a 2c) 23(a2c 2 )2ac6ac 2ac1,2ac8ac8ac2 B（ 0， ）， 0 B 60°，角 B 的取值范围是0,.3（）在 RtABC 中，已知 cosA+8cosB+cosC= 4 ，试求外接圆半径R 与内切圆半径r 之比 R:r.解析 cosA+cosC=4 不能成立， B 90°，由对称性，设A=90 °， 8cosB+cosC=48 cb4b= 4a 8c，代入 c2+b2 =a2 得 65c2 64ac+15a2=0aa(13c15a)(5c3a)013c5a0或5c 3a0,欢迎下载精品资源 b=4a 8a>0， a>2c， 5c 3a=0 不合， c5 , b12 . 设 c=5k， b=12k ，a=13k ，a13 a13 R:r= a : 1 (b c a) 13 : 4.22评析 例 4是较综合一些的问题，也是带有考试特点的问题.训练题一、选择题1在 ABC 中，已知 tan Atan B1, 则 ABC 是（）A 锐角三角形B钝角三角形C非直角三角形D最小内角大于 45°的三角形2 ABC 中， sin2A=sin2B是三角形为等腰三角形的（）A 充分但不必要条件B必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3 ABC 中，若 sin A3 ,sin B1 , 则 ABC 一定是（）512A 锐角三角形B 钝角三角形C直角三角形D等腰三角形4在 ABC 中，若 a(2 cos2 A1tan2B1)b2 , 则 ABC 哦（）212Btan2A 等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形5 ABC 的内角满足： tanA sinA<0 ， sinA+cosA>0 ，则角 A 的取值范围是（）A (0, )B ( , )C ( , 3 )D ( 3 , )4422446在 ABC 中， a:b:c=3:3:5 ，则2 sin Asin B（）sin C123D不是常数A B C535二、填空题7在 ABC 中，若 (1tan A)(1tan B)2, 则 C 等于.欢迎下载精品资源8在 ABC 中，角 A 、 B、 C 的对边分别为a， b，c，且 c=7， cos Ba4 ，则cos Ab3a=， b=.9若 A 为 ABC 的内角，则sinA+cosA 取值范围是.10对 ABC ，有下面结论： 满足 sinA=sinB 的 ABC 一定是等腰三角形； 满足 sinA=cosB的 ABC 一定是直角三角形；满足上述结论正确的命题的序号是三、解答题：abc 的 ABC 一定是直角三角形.则sin Asin B.11在 ABC 中，若 a2 sin 2Bb2 sin 2 A 2ab cos A cos B ，判断 ABC 的形状 .12 ABC 中， c 22 ， a>b， tanA+tanB=5,tanAtanB=6·，求 a、 b 及三角形的面积。13在 ABC 中， a2c 2b2ca, 又 log 4 sin Alog 4 sin C1 ，且 ABC 的面积S= 3 cm2，求三解形三边a、 b、 c 的长及三内角A 、 B、 C 的度数 .14已知 ABC 的三个内角 A 、B、C 成等差数列， 且112 , 求 cos ACcos AcosCcos B2的值 .15在锐角 ABC 中，已知 A< B< C，且 B=60 °，又 (1 cos 2 A)(1 cos 2 B)31 ,2求证： a2b2c.欢迎下载精品资源训练题答案一、 1.A2.D 3.B 4.D5.C6.C二、 7 38 28 , 2191, 2 10、4 5 5三、 11 ( 2R sin A) 2 sin 2 B(2 Rsin B) 2 sin 2 A 8R2 sin A sin B cos A cos Bsin 2 A sin 2 Bsin A sin B cos A cosBsin A sin B cos( AB)0, 0<A 、 B< ， sinAsinB 0， cos(A+B)=0A+B=90 °， ABC 是 C=90 °的直角三角形 .a bcos A1sin A3tan A310，12由 tan Atan B510及tan B2tan Atan B6cos B1sin B2155 sin C sin( AB)2 ， a6108524,b, S.255513cos Ba2b2c21 ,B120 ;31 ca sin B3 acac4;2ca224 sinAsinC= 1R2ac4R2B2Rsin B2 3;a2c216 a c 2 6 ，4由 ac 2 6a62; 可得A105或15ac4c62C.15 或 10514由条件得 B, 设A,C,AC，3233欢迎下载精品资源由条件得1122222cos3 sincos2cos()cos()3 sin332 cos2242 cos22 cos32 0cos2(cos3 2 不合）cos23sin 22415 B60 ,AC120 ,cos( AC )1 ；2由条件得22 cos231cos A cos C31 ，2 cos AC22由、得 sin A sin C31 ， +得 cos(CA)3 , C A30 ，42而 C+A=120 °， A=45 °， B=60 °， C=75 °， a2b 2 R(sin 45622 sin 60 ) 4R4R sin 75 2c.4欢迎下载